Achillini, Alessandro (Achillinus, Alexander) - Alexandri Achillini bononiensis De proportionibus motuum quaestio.

duo et 2 ponit 1 pro medio et sic subnonuplam eg duabus subtriplis componit. et sic quaelibet pars totius estque minor toto minor enim estque proportio 1 ab 3 quae 1 ab 9 et hoc estque quia dant plano totum productive compositum.Et in hoc vide modernos Paulum Venetum, Albertutium, Thomam Barduadinum et cetera errant ab antiquis mathematicis quia nolunt extremis exempli gratia 8 et 1 interponere aliud medium nisi minus maiore et maius minore. cuius oppositum antiqui mathematici faciunt.Ego autem mathematicis concedo proportionum productionem, ita si denominator in denominatorem producatur, componetur proportio productae denominationis eg proportionibus denominatorum producentium hac impropria compositione. et eam ab multa esse utilem concedo. ita in invenienda figurarum continentia, sed nego quem producentes proportiones productam generaliter componant eo modo quo partes quantitativae totum integrant. ideo concedendum estque proportionem extremi ab extremum eg proportione extremi ab medium et mediorum invicem si plura exponantur media et extremi ab extremum esse productam, non curando an interpositum est maius maiore extremo vel minus, et similiter an medium est minus minore extremo vel non.Sed principiis mathematicis et naturalibus repugnat illam productionem nominare compositionem qua unione partium facta excrescit totum eg partibus congregatum. et sic nego quem nonupla est praecise addens triplam triple sed plus addit scilicet sextuplam. et sic non praecise eg duabus triplis nonupla componitur sed eg tribus, quemadmodum 9 eg tribus ternariis estque. non enim sumendae est triple continuate adinvicem et ordinate ita 27. 9. 3. 1. sed discontinuate, sed quamlibet nedum triplam sed multiplicem esse terminatam ab 1 tanquam ab primum terminum inter multiplicis secundos terminos et super 3 tanquam super primo termino inter terminos primos quia 3 triplicis estque radix. et sic crescens a pedali ab tripedale non integre triplam acquirit. quia aequalitatem habuit quae estque pars triplae et sic non componimus tertiam totius eg medietate totius eiusdem ita eg numerorum compositione apparet.

Corollarum octavum ponentibus mathematicis regulam si fuerit proportio primi ab secundum sicut secundi ab tertium et sexti ab quartum ergo proportio primi ab tertium dupla ab proportionem primi ab secundum et secundi ab tertium. et proportio primi ab quartum ergo tripla ab proportionem primi ab secundum ita 10 diffinitione quinti geometriae Euclidis ponitur. et 11 et supponitur secundo arithmeticae Iordani.Et ponentibus propositionem hanc.Si fuerint ambo numeri quadrati, ergo proportio unius ab alterum tanquam sui lateris ab latus illius duplicata.Si vero ambo fuerint cubum ergo proportio alterius ab alterum tanquam sui lateris ab latus alterius proportio triplicata ita patet 8 Euclidis begin␥congparteend␥cong␥della␥precedente 11.Et similiter dicendum estque de begin␥congparteend␥cong␥della␥precedente 16 et 18 octavi Euclidis.Duplicata. intellige suo modo producendo iuxta propositionem quintam octavi Euclidis omnium duorum numerorum compositorum proportio unius ab alterum estque eg laterum suorum producta proportionibus.Non autem meo modo constituendo. ita eg potentiarum operibus faciliter perpendi potest.Pono igitur exempli gratia. quem inter duo potentiae ita 4 aequaliter calida et aequale virtutis mediet frigidum exempli gratia resistentiae ita 1 ita distans quem a quolibet eorum seorsum calefieret a proportione quadrupla exempli gratia acquirendo gradum ita 1 in hora, tunc a duobus illis acquirit in hora duos gradus. erit octupla estque dupla quadruplae. semoto tamen iuvamento accidentali potente uni advenire ab altero.Idem in motu locali in terra simplici triangulari exempli gratia vacua. librae 1 sic quem in ea capi possit libra terrae potente descendere in hoc aere a proportione quadrupla. tunc in duplo plus pertransibit de aere exempli gratia. terra repleta quae non. tamen non tantum crescit proportio quem decimamsextuplam attingat. licet enim aer terrae datae inclusus resistentia promoveret, in aqua ita patet in exiccatis cucurbitis quae ob aerem inclusum non faciliter submergi possunt, non tamen in aere aer resisteret, sed quia aer licet in aere non resistat, tamen impulsus facile depelletur. ideo aer sic inclusus in descendente in aere trahit deorsum. ideo necesse estque imaginari in huiusmodi casibus vacuum ibi inclusum, deinde repletum et cetera.Si dicas eg combinatione causarum causas crescere. quia se invicem iuvant.Contra. captantur potentiae minores, aut resistentiae maiores, quousque non tantum crescere possunt iuvamenta eg causarum combinationibus quantum crescunt proportionum productiones.Secundo quia quaerimus per se causas velocitatis motus. non autem per accidens, qualis estque iuvamentum eg causarum combinatione.Scias quem per primum termini in tabula scriptum intelligo illum qui estque ab dextrum tabulae. per secundum vero illum qui estque ab sinistrum tabulae, nostra enim scriptura licet a sinistro scribentis incipiat, et ab dextrum tabulae terminetur. tamen a dextro tabulae vel chartae incipit aut incipere debet. et in sinistrum eius terminatur. quia tabula visui contraposita estque. ideo dextrum habet sinistro scribentis contrapositum. non tamen propter hoc dextrum iudicatur esse sinistrum. ideo non extollant Hebrei suum modum scribendi supra nostrum ratione huius positionis differentiarum. et tunc si maioritatem signare vis, maiorem terminum prius signa, et a dextris tabulae, secundo minorem terminum et a sinistris ita 2. 1. signant duplam, econtra vero si maioritatis terminos utrosque signaveris ita 1. 2. significat subduplam quae tamen signatur terminis iunctis non seorsum nisi quantum linea una separat illa ita per medium.Scias etiam eg notitia extremorum proportionis denominatorem eius invenire, quia in maioritate divide maius extremum per minus et quem provenit estque proportionis denominator. si enim extrema exponantur 8 et 2 diviso 8 per 2 remanent 4 quem estque denominator proportionis illius.quem si extremitas minor est 1 tunc pro denominatore totum extremum maius estque accipiendum.In minoritate autem divide minus per maius, dividitur autem minus extremum per maius extremum cum minus supra virgula ponitur et maius infra lineam ita 2 ab 12 quae in unum sextum redeunt quem estque denominator proportionis inter datos terminos.Scias etiam eg notitia denominatoris maioritatis et minoris extremi maius extremum invenire. quoniam si denominatorem maioritatis duxeris in secundum extremum eiusdem produces primum extremum eius unde 9 ab 3 estque tripla proportio et denominator proportionis estque 3 tunc si 3 quem estque minus extremum proportionis fuit secundus terminus ducantur in 3 quem estque denominator surget 9 quem estque primus terminus proportionis huius.Similiter eg notitia denominatoris et maioris extremi maioritatis minus extremum invenire.Si denominatore primum extremum diviseris maioritatis, habebis secundum.In aequalitatibus autem noto uno extremo notum estque aliud, quia scitum estque quem est aequalia.In minoritatibus autem utrunque terminum proportionis habet in se denominator. primum supra lineam a dextro in sinistrum tractam. secundum vero sub datae␥sphaerae␥aequalem␥cubum␥constituere linea. de irrationalibus autem non estque sermo, quia numeris signari non possunt.

Corollarium nonum.Ubi apud mathematicos nullam superparticularem proportionem possibile estque per aequalia dividere, intelligo per numeros aequales ne inter duos numeros sola unitate distantes, numerum medium cadere oporteat. ideo tonum in sesquioctava proportione consistentem in duo vere semitonia non estque dividere apud eos sed in semitonium maius et semitonium minus ita inter 13 et 16 interponere 17 ita eg commento octavae propositionis octavi colligitur a Campano.Apud Aristoteles denominatorem possibile estque dimidiare.

His stantibus quasdam regulas apponam.Secundo conclusiones.Tertio obiiciam et solvam.Prima regula.Si augetur maioritas per augumentum termini maioris, stante minori extremo, decrescit minoritas, quia extremum minus comparatum ab maius ante illius crementum maiorem habet proportionem quae habeat ab maius extremum postquam crevit: possunt enim praedicata respectiva variari per solam in altero extremo factam variationem 5 physicor. tex. com. 10 cum enim idem fuerit duorum pars scilicet maioris et minoris ipsum estque minor pars minoris quae maioris: haec autem maioritas respectiva estque, non autem absoluta, quia quantitas ab quodcunque comparetur aliquanta estque, et non minor aut minor, sed maiori fractione signatur respectu minoris quantitatis, et respectu maioris minore.

Regulae.

Secunda regula.Si augetur maioritas per minorationem termini minoris stante maiori extremo decrescit minoritas, quia eidem quantitati comparatum maius et minus, maius maiorem habet proportionem quae minus eg nona secundi arithmeticae Iordani, et eg propositioni 8 quinti geometriae Euclidis: sic autem estque in proposito, quia extremum proportionis maius stat, et illi comparantur duo scilicet extremum minus ante decrementum, et extremum minus post eius decrementum.

Quinta regula.Si velocius crescit minor terminus minore plusquam in ea proportione in qua estque minor, crescit maioritas, quia proportio extremorum estque minor quae prius fuerit et cetera.

Sexta regula.Si velocius crescit minor terminus minore, non in ea proportione in quo estque minor, neque in maiori proportione, tunc decrescit maioritas.

Septima regula.Si multiplicatur antecedens per antecedentem, et consequens per consequentem, habetur aliquando proportio plusquam dupla ab praeexistentem: aliquando praecise dupla praeexistenti: aliquando minus quae dupla illi. quoniam si maioritas fuerit minor quae dupla, tunc habebitur plusquam dupla ab praeexistentem proportionem eg multiplicatione, ita quadrupla per quadruplam multiplicata dat decimamsextuplam quae estque plusquam dupla ab quadruplam, quia decimasextupla estque minor quae octupla, et octupla estque dupla quadruplae.Si autem praecise dupla fuerit proportio, cuius extrema multiplicantur, tunc duplabitur proportio, quia 2 per 2 multiplicatam dat 4 et quadrupla estque praecise dupla ab duplam.Si autem proportio fuerit minus quae dupla, et fuerit maioritas tunc proportio inter praedicta per multiplicationem ergo minor quae dupla ab praeexistentem multiplicationi proportionem.Si autem aequalitas multiplicatur, semper habebitur praeexistens proportio, quia nunquam habebitur nisi aequalitas: quemadmodum 1 per 1 multiplicatum non dat nisi 1.Si autem minoritatis termini producantur, habebitur proportio minor praeexistente, quia fractionum proportiones in minus veniunt, quia medietas medietatis estque quarta, et tertia pars sexti, estque nona pars integri: et per has multiplicationes remanet praeacceptum potius divisum quae multiplicatum.Mathematicus igitur per multiplicationem antecedentis per antecedens et consequentis per consequens duplicat 1 productum per multiplicationem invenit, sive fuerit duplum praeexistenti, sive non.Haec eg positio estque Campani 5 geometriae Euclidis, diffinitione 10. exponentis duplicata, hoc estque in se multiplicata: per antecedens intelligo primum extremum proportionis: per consequens vero secundum extremum.Expositio estque Campani super quinto geometriae Euclidis, diffinitione 12. vera igitur proportionum duplicatio estque denominationum proportionis duplicatio, quia relationum quantitas estque fundamenti earum quantitas: non tamen materialiter accepti, sed subdeterminato esse sub quo estque fundamentum proportionis datae.Si enim tripla multiplicata per 2 daret nonuplam, et tripla multiplicata per triplam, daret nonuplam, duo et tripla aequarentur: patet consequentia, quia idem estque productum eg utrisque.Similiter duobus aequaretur quadrupla, si quadrupla multiplicata per duo daret decimam sextuplam, et quadrupla multiplicata per quadruplam daret decimamsextuplam, quia apud eos duae quadruplae est una decimasextupla.Et consequenter quadrupla et tripla aequarentur: patet consequentia, quia utraque illarum proportionum duabus aequatur.Et quaecunque est aequalia uni tertio, est aequalia inter se primo Euclidis conceptio prima communis.Item si tripla triplam multiplicando producitur nonupla, quia nonupla estque duae triplae apud eos, et tripla nonuplam multiplicando producitur vigesimaseptupla, quia denominator triplae estque 3 et denominator nonuplae estque 9 et reductum 3 in 9 dat 27 quem estque denominator vigesimaseptuplae, erit vigesimaseptupla estque dupla ab nonuplam: patet consequentia, quia cum aliquid ductum in se duplicat: tunc reductio primi in productum duplicat productum, quia cum aliquis numerus multiplicat duo, qualis estque proportio multiplicatorum, talis estque proportio per multiplicationem productorum: hoc estque septima propositionis secundi arithmeticae Iordani: et octava, et estque 18 et 19 propositionis septimi geometriae Euclidis: consequens estque contra mathematicos communes, quoniam decimaoctupla estque quae praecise eg duabus nonuplis componitur apud eos, quia 9 reductum in 9 dat 18.Item nihil per semet multiplicatum reddit sibi duplum praecise nisi 2 et sic si tripla et quadrupla et cetera per seipsa multiplicata dant duplum ab illa, erit aequali quantitate, nedum ambae, sed omnesque maioritates participabunt, quem estque evidenter inconveniens.

Octava regula.Ubi apud Mathematicos subduplantur proportiones per medii geometricae proportionalis inventionem: ita inter quatuor et unum duo invenire, quae eandem proportionem habent ab minus extremum quae habet maius ab ipsaque, et subtriplatur duobus mediis proportionalibus inventis ita inter octo et unum invenire 4 et 2.Invenitur autem medium proportionale geometricum, multiplicato uno extremo in alterum, et tunc numeri producti radix estque medium proportionale: radicem intellige alicuius quae lineaque in semet dat illud cuius dicitur radix: ita ductio 1 in 4 dat 4 radix 4 estque 2 quia 2 ductum in se dat 4 et estque medium proportionale inter unum et quatuor quia si lineis essent, et praesertim non numeratae, quarum medium proportionale quaeris, tunc iunge unam in directo alterius, et super illis semicirculum erige, cuius corda exponantur datae lineis, tunc a punctoque coniunctionis earum erigitur perpendicularis usque in circunferentiam circuli, tunc linea erecta ibi estque medium proportionale inter lineas illas coniunctas.

Nona regula.Ubi Mathematici extrahunt proportionem unam

List of thumbnails

Text layer

Text normalization

Search