30 a duodenario ſe habeat in proportio dupla a
ſenario: continuo illud quod remanet ex duode-
nario ſe habet in proportione dupla ad illud qḋ
remanet a numero ſenario. Et ſub tenore huiꝰ exē
pli ego intelligo correlarium Non enī in iſtis exa
ctꝰ ſenſus dialecticus ex expetendus ſed ipſa ma
thematica ſententia eſt efflagitanda. Hoc correla
rium perinde at primum demonſtrationem con
cluſionis exquirit. Applica vt vales.
114. correĺ.
ſenario: continuo illud quod remanet ex duode-
nario ſe habet in proportione dupla ad illud qḋ
remanet a numero ſenario. Et ſub tenore huiꝰ exē
pli ego intelligo correlarium Non enī in iſtis exa
ctꝰ ſenſus dialecticus ex expetendus ſed ipſa ma
thematica ſententia eſt efflagitanda. Hoc correla
rium perinde at primum demonſtrationem con
cluſionis exquirit. Applica vt vales.
¶ Sequitur quarto / quandocun duo numeri ī
equales continuo creſcunt: et continuo ſe habent
in eadem proportione: oportet / continuo acqui
ſitū maiori numero ſe habeat in eadeꝫ proportio
ne ad acquiſitum minori in qua ſe habent illi nūe
ri creſcentes. vt ſi numerus quaternarius et ſena-
rius continuo creſcant et continuo manent in pro
portione ſexquialtera: oportet / continuo acqui
ſitum ſenario ſe habeat in proportione ſexquial-
tera ad acquiſitum quaternario. Hoc correlariuꝫ
eadem cum precedentibus demonſtratione oſten-
ditur. ¶ Sequitur quinto / datis quibuſcun
duobus numeris inequalibus ſe habentibus ī ali
q̄ ꝓportiõe et ī ea ꝓportiõe ī q̄ mīor excedit̄̄ a maio
re ī eadē cõtinuo tardiꝰ creſcat maiore: cõtinuo ta
les numeri manent in eadem proportione. vt da-
tis: 4. et .6. ſe habentibus in proportione ſexqui-
altera: ſi quando ſex acquiſiuerint aliquod cremē
tum. quatuor acquirant in ſexquialtero minus: ip
ſi continuo manent in proportione ſexquialtera.
Probatur hoc correlarium / quoniam ſi in eadem
proportione in qua numerꝰ maior ſe habet ad mi
norem velocius creſcat quaꝫ minor: ſequitur / cõ
tinuo inter acquiſitum minori numero eſt eadem
proportio que eſt inter illos numeros. vt patet ex
probatioue concluſionis: et per conſequens con-
tinuo tales numeri manent in eadem proportione
Et ſic patet correlarium
equales continuo creſcunt: et continuo ſe habent
in eadem proportione: oportet / continuo acqui
ſitū maiori numero ſe habeat in eadeꝫ proportio
ne ad acquiſitum minori in qua ſe habent illi nūe
ri creſcentes. vt ſi numerus quaternarius et ſena-
rius continuo creſcant et continuo manent in pro
portione ſexquialtera: oportet / continuo acqui
ſitum ſenario ſe habeat in proportione ſexquial-
tera ad acquiſitum quaternario. Hoc correlariuꝫ
eadem cum precedentibus demonſtratione oſten-
ditur. ¶ Sequitur quinto / datis quibuſcun
duobus numeris inequalibus ſe habentibus ī ali
q̄ ꝓportiõe et ī ea ꝓportiõe ī q̄ mīor excedit̄̄ a maio
re ī eadē cõtinuo tardiꝰ creſcat maiore: cõtinuo ta
les numeri manent in eadem proportione. vt da-
tis: 4. et .6. ſe habentibus in proportione ſexqui-
altera: ſi quando ſex acquiſiuerint aliquod cremē
tum. quatuor acquirant in ſexquialtero minus: ip
ſi continuo manent in proportione ſexquialtera.
Probatur hoc correlarium / quoniam ſi in eadem
proportione in qua numerꝰ maior ſe habet ad mi
norem velocius creſcat quaꝫ minor: ſequitur / cõ
tinuo inter acquiſitum minori numero eſt eadem
proportio que eſt inter illos numeros. vt patet ex
probatioue concluſionis: et per conſequens con-
tinuo tales numeri manent in eadem proportione
Et ſic patet correlarium
Sexta concluſio
Datis tribus nu-
meris in hac medietate conſtitutis: quod fit ex du
ctu extremi in extremum equale eſt quadrato me-
dii: hoc eſt illi numero qui reſultat ex ductu medii
termiui in ſeipſum. vt conſtitutis his tribus termi
nis .8.4.2. numerus ſexdenarius reſultans ex du-
ctu octonarii in binarium eſt equalis numero qui
fit ex ductu quaternarii in ſeipſū / vt conſtat. Pro
batur hec concluſio / ſint tres numeri a.b.c. in hac
medietate conſtituti continuo ꝓportionabiles .g.
ꝓportione: et ſit d. numerus reſultãs ex ductu a. in
b. et e. ſit numerus reſultãs ex ductu b. in idē b. et f.
numerus reſultans ex ductu a. in c. / tunc dico / e. et
f. ſunt equales. Qḋ ſic ꝓbatur: qm̄ d. ad e. eſt ꝓpor
tio g. et d. ad f. eſt eadē ꝓportio g. / ergo e. et f. ſunt
equalia / quod fuit ꝓbandū. Patet conſequētia et
maior oſtenditur. quia ſicut ſe hꝫ d. ad a. ita ſe ha-
bet e. ad .b. q2 toties adeq̈te a. cõtinet̄̄ in d. quoties
eſt vnitas in b. et toties continetur b. in e. quoties
eſt vnitas in b. cum d. fiat ex ductu a in b. et e. ex du
ctu b. in b. / igit̄̄ ſicut ſe habet d. ad a. ita e. ad b. Con
ſequētia claret ex tertia ſuppoſitione huius capi-
tis: et ex conſequēti ſicut ſe hꝫ d. ad a. ita e. ad b: er
go ſicut ſe habet d. ad e. ita ſe habet a. ad b. ſed a.
ad b. eſt g. proportio / ergo .d. ad e. eſt g. ꝓportio / qḋ
fuit ꝓbandū. Patet igitur maior. Iã probat̄̄ mi-
nor. q2 d. in g. ꝓportione pluries cõtinet a. quaꝫ f.
contineat idē a. adeq̈te: ergo d. ſe habet ad f. in g.
ꝓportione Patet conſequentia ex tertia ſuppoſi
ctione p̄allegata. Probatur antexedens / q2 d. toti
es continet a. quoties eſt vnitas in b. cuꝫ a. in b. du
catur et inde reſultat d. et f. toties continet a quo
ties eſt vnitas in c. eadē rõue: ſꝫ in g. ꝓportiõe plu
ries continetnr vnitas in b. quã in c. cū b. et c. ſe ha
beant in g. ꝓportione: ergo in g. ꝓportione pluri
es cõtinetur a. in d. quã in f. / qḋ fuerat oñdendū. Et
ſic patet cõclnſio q̄ ꝓfecto pulchra eſt et induſtria q̄
ſit huius medietatis. ſexta proprietas. 221. correĺ. ¶ Ex hac
concluſione ſeq̇tur ṗmo / ī hac medietate id quod
fit ex ductu vnius extremi ad triū termīorū alterū
extremū eſt numerꝰ quadratꝰ: Probatur / q2 talis
numerus eſt equalis quadrato medii termini / g̊ eſt
numerus quadratus Cõſequētia patet de ſe et añ
cedens ex concluſione. 332. correĺ. ¶ Sequitur ſecundo / ſi cõ
ſtitutis duobus numeris ſe habentibus in aliqua
ꝓportione maioris ineqnalitatis rationali. nūe-
rus q̇ fit ex ductu vnius extremi in alterū non eſt q̈
dratꝰ: inter tales termīos nõ eſt medium ꝓportio
nabile ꝓportione rationali: ita ṗmi ad illḋ me-
diū ſit eadē ꝓportio rationalis que eſt illius me-
dii ad tertiuꝫ. Probatur hoc correlarium / qnia ſi
inter tales numeros reperiatur mediū ꝓportiõa-
bile ꝓportione rationali: puta aliquis numerus
medio loco proportionabilis: iam ſequitur / ibi
dē reperiuntur tres numeri cõtinuo ꝓportionabi
les hac medietate: et ꝑ cõſequēs numerꝰ q̇ fit ex du
ctu extremi in extremum eſt equalis quadrato me
dii / vt patet ex coucluſione: igitur talis numerus ē
quadratus / vt patet ex primo correlario / quod eſt
oppoſitū añcedetis correlari ꝓbãdi. īfert igir̄ cor
relarii oppoſitū conſequentis oppoſitū añceden-
tis / et ꝑ conſequēs correlarium verum. 443. correĺ. ¶ Sequitur
tertio / ſi medium proportionabile īter duos nu
meros ſe habētes in proportione maioris inequa
litatis nõ ſit latus numeri contenti ſub extremis:
tunc numerus qui fit ex ductu vnius extremi in al-
terū nõ eſt quadratus. Probatur / ſint a.c. duo nu
meri ſe habentes in proportione maioris inequa
litatis a. maior c. minor: et numerus qui fit ex du
ctu a. in c. ſit d. et e. ſit medium ꝓpõrtionale inter a
et c. / tunc dico / ſi e. non ſit latus ipſius d: d. nõ eſt
numerus quadratus. Quod ſic oñditur: q2 ſi d: ſit
numerus quadratus ſequitur / eius latus eſt e. /
igitur ex oppoſito ſequitur oppoſitum: et per con
ſequens correlarium verum. Probatur antece-
dens / quia ſi d. eſt numerus quadratus cum nõ ſit
quadratus a. nec quadratus ipſius c. / vt conſtat:
qm̄ quando duo numeri inequales in ſeipſos du
cuntur quod inde ſit neutrius illoꝝ eſt quadratuꝫ:
ſed eſt alicuius numeri minoris maiore illorum et
maioris minore: ſit igitur talis numerus b. cuius
d. eſt quadratum / et ſequitur / a. ad b. eſt aliqua ꝓ
portio: conſtituo igitur tres terminos continuo ꝓ
portionabiles illa proportione a. ad b. que ſint a.
b.h. / et ſequitur ex cõcluſione / numerus qui fit ex
ductu a. in h. eſt equalis ipſi d. et per te numerꝰ qui
fit ex ductu a. in c. eſt equalis ipſi d. Imo eſt ipſum
d. / igitur h. et c: ſunt numeri equales. Patet hec cõ
ſequentia / q2 ex ductu vuius tertii in vtrū illorū
reſultat idem numerus. et ſic tot vnitates continet
c. ſicut h. / et per conſequens ſunt equales. ſed inter
a. et h. eſt mediū ꝓportionale quod eſt latus qua-
drati quod fit ex ductu a. in h. quod latus eſt b. / igi
tur inter a. et c. eſt mediū ꝓportionale quod eſt la-
tus quadrati quod fit ex ductu a. in h. / et per conſe
quens medium e. inter a. et c. eſt latus numeri d. q̇
fit ex ductu a. in c. / quod fuit probandum. Et ſic pa
tet correlarium. 554. correĺ. ¶ Sequitur quarto / conſtitutis
duobus terminis ſe habentibus in aliqua ꝓpor-
tione maioris inequalitatis rationali ſi numerus
qui fit ex ductu vnius extremi in alterum ſit qua-
meris in hac medietate conſtitutis: quod fit ex du
ctu extremi in extremum equale eſt quadrato me-
dii: hoc eſt illi numero qui reſultat ex ductu medii
termiui in ſeipſum. vt conſtitutis his tribus termi
nis .8.4.2. numerus ſexdenarius reſultans ex du-
ctu octonarii in binarium eſt equalis numero qui
fit ex ductu quaternarii in ſeipſū / vt conſtat. Pro
batur hec concluſio / ſint tres numeri a.b.c. in hac
medietate conſtituti continuo ꝓportionabiles .g.
ꝓportione: et ſit d. numerus reſultãs ex ductu a. in
b. et e. ſit numerus reſultãs ex ductu b. in idē b. et f.
numerus reſultans ex ductu a. in c. / tunc dico / e. et
f. ſunt equales. Qḋ ſic ꝓbatur: qm̄ d. ad e. eſt ꝓpor
tio g. et d. ad f. eſt eadē ꝓportio g. / ergo e. et f. ſunt
equalia / quod fuit ꝓbandū. Patet conſequētia et
maior oſtenditur. quia ſicut ſe hꝫ d. ad a. ita ſe ha-
bet e. ad .b. q2 toties adeq̈te a. cõtinet̄̄ in d. quoties
eſt vnitas in b. et toties continetur b. in e. quoties
eſt vnitas in b. cum d. fiat ex ductu a in b. et e. ex du
ctu b. in b. / igit̄̄ ſicut ſe habet d. ad a. ita e. ad b. Con
ſequētia claret ex tertia ſuppoſitione huius capi-
tis: et ex conſequēti ſicut ſe hꝫ d. ad a. ita e. ad b: er
go ſicut ſe habet d. ad e. ita ſe habet a. ad b. ſed a.
ad b. eſt g. proportio / ergo .d. ad e. eſt g. ꝓportio / qḋ
fuit ꝓbandū. Patet igitur maior. Iã probat̄̄ mi-
nor. q2 d. in g. ꝓportione pluries cõtinet a. quaꝫ f.
contineat idē a. adeq̈te: ergo d. ſe habet ad f. in g.
ꝓportione Patet conſequentia ex tertia ſuppoſi
ctione p̄allegata. Probatur antexedens / q2 d. toti
es continet a. quoties eſt vnitas in b. cuꝫ a. in b. du
catur et inde reſultat d. et f. toties continet a quo
ties eſt vnitas in c. eadē rõue: ſꝫ in g. ꝓportiõe plu
ries continetnr vnitas in b. quã in c. cū b. et c. ſe ha
beant in g. ꝓportione: ergo in g. ꝓportione pluri
es cõtinetur a. in d. quã in f. / qḋ fuerat oñdendū. Et
ſic patet cõclnſio q̄ ꝓfecto pulchra eſt et induſtria q̄
ſit huius medietatis. ſexta proprietas. 221. correĺ. ¶ Ex hac
concluſione ſeq̇tur ṗmo / ī hac medietate id quod
fit ex ductu vnius extremi ad triū termīorū alterū
extremū eſt numerꝰ quadratꝰ: Probatur / q2 talis
numerus eſt equalis quadrato medii termini / g̊ eſt
numerus quadratus Cõſequētia patet de ſe et añ
cedens ex concluſione. 332. correĺ. ¶ Sequitur ſecundo / ſi cõ
ſtitutis duobus numeris ſe habentibus in aliqua
ꝓportione maioris ineqnalitatis rationali. nūe-
rus q̇ fit ex ductu vnius extremi in alterū non eſt q̈
dratꝰ: inter tales termīos nõ eſt medium ꝓportio
nabile ꝓportione rationali: ita ṗmi ad illḋ me-
diū ſit eadē ꝓportio rationalis que eſt illius me-
dii ad tertiuꝫ. Probatur hoc correlarium / qnia ſi
inter tales numeros reperiatur mediū ꝓportiõa-
bile ꝓportione rationali: puta aliquis numerus
medio loco proportionabilis: iam ſequitur / ibi
dē reperiuntur tres numeri cõtinuo ꝓportionabi
les hac medietate: et ꝑ cõſequēs numerꝰ q̇ fit ex du
ctu extremi in extremum eſt equalis quadrato me
dii / vt patet ex coucluſione: igitur talis numerus ē
quadratus / vt patet ex primo correlario / quod eſt
oppoſitū añcedetis correlari ꝓbãdi. īfert igir̄ cor
relarii oppoſitū conſequentis oppoſitū añceden-
tis / et ꝑ conſequēs correlarium verum. 443. correĺ. ¶ Sequitur
tertio / ſi medium proportionabile īter duos nu
meros ſe habētes in proportione maioris inequa
litatis nõ ſit latus numeri contenti ſub extremis:
tunc numerus qui fit ex ductu vnius extremi in al-
terū nõ eſt quadratus. Probatur / ſint a.c. duo nu
meri ſe habentes in proportione maioris inequa
litatis a. maior c. minor: et numerus qui fit ex du
ctu a. in c. ſit d. et e. ſit medium ꝓpõrtionale inter a
et c. / tunc dico / ſi e. non ſit latus ipſius d: d. nõ eſt
numerus quadratus. Quod ſic oñditur: q2 ſi d: ſit
numerus quadratus ſequitur / eius latus eſt e. /
igitur ex oppoſito ſequitur oppoſitum: et per con
ſequens correlarium verum. Probatur antece-
dens / quia ſi d. eſt numerus quadratus cum nõ ſit
quadratus a. nec quadratus ipſius c. / vt conſtat:
qm̄ quando duo numeri inequales in ſeipſos du
cuntur quod inde ſit neutrius illoꝝ eſt quadratuꝫ:
ſed eſt alicuius numeri minoris maiore illorum et
maioris minore: ſit igitur talis numerus b. cuius
d. eſt quadratum / et ſequitur / a. ad b. eſt aliqua ꝓ
portio: conſtituo igitur tres terminos continuo ꝓ
portionabiles illa proportione a. ad b. que ſint a.
b.h. / et ſequitur ex cõcluſione / numerus qui fit ex
ductu a. in h. eſt equalis ipſi d. et per te numerꝰ qui
fit ex ductu a. in c. eſt equalis ipſi d. Imo eſt ipſum
d. / igitur h. et c: ſunt numeri equales. Patet hec cõ
ſequentia / q2 ex ductu vuius tertii in vtrū illorū
reſultat idem numerus. et ſic tot vnitates continet
c. ſicut h. / et per conſequens ſunt equales. ſed inter
a. et h. eſt mediū ꝓportionale quod eſt latus qua-
drati quod fit ex ductu a. in h. quod latus eſt b. / igi
tur inter a. et c. eſt mediū ꝓportionale quod eſt la-
tus quadrati quod fit ex ductu a. in h. / et per conſe
quens medium e. inter a. et c. eſt latus numeri d. q̇
fit ex ductu a. in c. / quod fuit probandum. Et ſic pa
tet correlarium. 554. correĺ. ¶ Sequitur quarto / conſtitutis
duobus terminis ſe habentibus in aliqua ꝓpor-
tione maioris inequalitatis rationali ſi numerus
qui fit ex ductu vnius extremi in alterum ſit qua-