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I detti cerchi diminuiti proportionalmente formano quasi un angolo simile
all’angolo ABC. Onde essendo tutti simili e prortionali, la medesima
possanza di formare un angolo converrà communemente a tutti insieme uniti ed
incatenati e perciò potrà dirsi assolutamente il cerchio farsi tutto angolo;
poiché le parti di ciascun cerchio concorreno a formarlo: che per la quarta
positione i cerchi maggiori e minori e le parti loro hanno in fra lor
corrispondenza, con la quale si accordano a far l’angolo.
Ma pruoviamo l’angolo costituito da questi cerchi; esser uguale al
rettilineo.
Congionti i ponti AM. MC. onde seguono due triangoli ABM. MBC. Perché per
Euclide, nella diciannovesima prop. del primo al maggior angolo è sottoposto
maggior lato; per opposito all’angolo uguale sarà sottoposto lato uguale.
Ma ‘l lato AM. del triangolo ABM è uguale al lato MC. del triangolo CBM.
Adunque l’angolo ABM. sarà uguale all’angolo CBM. Ma il lato IM. è ancho
lato del triangolo formato con la forza delle portioni de’ cerchij GKNPB e
‘l CM. è lato del triangolo ILOQB adunque l’angolo GBM sarà uguale
all’angolo IBM. Ma l’angolo GBM è uguale al ABM e ll’angolo IBM è uguale
all’angolo MBC. Adunque tutto l’angolo IBA è uguale a tutto l’angolo ABC. Ma
l’angolo IBA è formato di portioni di cerchij, nelle quali si son risoluti,
e l’ABC. è fatto di linee rette; adunque l’angolo di portioni di cerchij
sarà uguale all’angolo rettilineo; onde seguirà che ‘l cerchio si sia
ridotto tutto l’angolo.
Si potrebbe ancho dimostrare facendo comparation degli spatij contenuti da
amendue gli angoli; ma passia
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mo ad un’altra dimostratione, nella quale apparisca l’angolo formato di parti di cerchij; onde si formi un angolo almeno simile se non uguale interamente all’angolo rettilineo. Essendo già proposto il cerchio GHST e in esso tirati il diametro QR. e la perpendicolare FI che pasi pel centro, sopra la quale sieno tirati tre cerchij minori proportionali, cioè KL. MN. OP. essendo già diviso in quattro quarte uguali dal diametro detto e dalla perpendicolare, si tirino due linee che dividino pel mezzo le dette quarte, ciò sono GT. HS. onde tutto ‘l cerchio maggiore venga diviso in otto parti. Si divida la metà del diametro QR. in quattro parti uguali e presa la quarta si ponga nell’altra metà del diametro appresso alla circonfrenza nel segno QX. come nella prima metà di esso è collocata nel segno VR. Di poi preso per centro il punto T. e per intervallo TG. si faccia col compasso una portion di cerchio cominciando a muover il piede dal termine G. tanto che ‘l cerchio maggiore si congionga col primo minore terminando nel segno W. Così ancho posto ‘l centro S. e l’intervallo SH. si formi una portion di cerchio che terminando nel segno S congionga il primo cerchio minore col maggiore. Quindi preso per centro ‘l taglio V. si faccia con le seste l’arco WF. e preso ‘l taglio X. si descriva l’arco SF. i quali archi si tagliaranno nella perpendicolare nel punto F e formaranno l’angolo. Finalmente stabilito centro il termine della terza portione in ogni metà del diametro si formi un arco che agguagli e congionga i due archi GW. WF. ne’ punti DY. e così un altro che spiani e colleghi i due archi HS.SF. ne’ punti LZ. Di modo che di tutte le portioni de’ cerchi e di tutti gli archi si son formate due linee quasi rette, cioè GF. FH. le quali toccandosi nel punto F. formano l’angolo GFH. uguale all’angolo ABC. la qual cosa si dimostrarà qui appresso.
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mo ad un’altra dimostratione, nella quale apparisca l’angolo formato di parti di cerchij; onde si formi un angolo almeno simile se non uguale interamente all’angolo rettilineo. Essendo già proposto il cerchio GHST e in esso tirati il diametro QR. e la perpendicolare FI che pasi pel centro, sopra la quale sieno tirati tre cerchij minori proportionali, cioè KL. MN. OP. essendo già diviso in quattro quarte uguali dal diametro detto e dalla perpendicolare, si tirino due linee che dividino pel mezzo le dette quarte, ciò sono GT. HS. onde tutto ‘l cerchio maggiore venga diviso in otto parti. Si divida la metà del diametro QR. in quattro parti uguali e presa la quarta si ponga nell’altra metà del diametro appresso alla circonfrenza nel segno QX. come nella prima metà di esso è collocata nel segno VR. Di poi preso per centro il punto T. e per intervallo TG. si faccia col compasso una portion di cerchio cominciando a muover il piede dal termine G. tanto che ‘l cerchio maggiore si congionga col primo minore terminando nel segno W. Così ancho posto ‘l centro S. e l’intervallo SH. si formi una portion di cerchio che terminando nel segno S congionga il primo cerchio minore col maggiore. Quindi preso per centro ‘l taglio V. si faccia con le seste l’arco WF. e preso ‘l taglio X. si descriva l’arco SF. i quali archi si tagliaranno nella perpendicolare nel punto F e formaranno l’angolo. Finalmente stabilito centro il termine della terza portione in ogni metà del diametro si formi un arco che agguagli e congionga i due archi GW. WF. ne’ punti DY. e così un altro che spiani e colleghi i due archi HS.SF. ne’ punti LZ. Di modo che di tutte le portioni de’ cerchi e di tutti gli archi si son formate due linee quasi rette, cioè GF. FH. le quali toccandosi nel punto F. formano l’angolo GFH. uguale all’angolo ABC. la qual cosa si dimostrarà qui appresso.