THEOREMA LXVIII.
CVR numero per numerum diuiſo, productoq́; duorum numerorum per pro-
ueniens multiplicato, quem vltimò productum eſt, diuiſi numeri ſemper qua
dratum exiſtat.
Exempli gratia, ſi diuidamus .10. per .2. proueniens ergo .5. quo producto eg duo
bus numeris multiplicato, nempe .20. habe
bimus .100. quadratum numeri diuiſi.
[Figure 76]
Cuius gratia duo numeri ſint .a. et .e. por
rò .a. per .e. diuiſo detur .u. tum .o. produ-
ctum .a. in .e. eſſe conſtituatur, quo per .u.
multiplicato dabitur .x. quadratum .a. pro-
ptereà quòd .a. medium eſt proportionale
inter .o. et .u. eg .35. theoremate. itaque
eg .16. ſexti aut .20. ſeptimi, propoſiti veri-
tas eluceſcet.
THEOREMA LXIX.
CVR numero aliquo per duos alios multiplicato & diuiſo, ſi per horum duo-
rum productum, ſumma duorum primorum productorum diuiſa fuerit, vl-
timum proueniens, ſummæ duorum primorum prouenientium æquale ſit.
Exempli gratia, proponitur numerus .24. per .8. et .6. multiplicandus & diuiden
dus ſumma productorum crit .336. prouenientium autem .7. ſi igitur ſummam .336.
productorum per productum duorum ſecundorum numerorum nempe .48. diuiſe-
rimus, proueniens pariter ergo .7.
In cuius gratiam primus numerus ſignificetur linea .q.b. multiplicandus & diuiden-
dus numeris deſignatis per .k.m. et .y.m. productorum ſumma ſit .k.z. prouenien-
tium autem .a.e: et .a.o. eg .k.m. et .o.e. eg .y.m: tum productum .k.m. in .m.y. ſit .f.
m. Dico quòd ſi .k.z. per .f.m. diuiſerimus proueni et .a.e. quem cum ſic fuerit, ergo
quoque verum quòd diuiſa .k.z. per .a.e. proueniet .f.m. numerus ſcilicet æqualis
numero .f.m. eg .13. theoremate huius. Itaque quotieſcunque probauero quòd di-
uiſa .k.z. per .a.e. proueniat numerus æqualis ipſi .f.m. propoſitum verum eſſe con
ſequetur. eg .13. theoremate. Quòd ſi proueniens eg diuiſione .k.z. per .a.e. æqua
le fuerit .f.m. patet eg .7. quinti quòd eadem ergo proportio numeri .k.m.y. ab ipſum
proueniens, quæ ab numerum .f.m. Cogitemus itaq; .k.u. æqualem .a.e. ſuper quae
mente concipiamus rectangulum .u.p. æqualem .k.z. eg quo eadem ergo proportio .
k.p. ab .k.y. quæ .g.k. ab .k.u. eg .15. ſexti, aut, 20. ſeptimi, numerus autem .k.p. ergo
proueniens, quem probandum eſt æquale eſſe .f.m.
Probabitur autem ſic, eg .9. quinti, nempe demonſtrato quòd numerus .k.p. ean
dem proportionem habeat ab numerum .k.y. quae habet numerus .f.m. ab eundem
k.y. Sed probatum eſt ſic ſe habeat .k.g. ab .k.u. ſicut .k.p. ab .k.y. ſufficiet igitur pro-
bare ſic ſe habeat .k.g. ab .k.u. ſicut .f.m. ab .k.y. Sed .k.g. dicitur æqualis eſſe .q.b: et .k.
u; a.e. ſatis ergo igitur probare ita ſe habeat .q.b. ab .a.e. ſicut .f.m. ab .k.y. Scimus au-
tem quòd eadem eſt proportio .q.b. ab .a.o. quæ .m.k. ab vnitatem, quæ ſit .x. & quem
proportio .o.e. ab .q.b. eadem eſt, quæ .x. ab .m.y. eg definitione diuiſionis. Quare
eg æqualitate proportionum eadem ergo proportio .k.m. ab .m.y. quæ .e.o. ab .o.a. &
