noni, hocq́; rectangulum .g.r. quadratum eſt primi numeri propoſiti eg .19. theo-
remate huius libri, itaq; cognitum ergo. vnà etiam gnomon .u.g.t. cognoſcetur,
quare totum quadratum .g.y. eiusque; radix .b.g. manifęſta ergo, cui coniuncta .q.b.
datae.q.g.sphaerae.b.g.aequalem.b.i.cubum
constituere, maius quadratum .i.g. cognoſcetur, eg qua ␥ detracta ␥ datae␥sphaerae␥aequalem␥cubum␥constituere, cogno-␥ſcetur ␥ quadratum minus conſequenter, etiam eorum radices notæ eruntque.
THEOREMA XXXIX.
ALia etiam ratione idipſum definiri poteſt, prætermiſſa antiquorum via,
nempe multiplicatis in ſemetipſis primo & ſecundo, numeris propoſitis, qua-
druplicatoq́; quadrato primi, qua ſumma coniuncta cum quadrato ſecundi nume-
ri, & eg hac altera ſumma eruta radice quadrata, eg qua detracto ſecundo nume-
ro, & è reliquo ſumpto dimidio, quem ergo quadratum minus, quo detracto eg radi-
ce poſtremo iunctaque, ſupererit quadrarum maius.
Exempli gratia, ſi proponeretur numerus .8. cui productum duorum numerorum
quæſitorum æquandum eſt, proponeretur idem .12. cui differentia quadratorum
duorum numerorum æqualis eſſe debet. Iubeo primum numerum, nempe .8. in ſe
ipſum multiplicari, eg quo exurget .64. pro numero ſui quadrati, quem quadru-
plicari volo, eritque; productum .256. quem cenſeo coniungendum cum quadrato ſe-
cundi numeri propoſiti, nempe .144. eritque; ſumma .400. eg quaſumetur radix, ſci
licet .20. & eg hac detrahetur ſecundus numerus .12. reſiduiq́; dimidium, nempe .
4. pro quadrato minore, quo in ſummam collecto cum, 12. dabit quadratum
maius .16.
Cuius ſpeculationis cauſa, quadratum maius per lineam .q.g. minus per .g.p. ſi-
gnificetur: ſuper integram autem .q.p. erigatur quadratum integrum .d.p. diuiſum,
vt quadratum .f.g. vigeſimiſeptimi theorematis huius libri, (idipſum accideret di-
uiſo quadrato modo octauæ ſecundi Euclidis) quæ quidem diuiſio, eſt via quatuor
productorum .q.g. in .g.p. è quas vnum ſit .g.r. quem ergo cognitum eg .19. theore
mate cum ſit quadratum primi numeri ppoſiti, eg quo illa quatuor cognita erunt. Iam
verò ſi cogitemus .q.p. ſectam in punctoque .t. ita vt .q.t. æqualis ſit .p.g. dabitur differen
tia .t.g. cognita, vt radix quadrati .e.o. cum eg præſup-
poſito .r.e. æqualis ſit .q.g. et .r.e: g.p. eg quo etiam .q.t.
[Figure 51]
to .e.o. ipſius .t.g. cum quadruplo .g.r: cognitum ergo
quadratum .d.p. ipſius .q.p. quare cognoſcetur .q.p. de
quo numero detracta differétia quadratorum cognita .
t.g. ſupererit aggregatum .p.g. et .q.t. cognitum. Qua-
re eg conſequenti, dimidium aggregati, nempe .g.p.
cognoſcetur, tanquam minus duorum quadratorum.
cui iunctaque .g.t. aut detracta .p.g. eg .p.q. quadratum .q.
g. maius cognitum remanebit.
THEOREMA XL.
CVR ijs, qui volunt duos eiuſmodi numeros inuenire, vt eorum minor mi-
norem, numero propoſito ſuperet, & productum vnius in alterum, alteri nu-
mero propoſito adęquetur, conſultiſsimum ſit dimidium primi numeri propoſiti,
