Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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Distinctio prima. Capitulum quartum. 4

Denanze in questo, nella parte principale de arithmetica, dicemmo dele .11. conclusioni del secon-
do de Euclide exemplificando abastanza, peró qui non le replico: conciossiaché li sienno a tuo
piacere. Nondimeno qui repigliaró le .4. ultime per esserci al proposito. .11.
Sia data una linea che s’ abbia a dividere in questo modo che quello ch’ é fatto di tut-
ta la linea per la menor parte sia iguale al quadrato dela parte magiore. Dicise fatto
d’ una linea in un’ altra: quella superficie che è composta: over contenuta dale .2. linee con
gli angoli retti: cioé commo la compositione del paralello rettangolo. Sia adonca la
data linea .ab. la quale voglio dividere in tal modo che quello ch’ é fatto del .ab. nella menore
parte sia iguale al quadrato dela magiore parte. Scriveró il quadrato di tutta la linea .ab.
che sia .abcd. E il lato .bd. divideró per igual parti nel ponto .e. e produceró .ae. e faró .ebf. in modo
che .ef. sia iguale del .ae. E del .bf. descriveró il quadrato .bfgh. dico .ab. essere divisa com-
mo voi: cioé .ah. e .hb., cioé che, multiplicato .ab. in .ah., è iguale al quadrato .hbfg. Adonca
.ab. è divisa che l’ una parte é .ah. e l’ altra .hb. che è il proposito. E nota che non bisogna afa-
tigarsi in volere dividere in quello modo uno numero ratiocinato perché è impossibile commo per la
.29a. del .6o. e anche uno incidente dela .16a. del .9o. si manifesta. .12.
Nelli triangoli che hano uno angolo obtuso tanto è il quadrato delo lato ch’ é sotto-
posto al’ angolo obtuso piú che .2. quadrati degli altri doi lati che fanno quello angolo
obtuso: quanto è .2. volte quello ch’ é fatto d’ uno di quelli lati che tengono l’ angolo nello
agiongnimento a quello lato dove cade la perpendiculare. Commo sia il triangolo .abc.
havente l’ angolo .a. obtuso. E dal ponto .c. si meni la perpendiculare ala linea .ba. che, per necessitá ca-
derá fuore del triangolo .abc. E, se non cadesse fuore, l’ angolo .a. sarebbe retto: over menor ch’ el
retto che l’ uno e l’ altro è impossibile. Sia adonca .cd. perpendiculare sopra la linea .ab. e produce-
la linea .ab. infino al .d. Dico che ’l quadrato del lato .bc. che è sottoposto al’ angolo obtuso è tan-
to magiore de’ .2. quadrati dele .2. linee .ab. e .ac. contenenti quello angolo: quanto è quello del .ba. in .ad.
doi volte che chiaro appare per la figura passata. E nota che una linea si dici potere tan-
to quanto è il quadrato constituto dala detta linea. .13.
D’ ogni triangolo oxigonio tanto puol meno il lato ch’ é opposto al’ angolo acuto de-
gli altri .2. lati: quanto è il doppio del quadrato del lato dove cade la perpendiculare ala
distantia delo angolo acuto. Quello che è qui posto del’ angolo acuto del triangolo
oxigonio ha la veritá d’ ogni angolo acuto di ciascuno triangolo, o voli ortogo-
nio: over ampligonio: over oxigonio. Commo sia il triangolo .abc. havente l’ angolo .c. acuto. On-
de si meni la perpendiculare dal’ angolo .b., over dal’ angolo .a., in sula faccia delo .ac., over del .bc. E
sempre la perpendiculare caderá intra il triangolo. E, se fosse il triangolo che havesse uno angolo ret-
to, muovisi la perpendiculare da quello angolo retto: conciosiacosaché ogni triangolo á .2. ango-
li acuti. E, se fosse triangolo ampligonio, muovisi dal’ angolo ampligonio. Adonca meneró la perpen-
diculare .ad. in sula faccia .bc., dico che ’l quadrato .ab. (che è opposto al’ angolo .c. acuto) é tanto
meno che’ .2. quadrati di .2. linee .ac. e .bc., quanto è il doppio di quello ch’ é facto del .bc. in .dc. E
questo è il proposito. .14.
Scrivase uno quadrato iguale a uno triangolo dato. Commo sia dato uno triangolo
.a. al quale vogliamo scrivere uno quadrato iguale: e farassi in questo modo. Scriverasse
una superficie d’ equedistanti lati e di retti angoli iguale al triangolo dato secondo la do-
ctrina dela .42a. del primo. E sia la superficie .bcde. Dela quale, se i lati fienno iguali, haremo quello
che cerchiamo: imperoché la ditta superficie sará quadrata. Ma, se i lati sonno non iguali, alora agion-
gneró il magiore al menore e sia .cf. iguale a uno de’ lati menori e .bc. sia uno de’ magiori, adon-
ca .bf. sará iguali a’ .2. lati della detta superficie, cioé a uno magiore e a uno menore. Dapoi la li-
nea .bf. divideró per igual parti nel ponto .g. e faró .g. centro. E sopra la linea .bf., secondo la quantitá dela
linea .bg., descriveró uno mezzo cerchio .bhf. e il lato .ec. produceró insino a tanto che segherá
la circunferentia nel ponto .h. Dico che ’l quadrato .choi. è iguale al triangolo dato: che è il propo-
sito. E nota che per questo modo si truova il lato tetragonico di ciascuna figura de linee rette,
commo se sia fatta. Imperoché ogni tale figura risolvaremo in triangoli e a ciascuno di quelli
triangoli trovaremo el lato tetragonico secondo la doctrina di questa. E trovaremo, per la pe-
nultima del primo, una linea che possa per tuti li lati tetragonichi trovati. E questo basti et cetera.
Basta questo quanto al terzo capitolo e del quarto diremo.
Demostratio omnium conclusionum sucincte sexti libri Euclidis. Capitulum quartum. Prime definitioni.
Le superficie simili sonno quelle dele quali gli angoli del’ una sonno iguali agli angoli de-
l’ altra e i lati che contengono quelli lati sonno in medesima proportione. Comme sienno .2.

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