27 bus quã ſit pars aliquota denoīata a numero ſub
duplo ad numerum parem in quo ſunt conſtituti
dati termini: et aggregatum ex duobus mediis
immediatis equaliter diſtantibus ab extremis
eſt maius quaꝫ talis pars aliquota. vt captis his
terminis .12.11.9.6. aggregatum ex .12. et ſex. eſt
minus quam medietas aggregati oīm illorū me
dietas denomīatur a numero binario qui eſt ſub
duplus ad numerū quaternariū in quo illi termi-
ni ſunt conſtituti: et aggregatum ex .11. et .9. eſt ma
ius quã medietas. Probatur: et ſint a.b.c.d.e.f.6.
termini continuo minores et minores maiori con
tinuo dnr̄ia ſeſe excedentes: et q2 illi ſunt conſtitu
ti in numero ſenario dico / aggregatū ex primo
et vltimo eſt minor pars totius ꝙ̄ pars aliquota
eiuſdem totius denoīata a numero ſubduplo ad
ſenarium que eſt vna tertia. / et aggregatū ex duo
bus intermediis īmediatis equaliter diſtantibus
ab extremis puta c.d. eſt maius quã talis pars ali
quota totius puta quã tertia. Probat̄̄ / q2 tale ag
gregatū cõponitur ex tribus partialibus aggre
gatis adequate puta ex aggregato ex a. et f. et ex
aggregato ex b. et e. et aggregato et c. et d. et ag-
gregatū ex a. et f. eſt minus ſecundo aggregato et
ſecundū minus tertio. igitur aggregatū ex a. et f.
eſt minus quaꝫ tertia totius: et aggregatū ex c.d.
maius quã tertia totius. Patet hec conſequentia /
quia quando aliquid cõponitur ex tribus quoruꝫ
quodlibet cuilibet alteri eſt inequale: maius illoꝝ
eſt maius quã tertia: et ſic dices quando cõponitur
ex quatuor adequate quorū quodlibet cuilibet al
teri eſt īequale: et ex .5. et ex .6. / et ſic deinceps vt po
ſtea oſtendetur. Iam probo minorem videlicet /
aggregatū ex a. et f. eſt minus ſecundo aggrega-
to puta ex b. et e. / q2 ſi tanto exceſſu. et dnr̄a a exce-
deret b. quanta e. excedit f. / tunc aggregatū ex a. et
f. eſſet equale aggregato ex b. et e. / vt patet ex ſecū
da concluſione: ſed modo aggregatū ex a.f. eſt mi
nus quã tunc: quia a. eſt tãtum ſicut tunc et f. eſt mi
nus quã tunc: quia maiori dnr̄ia exceditur modo
quã tunc ab eodē puta e. / igitur aggregatū ex a. et
f. eſt minus quã aggregatū ex b. et e. / et eadē ratio
ne ꝓbabis / aggregatū ex b. et e. eſt minus aggre
gato ex c. et d. / et ſic patet minor et totū correlariū /
quoniã et ſi iſta ſit particularis demonſtratio tñ
dat formã vniuerſaliter ꝓbandi quibuſcū ter-
minis paribus conſtitutis. ¶ Similia correlaria
poteris inferre q̇buſcun termīs īpari nūero cõ
ſtitutis ſiue continuo maioribus et maioribus ma
iori continuo dnr̄a ſe excedentibus: ſiue eocontra
etc. / que omnia predictorum auxilio facile monſtra
ri poſſunt.
111. ele. ior. duplo ad numerum parem in quo ſunt conſtituti
dati termini: et aggregatum ex duobus mediis
immediatis equaliter diſtantibus ab extremis
eſt maius quaꝫ talis pars aliquota. vt captis his
terminis .12.11.9.6. aggregatum ex .12. et ſex. eſt
minus quam medietas aggregati oīm illorū me
dietas denomīatur a numero binario qui eſt ſub
duplus ad numerū quaternariū in quo illi termi-
ni ſunt conſtituti: et aggregatum ex .11. et .9. eſt ma
ius quã medietas. Probatur: et ſint a.b.c.d.e.f.6.
termini continuo minores et minores maiori con
tinuo dnr̄ia ſeſe excedentes: et q2 illi ſunt conſtitu
ti in numero ſenario dico / aggregatū ex primo
et vltimo eſt minor pars totius ꝙ̄ pars aliquota
eiuſdem totius denoīata a numero ſubduplo ad
ſenarium que eſt vna tertia. / et aggregatū ex duo
bus intermediis īmediatis equaliter diſtantibus
ab extremis puta c.d. eſt maius quã talis pars ali
quota totius puta quã tertia. Probat̄̄ / q2 tale ag
gregatū cõponitur ex tribus partialibus aggre
gatis adequate puta ex aggregato ex a. et f. et ex
aggregato ex b. et e. et aggregato et c. et d. et ag-
gregatū ex a. et f. eſt minus ſecundo aggregato et
ſecundū minus tertio. igitur aggregatū ex a. et f.
eſt minus quaꝫ tertia totius: et aggregatū ex c.d.
maius quã tertia totius. Patet hec conſequentia /
quia quando aliquid cõponitur ex tribus quoruꝫ
quodlibet cuilibet alteri eſt inequale: maius illoꝝ
eſt maius quã tertia: et ſic dices quando cõponitur
ex quatuor adequate quorū quodlibet cuilibet al
teri eſt īequale: et ex .5. et ex .6. / et ſic deinceps vt po
ſtea oſtendetur. Iam probo minorem videlicet /
aggregatū ex a. et f. eſt minus ſecundo aggrega-
to puta ex b. et e. / q2 ſi tanto exceſſu. et dnr̄a a exce-
deret b. quanta e. excedit f. / tunc aggregatū ex a. et
f. eſſet equale aggregato ex b. et e. / vt patet ex ſecū
da concluſione: ſed modo aggregatū ex a.f. eſt mi
nus quã tunc: quia a. eſt tãtum ſicut tunc et f. eſt mi
nus quã tunc: quia maiori dnr̄ia exceditur modo
quã tunc ab eodē puta e. / igitur aggregatū ex a. et
f. eſt minus quã aggregatū ex b. et e. / et eadē ratio
ne ꝓbabis / aggregatū ex b. et e. eſt minus aggre
gato ex c. et d. / et ſic patet minor et totū correlariū /
quoniã et ſi iſta ſit particularis demonſtratio tñ
dat formã vniuerſaliter ꝓbandi quibuſcū ter-
minis paribus conſtitutis. ¶ Similia correlaria
poteris inferre q̇buſcun termīs īpari nūero cõ
ſtitutis ſiue continuo maioribus et maioribus ma
iori continuo dnr̄a ſe excedentibus: ſiue eocontra
etc. / que omnia predictorum auxilio facile monſtra
ri poſſunt.
3. con.
4. ꝓprie
tas arith
metice
medieta
tis.
Tertia concluſio in hac medietate
arithmetica / quod ſub extremis continetur cum q̈
drato differentie. equale eſt quadrato medii. Hec
concluſio eſt tertia decimi elementorum iordani et
breuitatis cauſa hic non demonſtratur / quia eius
demõſtratio prolixa eſt eo dependet ex decima
quarta et decima nona primi elementorum eiuſ-
dem iordani. ¶ Aduerte tamen pro intelli
gentia contextus ipſius concluſionis / illud dici
tur contineri. ſub extremis arithmetice ꝓportio-
nalitatis quod reſultat ex ductu vnius extremi in
alterum: vt numerus octonarius continetur ſub
extremis huius ꝓportionalitatis .4.3.2. quia du-
cendo .4. per .2. reſultant octo. Bis em̄ .4. ſūt octo
Item .32. continētur ſub extremis huius ꝓportio
nalitatis arithmetice .8.7.4. qm̄ ducendo .8. per .
4. reſultant: 32. Quater enim octo ſunt .32. 22quadra-
tū medii ¶ Ad
uerte vlterius / quadratū medii termini eſt illud
quod reſultat ex ductu medii termini in ſeipſuꝫ: 33q̈dratuꝫ
dnr̄ie. vt
numerus nouenarius eſt quadratum medii in hac
arithmetica proportionalitate .4.3.2. quia reſul-
tat ex ductu numeri ternarii in ſeipſum. Nam ter
tria ſunt nouē. ¶ Quadratū autē differentie eſt il
lud quod reſultat ex ductu differentie in ſeipſum:
vt in hac arithmetica medietate .8.6.4. numerus
quaternarius eſt quadratū dnr̄e. Nã differentia
eſt numerus binarius / vt conſtat. Binarius enim
ductus in ſeipſum quaternarium educit / vt cõſtat.
¶ His dictis ſenſus concluſionis eſt talis. Nume-
rus reſultans ex ductu vnius extremi in alterū in
medietate arithmetica continua cum numero re-
ſultante ex ductu differentie in ſeipſam eſt equalis
numero qui fit ex ductu medii in ſeipſū: vt in hac
medietate .8. que fiunt ex ductu vnius extremi in al
terum iuncto quaternario numero qui fit ex dictu
differentie in ſeipſaꝫ ſunt equalia .36. que fiunt ex
ductu ſenarii medii termini in ſeipſum.
444. cõclu-arithmetica / quod ſub extremis continetur cum q̈
drato differentie. equale eſt quadrato medii. Hec
concluſio eſt tertia decimi elementorum iordani et
breuitatis cauſa hic non demonſtratur / quia eius
demõſtratio prolixa eſt eo dependet ex decima
quarta et decima nona primi elementorum eiuſ-
dem iordani. ¶ Aduerte tamen pro intelli
gentia contextus ipſius concluſionis / illud dici
tur contineri. ſub extremis arithmetice ꝓportio-
nalitatis quod reſultat ex ductu vnius extremi in
alterum: vt numerus octonarius continetur ſub
extremis huius ꝓportionalitatis .4.3.2. quia du-
cendo .4. per .2. reſultant octo. Bis em̄ .4. ſūt octo
Item .32. continētur ſub extremis huius ꝓportio
nalitatis arithmetice .8.7.4. qm̄ ducendo .8. per .
4. reſultant: 32. Quater enim octo ſunt .32. 22quadra-
tū medii ¶ Ad
uerte vlterius / quadratū medii termini eſt illud
quod reſultat ex ductu medii termini in ſeipſuꝫ: 33q̈dratuꝫ
dnr̄ie. vt
numerus nouenarius eſt quadratum medii in hac
arithmetica proportionalitate .4.3.2. quia reſul-
tat ex ductu numeri ternarii in ſeipſum. Nam ter
tria ſunt nouē. ¶ Quadratū autē differentie eſt il
lud quod reſultat ex ductu differentie in ſeipſum:
vt in hac arithmetica medietate .8.6.4. numerus
quaternarius eſt quadratū dnr̄e. Nã differentia
eſt numerus binarius / vt conſtat. Binarius enim
ductus in ſeipſum quaternarium educit / vt cõſtat.
¶ His dictis ſenſus concluſionis eſt talis. Nume-
rus reſultans ex ductu vnius extremi in alterū in
medietate arithmetica continua cum numero re-
ſultante ex ductu differentie in ſeipſam eſt equalis
numero qui fit ex ductu medii in ſeipſū: vt in hac
medietate .8. que fiunt ex ductu vnius extremi in al
terum iuncto quaternario numero qui fit ex dictu
differentie in ſeipſaꝫ ſunt equalia .36. que fiunt ex
ductu ſenarii medii termini in ſeipſum.
ſio prīa
ꝓprietaſ
medieta
tis geo-
metrice.
Quarta concluſio in medietate geo-
metrica q̈tuor terminis conſtituta ſi primus ad ſe
cundū ſicut tertius ad quartum: ita primus ad ter
tiū ſicut tertius ad quartū ſe habeat neceſſe eſt: vt
quia ſicut ſe habent octo ad quatuor ita ſe habēt
ſex. ad .tria. / conſequens eſt / ſicut ſe habent .octo
ad .ſex. ita quatuor ad tria. Probatur / ſint a.b.
c.d. quatuor termini in medietate geometrica: et
habeat ſe a. ad .b. ſicut c. ad d. / tūc dico / ſicut ſe hꝫ
a. ad .c. ita b. ad d. Qḋ ſic ꝓbat̄̄ et ṗmo ī nūerꝪ / q2 ſi
ſicut ſe habet a. ad b. ita .c. ad .d.b. eſt pars vel par
tes aliquote reſpectu a. eiuſdem denoīationis ſi-
cut d. ipſius c. et vltra b. eſt pars aliquota vel par
tes aliq̊te eiuſdē denoīationis reſpectu a. ſicut d.
reſpectu c. / ergo ſicut ſe habet a. ad c. ita b. ad d. / qḋ
fuit probandū. Secunda conſequētia patet ex vn-
decima ſuppoſitione huius capitis: et prima ptꝫ
ex hoc / quod inferius probabitur. Si aliqui duo
numeri maiores habent ↄ̨ſimiles proportiones
ad duos minores: illi minores numeri ſūt partes
aliquote maiorū conſimilis denoīationis. Et ſit
hec prima proprietas geometrice medietatis.
metrica q̈tuor terminis conſtituta ſi primus ad ſe
cundū ſicut tertius ad quartum: ita primus ad ter
tiū ſicut tertius ad quartū ſe habeat neceſſe eſt: vt
quia ſicut ſe habent octo ad quatuor ita ſe habēt
ſex. ad .tria. / conſequens eſt / ſicut ſe habent .octo
ad .ſex. ita quatuor ad tria. Probatur / ſint a.b.
c.d. quatuor termini in medietate geometrica: et
habeat ſe a. ad .b. ſicut c. ad d. / tūc dico / ſicut ſe hꝫ
a. ad .c. ita b. ad d. Qḋ ſic ꝓbat̄̄ et ṗmo ī nūerꝪ / q2 ſi
ſicut ſe habet a. ad b. ita .c. ad .d.b. eſt pars vel par
tes aliquote reſpectu a. eiuſdem denoīationis ſi-
cut d. ipſius c. et vltra b. eſt pars aliquota vel par
tes aliq̊te eiuſdē denoīationis reſpectu a. ſicut d.
reſpectu c. / ergo ſicut ſe habet a. ad c. ita b. ad d. / qḋ
fuit probandū. Secunda conſequētia patet ex vn-
decima ſuppoſitione huius capitis: et prima ptꝫ
ex hoc / quod inferius probabitur. Si aliqui duo
numeri maiores habent ↄ̨ſimiles proportiones
ad duos minores: illi minores numeri ſūt partes
aliquote maiorū conſimilis denoīationis. Et ſit
hec prima proprietas geometrice medietatis.
Probatur iaꝫ vniuerſaliter / ſint a.b.c.d. quatuor
termini in hac medietate geometrica conſtituti ſi
ue continuo ꝓportionabiles, ſiue diſcontinue, ſi-
ue proportione rationali, ſiue irrationali. et ipſi-
us a. ad b. ſit f. proportio: et ſimiliter ipſius c. ad
ipſum d. ſit f. proportio: et ſit a. ad .c.g. ꝓportio. et
tunc dico / etiam b. ad d. eſt g. proportio. Quod
probatur ſic / et capio ꝓportionem g. / que eſt a. ad
c. / et volo / a deperdat ꝓportioneꝫ f. quam habet
ad b. ita in fine maneat equale ipſi b. / vt oportet
et c. perdat eandem proportionem f. quam ex hy-
potheſi habet ad ipſum d. ita in fine maneat eq̈
le ipſi d. / et arguo ſic. huius ꝓportionis g. que eſt a
ad c. equalem omnino ꝓportionē deperdit termi-
nus maior ſicut minor: quia vter f. proportioneꝫ /
vt patet ex hypotheſi: igitur facta tali diminutio
ne adhuc manet inter reſiduum maioris termini et
minoris. eadem proportio g. / vt patet ex ſecunda
parte decime ſuppoſitionis ſecundi capitis ſecun
de partis ſed reſiduū maioris termini eſt b. et reſi
duū mīoris d. / vt pꝫ ex hypotheſi: igit̄̄ b. ad d. ē g. ꝓ
termini in hac medietate geometrica conſtituti ſi
ue continuo ꝓportionabiles, ſiue diſcontinue, ſi-
ue proportione rationali, ſiue irrationali. et ipſi-
us a. ad b. ſit f. proportio: et ſimiliter ipſius c. ad
ipſum d. ſit f. proportio: et ſit a. ad .c.g. ꝓportio. et
tunc dico / etiam b. ad d. eſt g. proportio. Quod
probatur ſic / et capio ꝓportionem g. / que eſt a. ad
c. / et volo / a deperdat ꝓportioneꝫ f. quam habet
ad b. ita in fine maneat equale ipſi b. / vt oportet
et c. perdat eandem proportionem f. quam ex hy-
potheſi habet ad ipſum d. ita in fine maneat eq̈
le ipſi d. / et arguo ſic. huius ꝓportionis g. que eſt a
ad c. equalem omnino ꝓportionē deperdit termi-
nus maior ſicut minor: quia vter f. proportioneꝫ /
vt patet ex hypotheſi: igitur facta tali diminutio
ne adhuc manet inter reſiduum maioris termini et
minoris. eadem proportio g. / vt patet ex ſecunda
parte decime ſuppoſitionis ſecundi capitis ſecun
de partis ſed reſiduū maioris termini eſt b. et reſi
duū mīoris d. / vt pꝫ ex hypotheſi: igit̄̄ b. ad d. ē g. ꝓ