121115OPTICAE LIBER IIII.
23. Superficies reflexionis quatuor habet puncta: uiſibilis: reflexionis: uiſ{us}: & terminũ per-
pendicularis ductæ à puncto reflexionis ſuper planum in eodem puncto ſpeculum tangens. Ita
perpendicularis hæc cõmunis eſt omnib{us} reflexionis ſuperficieb{us}. 27 p 5.6 p 6.24 p 7.3 p 8.3 p 9.
pendicularis ductæ à puncto reflexionis ſuper planum in eodem puncto ſpeculum tangens. Ita
perpendicularis hæc cõmunis eſt omnib{us} reflexionis ſuperficieb{us}. 27 p 5.6 p 6.24 p 7.3 p 8.3 p 9.
AMplius:
ſi opponatur ſpeculum uiſui:
& intelligatur à cẽtro uiſus ad ſuperficiem ſpeculi py-
ramis & baſis illius pyramidis: & ſumatur punctum: & intelligatur linea pyramidis à centro
uiſus ad illud punctum: cum à puncto illo infinitæ poſsint produci lineæ: ſi aliqua earũ cum
latere pyramidis eundem habeat ſitum, & æqualem cum perpendiculari teneat angulum, & ita ac-
cidat quolibet puncto ſpeculi ſumpto: planũ, quòd à quolibet puncto ſpeculi poteſt fieri reflexio.
Dico igitur, quòd inter lineas à puncto ſumpto productas, eſt linea, quæ eundẽ habet ſitum cum la-
tere pyramidis, & æqualem tenet angulum cum perpẽdiculari ſuper illud punctum: & illa linea eſt
latus pyramidis intellectæ à puncto illo ſuperficiei rei occurrẽtis: & quod ſuper terminum illius li-
neæ ceciderit, cum per eam ad punctũ ſumptum uenerit: reflectetur ad uiſum, per latus pyramidis
iam dictũ. Et huius pyramidis latus cum linea à puncto illo producta erit in eadẽ ſuperficie, ortho-
gonali ſuper ſuperficiẽ tãgentẽ ſpeculũ in illo pũcto. Et hoc dico, cũ lateris pyramidis ſuper punctũ
ſumptũ fuerit declinatio. Si enim orthogonaliter cadat ſuper ſuperficiẽ tangentẽ ſpeculũ in pũcto
ſumpto, latus pyramidis productum à cẽtro uiſus reflectetur in ſe, & redibit in uiſum ad originem
ſui motus [per 11 n. ] In ſpeculo plano planũ eſt: quod diximus. Quo
24[Figure 24]e d f a c b niã in quodcunq; punctũ ſuperficiei planæ ceciderit radius: à pũcto
illo poteſt erigi linea orthogonalis ſuper ſuperficiẽ illã: & à cẽtro ui
ſus poteſt intelligi linea perpendiculariter cadẽs in ſuperficiẽ planã
prædictæ continuam, aut in eandẽ: & [per 35 d 1] hæ duæ perpendi-
culares erũt in eadẽ ſuperficie: quoniã ſunt æquidiſtãtes [per 6 p 11]
& linea à termino unius uſq; ad terminũ alterius protracta in ſuper-
ficie plana tenebit angulũ cum utraq; : & erit in eadẽ ſuperficie cum
utraq; [per 2 p 11] & radius, qui à linea illa eleuatur: tenebit acutum
angulum cũ perpendiculari ſpeculi, & ſimiliter cum perpendiculari
uiſus [angulus enim d c e acutus eſt: quia pars recti d c a: & huic æ-
quatur a e c per 29 p 1: quia a e, d c ſunt parallelæ. ] Et ſi intelligatur
in partem alteram produci linea ſuperficiei planæ, tranſiens ortho-
gonaliter ſuper terminos perpendicularium: tenebit ex parte alte-
ra cum perpendiculari ſpeculi angulum rectum [per 29 p 1: ] unde
ex illo recto poterit abſcindi angulus acutus, æqualis angulo acu-
to, quem cum eadem perpendiculari tenet radius. Et hi duo anguli
ſunt in eadem ſuperficie. Quare radius exiens & reflexus in eadem
ſunt ſuperficie, & in ſuperficie perpendicularium dictarum. Inſpe-
cto autem alio puncto, idem ſitus accidet radiorum cum perpendi-
cularibus: quarum una à centro uiſus: alia à puncto uiſo. In omni ergo ſuperficie reflexionis accidit
quatuor punctorũ concurſus, quæ ſunt: centrũ uiſus: & punctũ apprehenſum: & terminus perpen-
dicularis à cẽtro uiſus ductæ: & punctũ reflexionis. Et oẽs reflexionis ſuքficies ſecãt ſe in քpẽdicu-
lari, à pũcto reflexionis intellecta: & eſt ipſa cõmunis omnib. ſuperficieb. reflexionis. Et cũ idẽ ac-
cidat, quolibet pũcto ſuքficiei planæ inſpecto: erit ex omnib. pũctis ſimilis reflexio & eodẽ modo.
ramis & baſis illius pyramidis: & ſumatur punctum: & intelligatur linea pyramidis à centro
uiſus ad illud punctum: cum à puncto illo infinitæ poſsint produci lineæ: ſi aliqua earũ cum
latere pyramidis eundem habeat ſitum, & æqualem cum perpendiculari teneat angulum, & ita ac-
cidat quolibet puncto ſpeculi ſumpto: planũ, quòd à quolibet puncto ſpeculi poteſt fieri reflexio.
Dico igitur, quòd inter lineas à puncto ſumpto productas, eſt linea, quæ eundẽ habet ſitum cum la-
tere pyramidis, & æqualem tenet angulum cum perpẽdiculari ſuper illud punctum: & illa linea eſt
latus pyramidis intellectæ à puncto illo ſuperficiei rei occurrẽtis: & quod ſuper terminum illius li-
neæ ceciderit, cum per eam ad punctũ ſumptum uenerit: reflectetur ad uiſum, per latus pyramidis
iam dictũ. Et huius pyramidis latus cum linea à puncto illo producta erit in eadẽ ſuperficie, ortho-
gonali ſuper ſuperficiẽ tãgentẽ ſpeculũ in illo pũcto. Et hoc dico, cũ lateris pyramidis ſuper punctũ
ſumptũ fuerit declinatio. Si enim orthogonaliter cadat ſuper ſuperficiẽ tangentẽ ſpeculũ in pũcto
ſumpto, latus pyramidis productum à cẽtro uiſus reflectetur in ſe, & redibit in uiſum ad originem
ſui motus [per 11 n. ] In ſpeculo plano planũ eſt: quod diximus. Quo
24[Figure 24]e d f a c b niã in quodcunq; punctũ ſuperficiei planæ ceciderit radius: à pũcto
illo poteſt erigi linea orthogonalis ſuper ſuperficiẽ illã: & à cẽtro ui
ſus poteſt intelligi linea perpendiculariter cadẽs in ſuperficiẽ planã
prædictæ continuam, aut in eandẽ: & [per 35 d 1] hæ duæ perpendi-
culares erũt in eadẽ ſuperficie: quoniã ſunt æquidiſtãtes [per 6 p 11]
& linea à termino unius uſq; ad terminũ alterius protracta in ſuper-
ficie plana tenebit angulũ cum utraq; : & erit in eadẽ ſuperficie cum
utraq; [per 2 p 11] & radius, qui à linea illa eleuatur: tenebit acutum
angulum cũ perpendiculari ſpeculi, & ſimiliter cum perpendiculari
uiſus [angulus enim d c e acutus eſt: quia pars recti d c a: & huic æ-
quatur a e c per 29 p 1: quia a e, d c ſunt parallelæ. ] Et ſi intelligatur
in partem alteram produci linea ſuperficiei planæ, tranſiens ortho-
gonaliter ſuper terminos perpendicularium: tenebit ex parte alte-
ra cum perpendiculari ſpeculi angulum rectum [per 29 p 1: ] unde
ex illo recto poterit abſcindi angulus acutus, æqualis angulo acu-
to, quem cum eadem perpendiculari tenet radius. Et hi duo anguli
ſunt in eadem ſuperficie. Quare radius exiens & reflexus in eadem
ſunt ſuperficie, & in ſuperficie perpendicularium dictarum. Inſpe-
cto autem alio puncto, idem ſitus accidet radiorum cum perpendi-
cularibus: quarum una à centro uiſus: alia à puncto uiſo. In omni ergo ſuperficie reflexionis accidit
quatuor punctorũ concurſus, quæ ſunt: centrũ uiſus: & punctũ apprehenſum: & terminus perpen-
dicularis à cẽtro uiſus ductæ: & punctũ reflexionis. Et oẽs reflexionis ſuքficies ſecãt ſe in քpẽdicu-
lari, à pũcto reflexionis intellecta: & eſt ipſa cõmunis omnib. ſuperficieb. reflexionis. Et cũ idẽ ac-
cidat, quolibet pũcto ſuքficiei planæ inſpecto: erit ex omnib. pũctis ſimilis reflexio & eodẽ modo.
24. Si uiſ{us} ſit extra ſuperficiem ſpeculi ſphærici conuexi, uelipſi continuam: communis ſe-
ctio baſis pyramidis opticæ & ſuperficiei ſpeculi, erit peripheria
minimi in ſphæra circuli. 3 p 6.
ctio baſis pyramidis opticæ & ſuperficiei ſpeculi, erit peripheria
minimi in ſphæra circuli. 3 p 6.
IN ſpeculis autem ſphęricis palàm erit, quod diximus:
oppoſito
25[Figure 25]a s b c uiſui ſpeculo ſphærico: (& eſt oppoſitio, ut uiſus nõ ſit in ſuper-
ficie illius ſpeculi: aut in ſuperficie ei continua) & inſpecto hoc
ſpeculo: pars eius à uiſu comprehenſa, erit pars ſphæræ circulo mi-
nore incluſa, quem efficit motu ſuo radius, tangẽs ſuperficiẽ ſphæ-
ræ, ſi per gyrum moueatur contingendo ſphæram, donec redeat ad
punctum primum, à quo ſumpſit motus principium: quia ſi intelli-
gantur ſuperficies ſe ſecantes ſuper diametrum ſphæræ, à polo cir-
culi prædicti intellectam: quilibet arcuum ſuperficiei ſphęræ, & his
ſuperficiebus communium, à polo circuli ad ipſum circulum intel-
lectorum, erit minor quarta circuli magni. Quoniam linea à centro
ſphæræ ad terminum radij, ſphæram contingentis protracta (quæ
eſt ad circulum prædictum) tenet cum radio angulum rectum ra-
tione contingentiæ [per 18 p 3. ] Tenet ergo angulum acutum cum
ſemidiametro à polo circuli producta [per 17 p 1] & hunc angulum
reſpicit arcus interiacenspolum circuli & circulum [Quare per 33
p 6 peripheria c s minor eſt quadrãte peripheriæ maximi in ſphæ-
ra circuli. Itaq; cum per 16 th. 1 ſphęr. Theodoſij peripheria maximi
25[Figure 25]a s b c uiſui ſpeculo ſphærico: (& eſt oppoſitio, ut uiſus nõ ſit in ſuper-
ficie illius ſpeculi: aut in ſuperficie ei continua) & inſpecto hoc
ſpeculo: pars eius à uiſu comprehenſa, erit pars ſphæræ circulo mi-
nore incluſa, quem efficit motu ſuo radius, tangẽs ſuperficiẽ ſphæ-
ræ, ſi per gyrum moueatur contingendo ſphæram, donec redeat ad
punctum primum, à quo ſumpſit motus principium: quia ſi intelli-
gantur ſuperficies ſe ſecantes ſuper diametrum ſphæræ, à polo cir-
culi prædicti intellectam: quilibet arcuum ſuperficiei ſphęræ, & his
ſuperficiebus communium, à polo circuli ad ipſum circulum intel-
lectorum, erit minor quarta circuli magni. Quoniam linea à centro
ſphæræ ad terminum radij, ſphæram contingentis protracta (quæ
eſt ad circulum prædictum) tenet cum radio angulum rectum ra-
tione contingentiæ [per 18 p 3. ] Tenet ergo angulum acutum cum
ſemidiametro à polo circuli producta [per 17 p 1] & hunc angulum
reſpicit arcus interiacenspolum circuli & circulum [Quare per 33
p 6 peripheria c s minor eſt quadrãte peripheriæ maximi in ſphæ-
ra circuli. Itaq; cum per 16 th. 1 ſphęr. Theodoſij peripheria maximi