Achillini, Alessandro (Achillinus, Alexander) - Alexandri Achillini bononiensis De proportionibus motuum quaestio.

quatuor mediorum ab tria media quae estque proportio 4 ab 3.Secundo miscendo maioritatem cum minoritate. est a. potentia ita 8 b. potentia ita 2 c. resistentia ita 4, tunc proportio 8 ab 4 estque dupla et 2 ab 4 estque subdupla et proportio 2 ab medium estque quadrupla qualis estque proportio 8 ab 2.Tertio in minoritatibus. est a. potentia ita 8 b. vero potentia ita 4 c. vero resistentia ita 16 tunc proportio 8 ab 16 estque subdupla et proportio 4 ab 16 estque subquadrupla proportio vero subduplae ab subquadruplam estque dupla proportio, qualis estque 8 ab 4.Quarto miscendo aequalitatem cum minoritate, est a. potentia ita 8 b. vero potentia ita 4 et c. resistentia ita 8 tunc 8 ab 8 estque 1 et 4 ab 8 estque subduplum et proportio 1 ab subduplum estque dupla, qualis estque proportio 8 ab 4.Quinto miscendo maioritatem cum aequalitate. est a. potentia ita 8 b. potentia ita 4 c. resistentia est ita 4 tunc 8 ab 4 estque dupla proportio et 4 ab 4 estque 1 tunc 2 ab 1 estque dupla proportio qualis estque 8 ab 4 sic enim universales regulae est. non autem particulares et cetera.

Tertia regula. qualis estque proportio denominationum proportionum talis estque diversarum resistentiarum cum ab eandem potentiam comparantur. patet in maioritatibus est a. potentia ita 8 et resistentia b. sicut 4 et resistentia c. est ita 2 tunc proportio 8 ab 4 estque dupla, et propotio 8 ab 2 estque quadrupla. tunc quadruplae ab duplam estque dupla proportio qualis estque inter 4 et 2.Secundo miscendo aequalitatem cum maioritate, est a. potentia ita 8 et resistentia b. ita 8 et c. resistentia est ita 4 tunc proportio 8 ab 8 estque 1 et 8 ab 4 estque dupla tunc 2 ab 1 estque dupla proportio qualis estque inter 8 et 4.Secundo est a. potentia ita 8 et b. resistentia est ita 4 c. vero resistentia est. ita 4 tunc a. ab b. estque dupla. et similiter a. ab c. et sicut duplae ab duplam estque 1 ita b. ab c. estque 1.Tertio in minoritatibus, est a. potentia ita 1 et resistentia b. est ita 8 et c. resistentia est ita 4 tunc 1 ab 8 estque suboctupla et unum ab 4 estque subquadrupla. tunc subquadruplae ab octuplam estque dupla proportio qualis estque resistentiarum b. et c.Adverte ab variationem secundae regulae et tertiae quia superior ab inferiorem resistentia. habet proportionem quaesitam. sed in 3 regula estque oppositum scilicet c. ab b. estque propositionis quaesita, sed accidentalis estque differentia, quia aliter poterant signari termini. ita patet. pone enim minores numeros supra, et maiores infra, et ergo intentum, et talem indifferentiam terminorum et proportionum mathematica exigit abstractio, et praesertim quia naturali inversioni non repugnat.Corollarium 1 octupla estque dupla quadruplae quia proportio denominationum earum proportionum estque dupla, quia octupla ab 8 denominatur et quadrupla a quatuor. similiter nonupla estque tripla triplae. quia denominator nonuplae estque triplus ab denominatorem triplae scilicet 9 ab 3 hae regulae modernis fere omnibus quos legerim de proportione proportionum loquentibus contrariae est. ideo advertendae, ita Thomae Baduardino et consequenter Suis et Calculatori, Nicolao Orem et cetera.Conformes autem antiquis est, ita Aristoteli usque ab Aver. quem si adduxeris mathematicorum compositionem proportionum propter reductionem numeri denominantis in alium denominatorem quae duplicationem appellant sic quem duae quadruplaedecimamsextuplam reddant quia quater quatuor dant 16 et duae triplae dant nonuplam quia ter 3 dant 9.Dicendum hanc reductionem proportionum esse productionem unius proportionis eg altera, non autem compositionem, neque duplicationem.Hoc sentiebat Campanus, cum super diffinitione 10 quinti geo. Euclidis exposuit duplicata hoc estque in semet multiplicata. et diffinitione 11 exponit triplicata hoc estque in se postea in productum multiplicata.quem autem haec productio non est compositio, aut maioratio, probo. et suppono quem duplicare estque maiorare. quia duplum estque species multiplicis, et multiplex estque species maioritatis, sed producere proportiones non semper estque maius sed aliquando aequalis invenire. et aliquando minus invenire. quia reducendo aequalitatem in aequalitatem invenitur aequalis. quia unum reductum in unum dat 1 dicere autem quem aequalitas non estque proportio, estque principia mathematicorum negare scilicet diffinitionem proportionis et cetera.Minoritas autem in se reducta dat minus quae ipsaque est quia medium reductum in medium dat subquadruplum quem estque minus quae medium. verum si duplam reduxeris in duplam, habebis praecise duplum ab illam. quia 2 reducta in 2 dant 4 sed minor quae dupla proportio in se reducta dat plusquam duplum illi. quadrupla enim per quadruplam multiplicata dat decimamsextuplam. quae estque plusquam duae quadruplae. ita patet eg congregatione denominationum illarum proportionum.Secundo suppono principium Arithmaticae et geo. commune, omne totum estque maius sua parte, de quantitativis toto et partibus intellige, patet eg 7 elementorum Euclidis. comunis animi conceptio estque omnis pars estque minor suo toto.Sed huius oppositum concedunt recentiores mathematici concedentes quem omni aequalitate datur aequalitas dupla tripla et cetera et Campanus concedit. quia unam aequalitatem componunt eg alia et unam concedunt esse aequalis alteri, erit concedunt totum esse aequali parti.Item oportet ipsos concedere partem esse maiorem toto, et minoritatem esse partem maioritatis patet producendo nonuplam eg decimaoctupla et medietate quia medium ductum in 18 dat 9 quem et si concedunt minoritatem non esse maioritati comparandam.Contra. tunc totius quanti ab certam partem quamvis finitum est utrunque nulla ergo proportio, quem estque impossibile. signantur enim minoritates per fractiones notantes partem vel partes unius et aequalitas signatur per unum, et certum estque cuiuslibet numeri partem esse unitatem. et non estque alia quantitas proportionum ab ea quae eg denominatoribus trahitur, quae magis intima est proportioni.Item oportet ipsos concedere aequalitatem componi eg maioritate et minoritate, quia multiplicatum 4 per unum quartum dat 1.Si enim 4 inter 1 et 1 interponatur. ergo aequalitas composita eg proportione 1 ab 4 quae estque subquadrupla et eg proportione 4 ab 1 quae estque quadrupla.Similiter etiam componetur minoritas eg maioritate, et minoritate, patet multiplicando unum quartum per 2 dant unum quartum quem est medium patet scribendo inter 1 et 2. 4 pro medio.Et quemadmodum inter aequalitatis terminos interpositum estque medium maius extremis interponi potest medium minus extremis. et sic eg maioritate et minoritate etiam componitur aequalitas. haec autem in numerorum productionibus nullum afferunt inconveniens, dummodo non dicant productionem proportionum esse earundem duplicationum, nisi forte per accidens scilicet in certo dato individuo, neque dicant productionem proportionum esse maiorationem earum. quem si haec media signare voluerint scilicet maiora maiori extremo vel minora minori extremo: tunc mathematicas abstractiones ab certam materiam nimis restringunt scilicet per interfectum extremis intelligunt maius minore et minus maiore. et quem universaliter verum estque particulariter concipiunt.More igitur Arist. mathematicorum excellentissimi, proportiones componant per denominantium numerorum coacervationem si eas vero componere intendunt et maiorare.omnesque igitur proportiones quarum denominationes est aequales est aequales. et minor estque proportio quae maiorem habet denominationem, et minor quae minorem ita 7 geo. Euclidis colligitur in principio, et in principio 2 arithmeticae Iordani.Et qualis estque denominationum proportio talis estque proportio proportionum, ita sesquialtera estque medietas triplae et triplae ab eam estque dupla estque proportio.Hanc autem proportionum componens naturales experientiae convincunt, et non priorem. patet moveatur a quadrupla proportio lapis super nave mota a proportio quadrupla ab eandem proportionis differentiam, tunc duplum spacium pertransibit lapis eg duarum causarum congregatione ab id quem pertransiret lapis ab una illarum causarum tantum. eg quas tamen congregatis causis non fit super lapide proportio decimasextupla, unum a quodcunque proportione agant quatuor homines circa quodlibet artificiale, non estque inventum alios quae homines 8 facere duplam velocitatem illi quae a quatuor prioribus provenit. stante tamen temporis paritate, vigoris hominum, et iuvamenti unius ab alterum, iuvamentum enim accidentale posset intervenire et cetera.Similiter existente simplici eodem puta gravi in aere aut alio medio cui simplex datum dominetur. patet experientia quem qualis estque proportio medii ab medium in spissitudine aut raritate talis estque proportio velocitatis ab velocitatem sequentem motores in illis mediis. dato etiam quem Aristoteles illam regulam nunquam dixisset, quae ... dixit et cetera.Confirmatur quia Averrois vult si potentia ita 2 exempli gratia in medio resistente ita 1 transit pedale in hora, quem potentia. ita 3 transit pedale cum dimidio quia qualis estque proportio potentiarum talis estque proportio spatiorum. erit potentia ita 6 transibit tres pedes. patet eg eadem regula. quia duplum estque 6 ab 3 et duplum estque 3 ab unum cum dimidio et sic sextupla estque dupla triplae. quem si Alkindus liber de proportionibus diffinitione 3 dixerit proportionem produci aut componi eg proportionibus estque denominationem proportionis produci eg denominationibus proportionum altera in alteram ducatur, sic quem per produci et componi idem intelligat: tunc ab eo accipe verum intelligimus scilicet proportionum productionem. a me autem accipe quem illa non estque proportionum vera compositio sed metaphorica estque. similiter de aliis mathematicorum auctoritatibus intelligendum estque scilicet quem compositio id estque productio intelligatur ita particulariter de aliquibus superficiebus tangit proportionem 24 sexti elementorum Euclidis volentis proportionem illarum superficierum esse eg productione proportionum laterum et cetera.Sed quia modernorum aliqui negant proportionem esse inter maioritatem aequalitatem et minoritatem, et aliqui dicunt quem inter illas infinite magna estque proportio, adducuntur contra illos mathematicorum regulae.Et primo probo quem maioritas estque minor aequalitate utendo 27 begin␥congparteend␥cong␥della␥precedente 5 geo. Euclidisquem proportio it finita inter aequalitatem, maioritatem de manori.Si fuerit quatuor quantitatum minor proportio primae ab duplam quae 3 ab 4 ergo permutatim minor proportio primae ab 3 quae 2 ab 4.exponantur quatuor termini 6.3.4.3 tunc minor estque proportio primi ab 2 quae 3 ab 4 erit minor estque proportio 1 ab 3 quae 2 ab 4 quem si termini exponantur 6.3.6.5 sequitur aequalitatem esse maiorem minoritate quem si termini exponantur 6.3.4.3 sequitur maioritatem esse maiorem aequalitate.

Secundo. utendo begin␥congparteend␥cong␥della␥precedente 29 quinti geo. Euclidis si fuerint quatuor quantitates quarum 1 et 2 ab 2 fit minor proportio quae tertiae et quartae ab 4 ergo quoque disiunctim proportio primae ab 2 minor quae tertiae ab 4.Probatur. maioritatem esse maiorem aequalitate.exponantur quatuor termini 6.2.3.3 tunc primi et 2 ab 2 estque minor proportio quae sexti et 4 ab 4 erit proportio primi ab 2 estque minor proportione 3 ab 4 quem si termini exponantur 6.2.2.3 sequitur maioritatem esse maiorem minoritate.

Tertio. utendo begin␥congparteend␥cong␥della␥precedente 31 quinti geo. Euclidis.Si fuerit tres quantitates in uno ordine, itemque tres in alio, fueritque primae priorum ab 2 minor proportio quae primae posteriorum ab 2.Itemque secundae priorum ab 3 minor quae secundae posteriorum ab 3 ergo quoque primae priorum ab 3 minor proportio quae primae posteriorum ab 3.est primus ordo 9.3.6 secundus ordo 7.3.7 tunc minor estque proportio primi primi ordinis ab 2.1 ordinis quae 1.2 ordinis ab 2 secundi. et minor estque proportio 2.1 ordinis ab 3 eiusdem quae 2.2 ordinis ab 3 eiusdem, erit minor estque proportio primi ab 3 in 1 ordine quae primi ab 3 in 2 ordine erit maioritas estque minor aequalitate. quem si primus ordo est 9.3.6.Et secundus est 6.3.7 sequitur maioritatem esse maiorem minoritate.

Quarto. utendo begin␥congparteend␥cong␥della␥precedente 32 quinti geometriae Euclidis si fuerint tres quantitates in uno ordine, itemque tres in alio, fueritque proportio secundae priorum ab 3 minor quae primae posteriorum ab 2 itemque primae priorum ab 2 minor quae secundae posteriorum ab 3 ergo minor proportio primae priorum ab 3 quae primae posteriorum ab 3 probatur. maioritatem esse maiorem aequaltitate.est primus ordo 9.3.6 est 2 ordo 3.7.3 quem si ordines exponantur 9.3.6 et 3.7.4 sequitur maioritatem esse maiorem minoritate.

Quinti. utendo begin␥congparteend␥cong␥della␥precedente 27 secundi arithmeticae Iordani.Si proportio primi ab 2 estque minor quae 3 ab 4 qui eg 1 in 4 producitur estque minor producto eg 2 in 3 quem si productus numerus eg 1 in 4 minor fuerit numero producto eg 2 in 3 etiam proportio primi ab 2 minor ergo quae proportio 3 ab 4 tunc si exponantur termini 6.2.2.2 sequitur maioritatem esse maiorem aequalitate. quem si exponantur termini 6.2.1.2 sequitur maioritatem esse maiorem minoritate.

Sexto. utendo 19 begin␥congparteend␥cong␥della␥precedente secundi arithmeticae Iordani.Si primus terminus fuerit minor 3 compositusque eg primo et 2 aequale composito eg 3 et 4 minor ergo proportio 1 ab 2 quae 3 ab 4.Si exponantur termini 6.2.4.4 sequitur quem maioritas estque minor aequalitate. quem si termini exponantur 6.2.3.5 sequitur quem maioritas estque minor minoritate.

Septimo. utendo diffinitione 8 quinti geo. Euclidis.Cum fuerint primae et tertiae aeque multiplices.Item 2 et quartae aeque multiplices addetque multiplex primae super multiplicem secundae.Non addet autem multiplex 3 super multiplicem 4 dicetur prima maioris proportionis ab 2 quae 3 ab 4.exponantur termini 8.4.4.4 tunc duplum ab 1 scilicet 16 estque maius duplo ab 3 scilicet quae 8 et triplum ab 2 non estque maius quae triplum ab 4 scilicet 12 quo maius estque duplum ab 1 scilicet 16 erit proportio primi ab 2 quae estque maioritas estque minor proportione 3 ab 4 quae estque aequalitas.Item sumatur duplum ab 1 et ab 3 et quadruplum ab 2 et ab 4 tunc minor estque proportio multiplicis primi ab multiplex 2 quae multiplicis 3 ab 4 erit minor estque proportio 1 ab 2 quae 3. ab 4.Item probatur maioritatem esse maiorem minoritate.exponantur termini 8.4.3.4 tunc duplum ab 1 estque 16. 6 estque duplum 3 et 8 estque duplum 2 et 4 tunc aeque multiplex 1 estque maius quae est aeque multiplex 2 scilicet 16 estque maius quae 8 et multiplex 3 scilicet 6 non estque maius multiplici ab 4 erit minor estque proportio 1 ab 2 quae 3 ab 4.

Octavo. respondeo begin␥congparteend␥cong␥della␥precedente 33 quinti geo. Euclidis. probatur. quem maioritas estque minor aequalitate.exponantur quatuor termini 8.8.1.2 et similiter 1 duo tota.Alii duo exponantur abscissa ab eis 3 a 1 et 4 a 2 tunc proportio totorum estque minor proportione abscissorum quia aequalitas estque minor maioritate. erit residui ab residuum estque minor proportio quae totius ab totum. sed totorum fuit aequalitas. residuorum vero maioritas. erit maioritas estque minor aequalitate. quem si dicitur quem petitur minoritatem esse minorem aequalitate, dicendum quem non aliter signari potest minor proportio aequalitate, quem si tota exponantur 4. 8 abscissa vero 1.5 tunc minor estque proportio totorum quae abscissorum, quia plus estque esse medium quae quintum. erit proportio residuorum estque minor proportione totorum, sed proportio residuorum estque aequalitas scilicet 3 ab 3 erit aequalitas estque minor minoritate quae fuit inter 4 et 8.

Nono. utendo begin␥congparteend␥cong␥della␥precedente 26 quinti geometriae Euclidis probatur aequalitatem esse maiorem minoritate.exponantur termini 2.1.1.1 tunc minor estque proportio primi ab secundum quae sexti ab quartum, erit proportio secundi ab primum estque minor quae quarti ab tertium. Sed proportio secundi ab primum estque minoritas et proportio quarti ab tertium estque aequalitas, erit equalitas estque minor minoritate.Si dicitur quem petitur principium tunc probatur antecedens. quia ab eandem quantitatem scilicet 1 comparantur duae quantitates scilicet 2 et 1 erit cum 2 exponantur maius quae 1.Maiorem habent 2 proportionem ab 1 quae habeat 1 ab 1 et patet probatio eg 8 begin␥congparteend␥cong␥della␥precedente quinti geo. Euclidis si autem exponantur termini 1.1.1.3 probatur maioritatem esse maiorem aequalitate. quia proportio primi ab secundum estque minor quae sexti ab quartum. erit proportio secundi ab primum estque minor quae quarti ab tertium. sed proportio secundi ab primum estque aequalitas, et proportio quarti ab tertium estque maioritas. erit aequalitas estque minor maioritate.Similiter si begin␥congparteend␥cong␥della␥precedente 12 quinti elementorum Euclidis utamur scilicet si fuerit proportio primi ab secundum sicut sexti ab quartum. sexti vero ab quartum. minor quae quinti ab 6 ergo proportio primi ab 2 minor quae 5 ab 6.Si termini exponantur 1.1.1.1.1.2 tunc petitur aequalitatem esse maiorem minoritate.Si autem exponantur termini 2.1.2.1.1.1 tunc petitur maioritatem esse maiorem aequalitate.Contra hanc determinationem concedentem maioritatem esse maiorem aequalitate. et aequalitate esse maiorem minoritate arguitur, quia sequitur propositionem 34 quinti geo. Euclidis esse falsam.Si quotlibet quantitates ab totidem alias comparentur fueritque cuiuslibet praecedentis ab

List of thumbnails

Text layer

Text normalization

Search