49 tur aliquis numeris cū fractione vel ſine habens
ſe in eadem proportione ad illud maius extremū:
vt patet ex tertia ſuppoſitione: et tūc illius nume-
ri ad minimū numerū erit ꝓportio dupla ad illaꝫ
ſuperparticularē: q2 ibi erūt tres termini cõtinuo
ꝓportionabiles .etc̈. Et iſto modo poteris cõſttue-
re .5. terminos .6.7. continuo ꝓportionabiles: illa
ꝓportione ſuperparticulari data: et ſic in infinitū /
igit̄̄ dabitur ad eam quadrupla, quītupla, ſextu-
pla rationalis: et ſic in infinitū. Et eodē modo pro
babis de quocū genere ꝓportionū rationaliuꝫ
Et ſic patet concluſio.
ſe in eadem proportione ad illud maius extremū:
vt patet ex tertia ſuppoſitione: et tūc illius nume-
ri ad minimū numerū erit ꝓportio dupla ad illaꝫ
ſuperparticularē: q2 ibi erūt tres termini cõtinuo
ꝓportionabiles .etc̈. Et iſto modo poteris cõſttue-
re .5. terminos .6.7. continuo ꝓportionabiles: illa
ꝓportione ſuperparticulari data: et ſic in infinitū /
igit̄̄ dabitur ad eam quadrupla, quītupla, ſextu-
pla rationalis: et ſic in infinitū. Et eodē modo pro
babis de quocū genere ꝓportionū rationaliuꝫ
Et ſic patet concluſio.
Secūda cõcluſio.
Quãuis quelibet
ꝓportio rationalis in qualibet ꝓportione multi-
plici ab aliqua ꝓportione ratiõali excedatur: ita
quelibet ꝓportio rationalis habeat duplã, tri-
plam, quadruplã, rationales / et ſic in infinitū: ni-
chilominus nõ quelibet ꝓportio ratiõalis habet
ſubduplã, ſubtriplã, ſubquadruplã, rationales.
etc̈. Prima pars huiꝰ concluſionis patet ex priori
concluſione: et ſecunda ꝓbatur: quia ꝓportio du-
pla non habet ſubduplã rationalē, nec ſubtriplã,
nec ſubquadruplã .etc̈. / vt patet ex doctrina vnde-
cime concluſionis precedentis capitis: igitur non
quelibet ꝓportio rationalis habet ſubduplã ſub
triplã, ſubq̈druplã ratiõales .etc̈. Ptꝫ igit̄̄ ↄ̨cluſio
ꝓportio rationalis in qualibet ꝓportione multi-
plici ab aliqua ꝓportione ratiõali excedatur: ita
quelibet ꝓportio rationalis habeat duplã, tri-
plam, quadruplã, rationales / et ſic in infinitū: ni-
chilominus nõ quelibet ꝓportio ratiõalis habet
ſubduplã, ſubtriplã, ſubquadruplã, rationales.
etc̈. Prima pars huiꝰ concluſionis patet ex priori
concluſione: et ſecunda ꝓbatur: quia ꝓportio du-
pla non habet ſubduplã rationalē, nec ſubtriplã,
nec ſubquadruplã .etc̈. / vt patet ex doctrina vnde-
cime concluſionis precedentis capitis: igitur non
quelibet ꝓportio rationalis habet ſubduplã ſub
triplã, ſubq̈druplã ratiõales .etc̈. Ptꝫ igit̄̄ ↄ̨cluſio
Tertia cõcluſio.
Aliqua ꝓportio ra-
tionalis eſt dupla, tripla, quadrupla, et ſic in infi
nitū alicui ꝓportioni irratiõali. Probatur / quia
ꝓportio dupla eſt huiuſmodi / igitur. Antecedens
ꝓbatur / quia ꝓportio dupla habet medietatē ter
tiam, quartã, quintã .etc̈. / vt patet ex quinta ſuppo
ſitione: et ad medietatē ſui eſt dupla, et ad tertiaꝫ
tripla, et ſic in infinitū / vt patet ex quarta ſuppo-
ſitione: et nec eius medietas, nec eius tertia, et ſic
in infinitū ſunt ꝓportiones rationales / vt patet ex
ꝓbatione precedentis cõcluſionis: igit̄̄ ſunt ꝓpor
tiões irratiõales: igit̄̄ ipſa ꝓportio dupla eſt du-
pla, tripla, quadrupla, et ſic in infinitū alicui pro
portioni irrationali / quod fuit probandum.
tionalis eſt dupla, tripla, quadrupla, et ſic in infi
nitū alicui ꝓportioni irratiõali. Probatur / quia
ꝓportio dupla eſt huiuſmodi / igitur. Antecedens
ꝓbatur / quia ꝓportio dupla habet medietatē ter
tiam, quartã, quintã .etc̈. / vt patet ex quinta ſuppo
ſitione: et ad medietatē ſui eſt dupla, et ad tertiaꝫ
tripla, et ſic in infinitū / vt patet ex quarta ſuppo-
ſitione: et nec eius medietas, nec eius tertia, et ſic
in infinitū ſunt ꝓportiones rationales / vt patet ex
ꝓbatione precedentis cõcluſionis: igit̄̄ ſunt ꝓpor
tiões irratiõales: igit̄̄ ipſa ꝓportio dupla eſt du-
pla, tripla, quadrupla, et ſic in infinitū alicui pro
portioni irrationali / quod fuit probandum.
Quarta cõcluſio.
Quelibet ꝓportio
rationalis eſt cõmenſurabilis alicui proportioni
irrationali. Probatur hec concluſio / qm̄ nulla ꝓ-
portio ratiõalis habet quãlibet ſui partē aliquo-
tam rationalē ꝓportionē: igitur quelibet eſt com
menſurabilis alicui rationali. Patet cõſequētia
ſuppoſita cõſtantia: qm̄ quelibet quãlibet aliquo
tam habet) vt ly quãlibet diſtribuat pro generibꝰ
ſingulorū (et nõ quãlibet habet rationalē ꝓporti-
onē: igitur aliquam habet que eſt irrationalis ꝓ-
portio: et illi eſt cõmenſurabilis / vt patet ex quarta
ſuppoſitione: igitur ꝓpropoſitū. Probat̄̄ antecedēs /
qm̄ inter nulliꝰ ꝓportionis terminos inueniūtur
tot numeri cõtinuo ꝓportionabiles quot poſſunt
ſignari partes aliquote: igitur aliqua pars ali-
quota erit ꝓportio irratiõalis. Et ſic ptꝫ ↄ̨cluſio:
rationalis eſt cõmenſurabilis alicui proportioni
irrationali. Probatur hec concluſio / qm̄ nulla ꝓ-
portio ratiõalis habet quãlibet ſui partē aliquo-
tam rationalē ꝓportionē: igitur quelibet eſt com
menſurabilis alicui rationali. Patet cõſequētia
ſuppoſita cõſtantia: qm̄ quelibet quãlibet aliquo
tam habet) vt ly quãlibet diſtribuat pro generibꝰ
ſingulorū (et nõ quãlibet habet rationalē ꝓporti-
onē: igitur aliquam habet que eſt irrationalis ꝓ-
portio: et illi eſt cõmenſurabilis / vt patet ex quarta
ſuppoſitione: igitur ꝓpropoſitū. Probat̄̄ antecedēs /
qm̄ inter nulliꝰ ꝓportionis terminos inueniūtur
tot numeri cõtinuo ꝓportionabiles quot poſſunt
ſignari partes aliquote: igitur aliqua pars ali-
quota erit ꝓportio irratiõalis. Et ſic ptꝫ ↄ̨cluſio:
Quinta cõcluſio.
Non oīs proportio
irrationalis eſt ſubdupla, aut ſubtripla, et ſic con
ſequēter ad aliquã irrationalē: īmo multe irrati-
onales ſunt ſubduple aut ſubtriple .etc̈. ad ratio-
nales. Probatur hec ↄ̨cluſio facile: qm̄ medietas
duple, quintuple, triple, octuple .etc̈. nõ eſt ſubdu-
pla ad aliquã irrationalē: et tñ eſt irrationalis / vt
ſatis patet ex decima ↄ̨cluſione cū ſuo primo cor-
relario precedentis capitis / igitur concluſio vera.
irrationalis eſt ſubdupla, aut ſubtripla, et ſic con
ſequēter ad aliquã irrationalē: īmo multe irrati-
onales ſunt ſubduple aut ſubtriple .etc̈. ad ratio-
nales. Probatur hec ↄ̨cluſio facile: qm̄ medietas
duple, quintuple, triple, octuple .etc̈. nõ eſt ſubdu-
pla ad aliquã irrationalē: et tñ eſt irrationalis / vt
ſatis patet ex decima ↄ̨cluſione cū ſuo primo cor-
relario precedentis capitis / igitur concluſio vera.
Sexta concluſio.
Quelibet ꝓportio
in qualibet proportione rationali ab aliqua pro
portione rationali vel irratiõali exceditur. Pro-
batur hec concluſio: quoniã data quacū propor
tione ad illam poteſt dari dupla, tripla, quadru
pla, et ſic cõſequenter procedendo per oēs ſpecies
ꝓportionis multiplicis: quoniã poſſunt dari tres
termini continuo ꝓportionabiles tali ꝓportione
data: et quatuor, et quin, et ſex, et ſic conſequēter
vt docet ſexta ſuppoſitio: et etiam data quacun
dabitur vna que contineat ipſam et medietatē eiꝰ
et alia que continet ipſam et vnã tertiã eius, et vnã
quartam, et ſic in infinituꝫ. Item dabitur vna que
cõtinet ipſam et duas tertias eius, vel tres quar-
tas: et ſic in infinītum ſecundū omnē ſpeciem pro-
portionis rationalis tam ſimplicis quam cõpo-
ſite: et quelibet talis proportio erit rationalis vel
irrationalis / vt patet ex primo capite prime par-
tis: igitur quelibet proportio in qualibet propor
tione rationali ab aliqua proportione rationali
vel irrationali exceditur. Patet igitur concluſio.
in qualibet proportione rationali ab aliqua pro
portione rationali vel irratiõali exceditur. Pro-
batur hec concluſio: quoniã data quacū propor
tione ad illam poteſt dari dupla, tripla, quadru
pla, et ſic cõſequenter procedendo per oēs ſpecies
ꝓportionis multiplicis: quoniã poſſunt dari tres
termini continuo ꝓportionabiles tali ꝓportione
data: et quatuor, et quin, et ſex, et ſic conſequēter
vt docet ſexta ſuppoſitio: et etiam data quacun
dabitur vna que contineat ipſam et medietatē eiꝰ
et alia que continet ipſam et vnã tertiã eius, et vnã
quartam, et ſic in infinituꝫ. Item dabitur vna que
cõtinet ipſam et duas tertias eius, vel tres quar-
tas: et ſic in infinītum ſecundū omnē ſpeciem pro-
portionis rationalis tam ſimplicis quam cõpo-
ſite: et quelibet talis proportio erit rationalis vel
irrationalis / vt patet ex primo capite prime par-
tis: igitur quelibet proportio in qualibet propor
tione rationali ab aliqua proportione rationali
vel irrationali exceditur. Patet igitur concluſio.
Septima cõcluſio.
Quelibet ꝓpor-
tio in qualibet proportione rationali aliquã ra-
tionalem vel irratiõalem excedit. Probatur / qm̄
quelibet proportio poteſt diuidi in duas equales
ratiõales vel non rationales: in .3. in .4. in .5. in .6. /
et ſic in infinitū. vt patet ex quinta ſuppoſitione / et
ſui medietatē in proportione dupla excedit: et ter-
tiã in tripla: et quartã in q̈drupla: et ſic in infinitū /
vt patet ex prima ſuppoſitione: et duas tertias in
ſexquialtera: et tres quartas ī ſexquitertia: et tres
quintas in ſuprabipartiente tertias: et ſic in infi-
nitum diſcurrendo per ſingulas ſpecies propor-
tionuꝫ rationalium: igitur quelibet proportio in
qualibet proportione rationali aliquam ratio-
nalem vel irrationalem excedit.
tio in qualibet proportione rationali aliquã ra-
tionalem vel irratiõalem excedit. Probatur / qm̄
quelibet proportio poteſt diuidi in duas equales
ratiõales vel non rationales: in .3. in .4. in .5. in .6. /
et ſic in infinitū. vt patet ex quinta ſuppoſitione / et
ſui medietatē in proportione dupla excedit: et ter-
tiã in tripla: et quartã in q̈drupla: et ſic in infinitū /
vt patet ex prima ſuppoſitione: et duas tertias in
ſexquialtera: et tres quartas ī ſexquitertia: et tres
quintas in ſuprabipartiente tertias: et ſic in infi-
nitum diſcurrendo per ſingulas ſpecies propor-
tionuꝫ rationalium: igitur quelibet proportio in
qualibet proportione rationali aliquam ratio-
nalem vel irrationalem excedit.
Octaua cõcluſio que vocat̄̄ cõcluſio
medie rei inuentionis. Si datis duabus rectis li-
neis proportionabilibus proportione rationali
vel irrationali in directum protractis coniūctis
at ligatis: deſcribatur ſemicirculus: et a cõmuni
medio ſiue puncto in quo vniuntur eleuetur linea
directe orthogonaliter ad peripheriam vſ ſemi
circuli. talis linea ſcḋm cõtinuã ꝓportionalitatē
inter datas lineas mediabit. Huiꝰ cõcluſionis ſen
ſus talis eſt. Si velis inter duas lineas ꝓportiõa-
biles ꝓportione dupla aut quacun alia īuenire
vnã que ſe habeat in eadē ꝓportione ad minorē in
qua ſe habet maior ad ipſam: ↄ̨iūge illas duas li
neas et ſuꝑ illas deſcribas ſemicirculū: et a pūcto
in quo iūgunt̄̄ ille due linee oriat̄̄ directe et ortho-
gonaliter vna alia linea vſ ad circūferentiã cir-
culi: et illa eſt linea q̄ querit̄̄: et ꝓportio maioris li-
nee ad illã mediã eſt medietas ꝓportiõis q̄ eſt īter
illã lineã maiorē et minimã ſic ↄ̨iunctas. Exemplū /
huius concluſionis patet in hac figura.
medie rei inuentionis. Si datis duabus rectis li-
neis proportionabilibus proportione rationali
vel irrationali in directum protractis coniūctis
at ligatis: deſcribatur ſemicirculus: et a cõmuni
medio ſiue puncto in quo vniuntur eleuetur linea
directe orthogonaliter ad peripheriam vſ ſemi
circuli. talis linea ſcḋm cõtinuã ꝓportionalitatē
inter datas lineas mediabit. Huiꝰ cõcluſionis ſen
ſus talis eſt. Si velis inter duas lineas ꝓportiõa-
biles ꝓportione dupla aut quacun alia īuenire
vnã que ſe habeat in eadē ꝓportione ad minorē in
qua ſe habet maior ad ipſam: ↄ̨iūge illas duas li
neas et ſuꝑ illas deſcribas ſemicirculū: et a pūcto
in quo iūgunt̄̄ ille due linee oriat̄̄ directe et ortho-
gonaliter vna alia linea vſ ad circūferentiã cir-
culi: et illa eſt linea q̄ querit̄̄: et ꝓportio maioris li-
nee ad illã mediã eſt medietas ꝓportiõis q̄ eſt īter
illã lineã maiorē et minimã ſic ↄ̨iunctas. Exemplū /
huius concluſionis patet in hac figura.