11
Quinta ſuppoſitio.
Si quantitatis
moioris ad aliquã partē aliquota quãtitatis mi-
noris ſit proportio rationalis: eiuſdē quãtitatis
maioris ad totã quantitatē minorē erit ꝓportio-
rationalis. Probatur. q2 ſi quantitatis maioris
ad partē aliquotã quantitatis minoris eſt ꝓpor-
tio rationalis: iam quantitas maior: et pars ali-
quota minoris quantitatis ſe habent vt duo nu-
meri. et ꝑ cõſequens pars aliquota minoris quati
tatis ſe habet vt numerus. et cū nõ ſit maior ratio
de vna parte aliquota quã de qualibet tanta: ſe-
quitur / quelibet tanta: ſe habet vt numerꝰ. et per
ↄ̨ñs aggregatū ex oībus partibꝰ aliquotꝪ ipſius
mīoris: ſe habet vt nūerꝰ. vt ptꝫ ex ṗma ſuppoſiti
one: et illud aggregatū eſt ipſa mīor quãtitas: igr̄
tp̄a mīor quãtitas ſe hꝫ vt numerꝰ: ad maiorē et ſic
inter illas eſt ꝓportio rõnalis. et ſic ptꝫ ſuppoſitio
moioris ad aliquã partē aliquota quãtitatis mi-
noris ſit proportio rationalis: eiuſdē quãtitatis
maioris ad totã quantitatē minorē erit ꝓportio-
rationalis. Probatur. q2 ſi quantitatis maioris
ad partē aliquotã quantitatis minoris eſt ꝓpor-
tio rationalis: iam quantitas maior: et pars ali-
quota minoris quantitatis ſe habent vt duo nu-
meri. et ꝑ cõſequens pars aliquota minoris quati
tatis ſe habet vt numerus. et cū nõ ſit maior ratio
de vna parte aliquota quã de qualibet tanta: ſe-
quitur / quelibet tanta: ſe habet vt numerꝰ. et per
ↄ̨ñs aggregatū ex oībus partibꝰ aliquotꝪ ipſius
mīoris: ſe habet vt nūerꝰ. vt ptꝫ ex ṗma ſuppoſiti
one: et illud aggregatū eſt ipſa mīor quãtitas: igr̄
tp̄a mīor quãtitas ſe hꝫ vt numerꝰ: ad maiorē et ſic
inter illas eſt ꝓportio rõnalis. et ſic ptꝫ ſuppoſitio
Sexta ſuppoſitio.
Si due quantita
tes inequales ſe habeant in ꝓportione rationali.
vtra illaꝝ ſe habet ad exceſſum quo maior exce-
dit minorē in ꝓportione rationali: vĺ equalitatis
Probatur hec ſuppoſitio. qm̄ ſi ille quantitates:
ſe habent in ꝓportione rationali: ſe habēt vt duo
numeri. et vltra ſe habent vt duo numeri: ergo ex-
ceſſus quo vna excedit alterã eſt numerꝰ. qm̄ ſemꝑ
numerꝰ excedit numerū ꝑ numerū. et vltra exceſſus
eſt numerꝰ: et quelibet aliarū ſe habet vt numerus
reſpectu illiꝰ exceſſus. igr̄ inter illū exceſſū et quãli
bet illarum quantitatem eſt proportio ratiõalis
vel equalitatis: quod fuit probandum.
tes inequales ſe habeant in ꝓportione rationali.
vtra illaꝝ ſe habet ad exceſſum quo maior exce-
dit minorē in ꝓportione rationali: vĺ equalitatis
Probatur hec ſuppoſitio. qm̄ ſi ille quantitates:
ſe habent in ꝓportione rationali: ſe habēt vt duo
numeri. et vltra ſe habent vt duo numeri: ergo ex-
ceſſus quo vna excedit alterã eſt numerꝰ. qm̄ ſemꝑ
numerꝰ excedit numerū ꝑ numerū. et vltra exceſſus
eſt numerꝰ: et quelibet aliarū ſe habet vt numerus
reſpectu illiꝰ exceſſus. igr̄ inter illū exceſſū et quãli
bet illarum quantitatem eſt proportio ratiõalis
vel equalitatis: quod fuit probandum.
His ſuppoſitionibus poſitis: ſit pri-
ma cõcluſio Infinite ſunt ſpecies ꝓportionis irra
tionalis minores dupla: et illarū in īfinitū parua
eſt aliqua. Probatur prima pars huiꝰ cõcluſiõis /
et capio coſtã vniꝰ quadrati: et ſuã diametrū. et vo
lo / vniformiter in hora diminuat̄̄ exceſſus quo
diameter excedit coſtã ad nõ quantū. ita in fine
diameter et coſta erūt equalia. quo poſito ſic argr̄
Inter diametrū que ſic diminuitur et coſtaꝫ erunt
infinite ꝓportiones irratiõales cõtinuo minores
dupla: igitur infinite ſunt ſpecies ꝓportiõis irra-
tionalis minores dupla. Probatur ãtecedēs. qm̄
quãdo exceſſus: quo diameter excedit coſtã ꝑdide-
rit medietatē ſui / tūc aggregatū ex alia medietate
et coſta ſe habebit ad coſtã in ꝓportiõe irratiõali
minori dupla. / et quãdo exceſſus diametri fuerit di
minutꝰ ad vnã quartã ſui: tūc aggregati ex coſta
et illa quarta exceſſus diametri ad coſtã erit ꝓpor
tio irrationalis. et ſic cõſequēter ſemꝑ aggregatū
ex coſta: et aliqua parte aliquota exceſſus ſe habe
bit ad coſtã in ꝓportione irratiõali mīori dupla:
et infinita ſunt talia aggregata ex coſta et aliqua
parte aliquota exceſſus: igitur infinite erūt ꝓpor
tiones irrationales cõtinuo minores dupla. Ptꝫ
cõſequētia. et arguit̄̄ maior videlicet / aggregatū
ex coſta et medietate exceſſus diametri: ſe habet in
ꝓportione irrationali ad coſtã: q2 ſi nõ. ſed ſe ba-
bent in ꝓportione rationali. ſequitur: vtra il
laꝝ: ſe habet ad exceſſum quo maior excedit mino
rem in ꝓportione rationali vel equalitatis. Ptꝫ
ↄ̨ña ex ſexta ſuppoſitione. et cõſequēs eſt falſū. qm̄
ſi vtra illarū ſe haberet ad exceſſum quo diame
ter excedit coſtã: in ꝓportione rationali .etc̈. cū al-
tera illarum ſit coſta: et exceſſus quo maior excedit
minorē ſit medietas exceſſus diametri: ſequitur /
coſte ad medietatē exceſſus diametri erit ꝓportio
rationalis. Patet hec cõſequētia ex ſe. et vltra ſe-
quitur / coſte: ad exceſſum diametri erit ꝓportio
rationalis. Patet cõſequētia ex quīta ſuppoſitio
ne. hoc addito / medietas exceſſus eſt pars aliq̊ta
illius: cõſequēs eſt falſum: vt patet ex quarta igit̄̄
et ãtecedēs. Et ſic ꝓbabis. aggregatū ex coſta et
quarta parte exceſſus diametri ſe habet in ꝓpor-
tione irratiõali ad coſtã: et ſimiliter aggregatū
ex coſta et octaua parte exceſſus / et ſic cõſequenter.
Quod autē ille ꝓportiones cõtinuo ſint minores
dupla: patet. q2 a principio ꝓportio diametri ad
coſtã erat minor dupla. cū eſſet medietas duple: et
cõtinuo diminuet̄̄ vſ ad nõ gradū: vt ptꝫ ex ſcḋa
parte. igr̄ cõtinuo erit minor dupla. Itē continuo
exceſſus erit minor et minor reſpectu eiuſdē quãti-
tatis: ergo cõtinuo ꝓportio erit minor et mīor. Et
ex hoc ptꝫ ſcḋa pars cõclſionis. q2 in infinitū mo-
dicus erit exceſſus quãtitatis maioris ad quãtita
tē minorē: et ipſa quãtitas minor cõtinuo manebit
equalis et īuariata. igitur infinite modica erit ꝓ-
portio maioris ad quantitatem minorem. Conſe
quentia patet ex ſecūda parte. Et ſic patet prima
concluſio. 11 Correla-
rium.
Gñatio
infinitoꝝ
ſpecierū
ꝓportio-
nis irra-
tionalis. ¶ Ex hac concluſione ſequitur: infini-
tis modis poſſunt generari infinite ſpecies mino
res dupla irrationalis ꝓportiõis: vtpote ſi exceſ-
ſus diametri diminuatur per partes ꝓportiona-
les ꝓportione dupla: Alio modo ꝓportiõe tripla
alio quadrupla. alio ſexquialtera. / et ſic in infinitū
Patet correlariū intelligēti ꝓbationē cõculſiõis
ma cõcluſio Infinite ſunt ſpecies ꝓportionis irra
tionalis minores dupla: et illarū in īfinitū parua
eſt aliqua. Probatur prima pars huiꝰ cõcluſiõis /
et capio coſtã vniꝰ quadrati: et ſuã diametrū. et vo
lo / vniformiter in hora diminuat̄̄ exceſſus quo
diameter excedit coſtã ad nõ quantū. ita in fine
diameter et coſta erūt equalia. quo poſito ſic argr̄
Inter diametrū que ſic diminuitur et coſtaꝫ erunt
infinite ꝓportiones irratiõales cõtinuo minores
dupla: igitur infinite ſunt ſpecies ꝓportiõis irra-
tionalis minores dupla. Probatur ãtecedēs. qm̄
quãdo exceſſus: quo diameter excedit coſtã ꝑdide-
rit medietatē ſui / tūc aggregatū ex alia medietate
et coſta ſe habebit ad coſtã in ꝓportiõe irratiõali
minori dupla. / et quãdo exceſſus diametri fuerit di
minutꝰ ad vnã quartã ſui: tūc aggregati ex coſta
et illa quarta exceſſus diametri ad coſtã erit ꝓpor
tio irrationalis. et ſic cõſequēter ſemꝑ aggregatū
ex coſta: et aliqua parte aliquota exceſſus ſe habe
bit ad coſtã in ꝓportione irratiõali mīori dupla:
et infinita ſunt talia aggregata ex coſta et aliqua
parte aliquota exceſſus: igitur infinite erūt ꝓpor
tiones irrationales cõtinuo minores dupla. Ptꝫ
cõſequētia. et arguit̄̄ maior videlicet / aggregatū
ex coſta et medietate exceſſus diametri: ſe habet in
ꝓportione irrationali ad coſtã: q2 ſi nõ. ſed ſe ba-
bent in ꝓportione rationali. ſequitur: vtra il
laꝝ: ſe habet ad exceſſum quo maior excedit mino
rem in ꝓportione rationali vel equalitatis. Ptꝫ
ↄ̨ña ex ſexta ſuppoſitione. et cõſequēs eſt falſū. qm̄
ſi vtra illarū ſe haberet ad exceſſum quo diame
ter excedit coſtã: in ꝓportione rationali .etc̈. cū al-
tera illarum ſit coſta: et exceſſus quo maior excedit
minorē ſit medietas exceſſus diametri: ſequitur /
coſte ad medietatē exceſſus diametri erit ꝓportio
rationalis. Patet hec cõſequētia ex ſe. et vltra ſe-
quitur / coſte: ad exceſſum diametri erit ꝓportio
rationalis. Patet cõſequētia ex quīta ſuppoſitio
ne. hoc addito / medietas exceſſus eſt pars aliq̊ta
illius: cõſequēs eſt falſum: vt patet ex quarta igit̄̄
et ãtecedēs. Et ſic ꝓbabis. aggregatū ex coſta et
quarta parte exceſſus diametri ſe habet in ꝓpor-
tione irratiõali ad coſtã: et ſimiliter aggregatū
ex coſta et octaua parte exceſſus / et ſic cõſequenter.
Quod autē ille ꝓportiones cõtinuo ſint minores
dupla: patet. q2 a principio ꝓportio diametri ad
coſtã erat minor dupla. cū eſſet medietas duple: et
cõtinuo diminuet̄̄ vſ ad nõ gradū: vt ptꝫ ex ſcḋa
parte. igr̄ cõtinuo erit minor dupla. Itē continuo
exceſſus erit minor et minor reſpectu eiuſdē quãti-
tatis: ergo cõtinuo ꝓportio erit minor et mīor. Et
ex hoc ptꝫ ſcḋa pars cõclſionis. q2 in infinitū mo-
dicus erit exceſſus quãtitatis maioris ad quãtita
tē minorē: et ipſa quãtitas minor cõtinuo manebit
equalis et īuariata. igitur infinite modica erit ꝓ-
portio maioris ad quantitatem minorem. Conſe
quentia patet ex ſecūda parte. Et ſic patet prima
concluſio. 11 Correla-
rium.
Gñatio
infinitoꝝ
ſpecierū
ꝓportio-
nis irra-
tionalis. ¶ Ex hac concluſione ſequitur: infini-
tis modis poſſunt generari infinite ſpecies mino
res dupla irrationalis ꝓportiõis: vtpote ſi exceſ-
ſus diametri diminuatur per partes ꝓportiona-
les ꝓportione dupla: Alio modo ꝓportiõe tripla
alio quadrupla. alio ſexquialtera. / et ſic in infinitū
Patet correlariū intelligēti ꝓbationē cõculſiõis
Secūda cõcluſio.
Infinite ſunt ſpe-
cies ꝓportionis irratiõalis maioris dupla: et illa
rū infinite magna eſt aliqua. Probatur hec con-
cluſio: et pono / exceſſus quo diameter excedit co-
ſtam: diminuatur vniformiter in hora vſ ad nõ
quantū. et capio ꝓportionē que eſt coſte ad exceſſū
diametri: et arguo ſic. Illa ꝓportio eſt maior du-
pla irrationalis. et ꝓportio coſte ad medietatē il-
lius exceſſus eſt etiã irratiõalis maior: et ꝓ-
portio coſte ad quartã eſt etiã irrationalis maior
dupla: et ſic in infinitū quelibet ꝓportio coſte ad
aliquã partē aliquotã exceſſus eſt ꝓportio irrati-
onalis et ſunt īfinite partes aliquote cõtinuo mi-
nores et minores / ergo īfinite ſunt ꝓportiões irra
tiõales minores dupla. Probat̄̄ maior. qm̄ coſte
ad exceſſū q̊ diameṫ excedit coſtã eſt ꝓportio irra-
tionalis: ex q̈rta ſuppoſitiõe maior dupla: vt con-
ſtat. qm̄ ille exceſſus eſt minor quã medietas coſte.
qm̄ ſi eſſet medietas coſte aut moior: iam ibi eſſet
ꝓportio ſexq̇altera īter diametrū et coſtã: vel ma-
ior ſexquialtera: quod eſt falſum. vt ptꝫ ex pcedēti
capite. ergo q̄libet ꝓportio coſte ad aliquã partē
aliquotã exceſſus quo diameter excedit coſtam eſt
ꝓportio irratiõalis maior dupla: qḋ fuit ꝓbãdū.
Patet cõſequētia ex quīta ſuppoſitiõe. qm̄ ex illa
ſuppoſitione. ſi coſta ad aliquã partē aliquotã ex-
ceſſus quo diameter excedit coſtã ſe habet in pro-
portione ratiõali: ipſius coſte ad totū illū exceſſū
erit ꝓportio rationalis: ſed nõ ipſiꝰ coſte ad totū
illū exceſſū quo diameter excedit coſtã eſt ꝓportio
rationalis. vt ptꝫ ex quarta ſuppoſitiõe. igitur nõ
coſta ad aliquã partē aliquotã exceſſus quo dia-
meter excedit coſtã: ſe habet in ꝓportiõe ratiõali.
Patet cõſequētia ꝑ ſyllogiſmū hypotheticum: a
tota cõditionali cū deſtructiõe cõſequētis .etc̈. / et ſic
patet prima pars. Et ſcḋa ꝓbatur facile. q2 in īfi-
cies ꝓportionis irratiõalis maioris dupla: et illa
rū infinite magna eſt aliqua. Probatur hec con-
cluſio: et pono / exceſſus quo diameter excedit co-
ſtam: diminuatur vniformiter in hora vſ ad nõ
quantū. et capio ꝓportionē que eſt coſte ad exceſſū
diametri: et arguo ſic. Illa ꝓportio eſt maior du-
pla irrationalis. et ꝓportio coſte ad medietatē il-
lius exceſſus eſt etiã irratiõalis maior: et ꝓ-
portio coſte ad quartã eſt etiã irrationalis maior
dupla: et ſic in infinitū quelibet ꝓportio coſte ad
aliquã partē aliquotã exceſſus eſt ꝓportio irrati-
onalis et ſunt īfinite partes aliquote cõtinuo mi-
nores et minores / ergo īfinite ſunt ꝓportiões irra
tiõales minores dupla. Probat̄̄ maior. qm̄ coſte
ad exceſſū q̊ diameṫ excedit coſtã eſt ꝓportio irra-
tionalis: ex q̈rta ſuppoſitiõe maior dupla: vt con-
ſtat. qm̄ ille exceſſus eſt minor quã medietas coſte.
qm̄ ſi eſſet medietas coſte aut moior: iam ibi eſſet
ꝓportio ſexq̇altera īter diametrū et coſtã: vel ma-
ior ſexquialtera: quod eſt falſum. vt ptꝫ ex pcedēti
capite. ergo q̄libet ꝓportio coſte ad aliquã partē
aliquotã exceſſus quo diameter excedit coſtam eſt
ꝓportio irratiõalis maior dupla: qḋ fuit ꝓbãdū.
Patet cõſequētia ex quīta ſuppoſitiõe. qm̄ ex illa
ſuppoſitione. ſi coſta ad aliquã partē aliquotã ex-
ceſſus quo diameter excedit coſtã ſe habet in pro-
portione ratiõali: ipſius coſte ad totū illū exceſſū
erit ꝓportio rationalis: ſed nõ ipſiꝰ coſte ad totū
illū exceſſū quo diameter excedit coſtã eſt ꝓportio
rationalis. vt ptꝫ ex quarta ſuppoſitiõe. igitur nõ
coſta ad aliquã partē aliquotã exceſſus quo dia-
meter excedit coſtã: ſe habet in ꝓportiõe ratiõali.
Patet cõſequētia ꝑ ſyllogiſmū hypotheticum: a
tota cõditionali cū deſtructiõe cõſequētis .etc̈. / et ſic
patet prima pars. Et ſcḋa ꝓbatur facile. q2 in īfi-