4828GNOMONICES
non deſcribitur ſemicirculus circa diametrum B C, quia non ſecaret rectã E M.
Aliquando etiam
ſemicirculi ſe interſecant in recta E M, in deſcriptione Ellipſis, vt@emicirculi F P H, R V S, in
priori Ellipſi, v@i rectę E P, E V, æquales ſunt, atque perpendiculares k P, T V, ſumptę
ipſis ęquales in tertijs figuris.
ſemicirculi ſe interſecant in recta E M, in deſcriptione Ellipſis, vt@emicirculi F P H, R V S, in
priori Ellipſi, v@i rectę E P, E V, æquales ſunt, atque perpendiculares k P, T V, ſumptę
ipſis ęquales in tertijs figuris.
harũ media -
runi figurar@
vbi eſt P, po-
ne M, & loco
M, repone P.3320
SED iam demonſtremus, ſectionem conicam tranſire in plano per puncta Q, P, &
c.
circa
55Demonſtratio
ſuperioris de-
ſcriptionis. diametrum D E, atque adeo lineam per ipſa puncta in plano aptè deſcriptam, eſſe conicam ſectio-
nem, vt diximus. Ducto in primis figuris per rectam F H, plano, quod baſi coni æquidiſtet, erit
6640 ſectio facta F X H, circulus, per propoſ. 4. lib. 1. Apollonii, cuius quidem & ſectionis communis ſe-
ctio ſit recta X Y, quæ per K, tranſibit, vbi ſe ſecant rectæ D E, F H, & vbi circulus F X H, per rectã
F H, ductus ſectioni conicæ occurrit. Et quoniam plana B C, F H, parallela ſecantur plano D E, fa-
ciente conicam ſectionem, erunt communes ſectiones Z α X Y, parallelæ: Eſt autem Z α, ad re-
7716. vndec. ctam B C, perpendicularis, (vt enim fiat ſectio aliqua conica, neceſſe eſt, vt ſectio communis pla-
ni ſecantis, & baſis coni, qualis eſt recta Z α, perpendicularis ſit ad baſim trianguli per axem, vt
conſtat ex propoſ. 11. 12. & 13. lib. 1. Apollonii) & anguli B E Z, F K X, æquales ſunt, propte-
8810. vndec. rea quòd rectæ B E, E Z, rectis F K, k X, ſunt parallelæ. Igitur erit & angulus F K X, rectus, at-
que adeo X K, ad F H, perpendicularis, ac proinde X K, in ſemicirculo F X H, media erit propor-
tionalis inter F K, K H, ex ſcholio propoſ. 13. lib. 6. Eucl. Atqui & in ſecundis figuris E P, eadem
9950 ratione media eſt proportionalis inter F E, E H, hoc eſt, inter eaſdẽ F k, K H, in primis figuris, at-
que adeo ipſi X K, in primis figuris æqualis: (ſumptæ enim ſunt E F, E H, in ſecundis figuris, ip-
ſis K. F, K H, in primis æquales) Eſt autem eadem E P, in ſecundis figuris, ipſi k P, in tertiis æqua-
lis. Igitur & k P, in tertiis figuris, ipſi K X, in primis, ęqualis eſt. Quare cum in primis figuris
per X, in conica ſuperficie tranſeat ſectio conica, tranſibit eadem in plano per punctum P; quo-
niam hac ratione, poſito puncto K, tertiarum figurarum in puncto k, primarum, ita vt diameter
k D, tertiarum congruat diametro k D, primarum, congruet perpendicularis k P, in tertiis figu-
ris, perpendiculari k X, in primis; atque adeo punctum P, in punctum X, cader, (ob æqualitatem
rectarũ k P, k X,) & ſectio conica per punctum P, quod à puncto X, non differt, tranſibit. Ea-
demq́ue ratione oſtendemus, ſectionem eandem tranſire per punctum Q, & per reliqua, ſi qua
ſunt. Dato ergo cono, & diametro conicæ ſectionis, & c. quod faciendum erat.
55Demonſtratio
ſuperioris de-
ſcriptionis. diametrum D E, atque adeo lineam per ipſa puncta in plano aptè deſcriptam, eſſe conicam ſectio-
nem, vt diximus. Ducto in primis figuris per rectam F H, plano, quod baſi coni æquidiſtet, erit
6640 ſectio facta F X H, circulus, per propoſ. 4. lib. 1. Apollonii, cuius quidem & ſectionis communis ſe-
ctio ſit recta X Y, quæ per K, tranſibit, vbi ſe ſecant rectæ D E, F H, & vbi circulus F X H, per rectã
F H, ductus ſectioni conicæ occurrit. Et quoniam plana B C, F H, parallela ſecantur plano D E, fa-
ciente conicam ſectionem, erunt communes ſectiones Z α X Y, parallelæ: Eſt autem Z α, ad re-
7716. vndec. ctam B C, perpendicularis, (vt enim fiat ſectio aliqua conica, neceſſe eſt, vt ſectio communis pla-
ni ſecantis, & baſis coni, qualis eſt recta Z α, perpendicularis ſit ad baſim trianguli per axem, vt
conſtat ex propoſ. 11. 12. & 13. lib. 1. Apollonii) & anguli B E Z, F K X, æquales ſunt, propte-
8810. vndec. rea quòd rectæ B E, E Z, rectis F K, k X, ſunt parallelæ. Igitur erit & angulus F K X, rectus, at-
que adeo X K, ad F H, perpendicularis, ac proinde X K, in ſemicirculo F X H, media erit propor-
tionalis inter F K, K H, ex ſcholio propoſ. 13. lib. 6. Eucl. Atqui & in ſecundis figuris E P, eadem
9950 ratione media eſt proportionalis inter F E, E H, hoc eſt, inter eaſdẽ F k, K H, in primis figuris, at-
que adeo ipſi X K, in primis figuris æqualis: (ſumptæ enim ſunt E F, E H, in ſecundis figuris, ip-
ſis K. F, K H, in primis æquales) Eſt autem eadem E P, in ſecundis figuris, ipſi k P, in tertiis æqua-
lis. Igitur & k P, in tertiis figuris, ipſi K X, in primis, ęqualis eſt. Quare cum in primis figuris
per X, in conica ſuperficie tranſeat ſectio conica, tranſibit eadem in plano per punctum P; quo-
niam hac ratione, poſito puncto K, tertiarum figurarum in puncto k, primarum, ita vt diameter
k D, tertiarum congruat diametro k D, primarum, congruet perpendicularis k P, in tertiis figu-
ris, perpendiculari k X, in primis; atque adeo punctum P, in punctum X, cader, (ob æqualitatem
rectarũ k P, k X,) & ſectio conica per punctum P, quod à puncto X, non differt, tranſibit. Ea-
demq́ue ratione oſtendemus, ſectionem eandem tranſire per punctum Q, & per reliqua, ſi qua
ſunt. Dato ergo cono, & diametro conicæ ſectionis, & c. quod faciendum erat.