48 nūeris reperirent̄̄ irratiõales ꝓportiões: vt ſatis
cõſtat ītelligēti. Et ſic ptꝫ correlariū. 115. correĺ. ¶ Sequit̄̄ q̇n
to: ꝓpoſita q̈uis ꝓportiõe ratiõali: nõ difficile ē
īueſtigare et ſcire an habeat ꝓportionē rõnalē ſub
multiplicē: an aliquã aliã rationalē minoris ineq̈
litatꝪ: vt ꝓpoſita ꝓportiõe dupla īueſtigare et ſci
re poterimꝰ an habeat ſubduplã: ſubtriplã: ſubq̈-
druplã rationalē .etc̈. nec ne: cõſiderando primū ex
doctrina vndecime ↄ̨cluſiõis: an habeat medieta-
tem: tertiã: quartã: quintã rationales: et cõperien-
tes nõ: dicemus ipſam nõ habere ſubtriplam:
ſubquadruplã .etc̈. rationales. Et eadem ratione
dicemꝰ ipſam nõ habere ſubſexq̇tertiã rationalē:
q2 nõ habet ꝓportionē cõpoſitã ex tribus quartis
eius rationalibus: nec ſubſexquialterã rationalē:
q2 nõ habet ꝓportionē compoſitã ex duabus ter-
tiis eius rationalibus. Et ſic in omnibus aliis di
ces. Demonſtratio huius correlarii innititur huic
baſi et fundamento / nun̄ aliqua ꝓportio ratio
nalis cõponitur adequate ex vna rationali et vna
irrationali. Applica tu demonſtrationē. Iſto mo
do inquirere debes an habet ſubſuprapartientē
rationalē aut ſub multiplicē ſubſuprapartientem
rationalē: aut ſub multiplicē ſubſuꝑparticularē:
īueſtigando et inquirendo ex cõcluſione vndecima
an talis ꝓportio rationalis ꝓpoſita habeat par
tem aliquotã rationalē vel partes a qua vel a qui
bus denominatur dicta ꝓportio minoris inequa
litatis: et ſi ſic aſcribenda eſt ei talis ꝓportio mi-
noris inequalitatis rationalis: ſin minus: aſſeren
dum eſt ipſam nõ habere talē ꝓportionē minoris
inequalitatis rationalē. Patet igit̄̄ correlarium.
Profundius em̄ velle illud demonſtrare eſt ipſuꝫ
tenebris īuoluere. 226. correĺ. ¶ Sequitur ſexto per modum
epilopi oīm eoꝝ / que preſenti capite digeſta ſunt:
quauis ꝓportione rationali ꝓpoſita: ſcire po-
terimus an habeat aliquã ꝓportionē rationalem
maioris inequalitatis ad ſeipſam et minoris ine-
qualitatis: et quas habeat: et quas nõ. Et hoc ca-
put diligenter conſidera quoniã ex eo pendet fer-
me vniuerſalis huiꝰ materie īquiſitio: et ſuprema
eius difficultas. ¶ His adde / doctrina huius ca-
pitis habita: ꝓpoſita aliqua certa velocitate ꝓ-
ueniente ab aliqua ꝓportione rationali nota: iu-
dicare poterꝪ de quacū alia velocitate a quauis
alia ꝓportiõe ꝓueniente cõmenſurabiles ſint. nec
ne. Item ꝓpoſita quauis velocitate ꝓueniente ab
aliqua ꝓportione ratiõali nota: ſcire de quacū
alia velocitate date velocitati cõmenſurabili a q̈
ꝓportiõe ꝓueniat: ratiõali vcꝫ vĺ irrationali / q̊ ex
his ſcito et ſequētibꝰ: particulariꝰ ſcire poteris ex
qua rationali vel irrationali ꝓueniat ſpecifice.
cõſtat ītelligēti. Et ſic ptꝫ correlariū. 115. correĺ. ¶ Sequit̄̄ q̇n
to: ꝓpoſita q̈uis ꝓportiõe ratiõali: nõ difficile ē
īueſtigare et ſcire an habeat ꝓportionē rõnalē ſub
multiplicē: an aliquã aliã rationalē minoris ineq̈
litatꝪ: vt ꝓpoſita ꝓportiõe dupla īueſtigare et ſci
re poterimꝰ an habeat ſubduplã: ſubtriplã: ſubq̈-
druplã rationalē .etc̈. nec ne: cõſiderando primū ex
doctrina vndecime ↄ̨cluſiõis: an habeat medieta-
tem: tertiã: quartã: quintã rationales: et cõperien-
tes nõ: dicemus ipſam nõ habere ſubtriplam:
ſubquadruplã .etc̈. rationales. Et eadem ratione
dicemꝰ ipſam nõ habere ſubſexq̇tertiã rationalē:
q2 nõ habet ꝓportionē cõpoſitã ex tribus quartis
eius rationalibus: nec ſubſexquialterã rationalē:
q2 nõ habet ꝓportionē compoſitã ex duabus ter-
tiis eius rationalibus. Et ſic in omnibus aliis di
ces. Demonſtratio huius correlarii innititur huic
baſi et fundamento / nun̄ aliqua ꝓportio ratio
nalis cõponitur adequate ex vna rationali et vna
irrationali. Applica tu demonſtrationē. Iſto mo
do inquirere debes an habet ſubſuprapartientē
rationalē aut ſub multiplicē ſubſuprapartientem
rationalē: aut ſub multiplicē ſubſuꝑparticularē:
īueſtigando et inquirendo ex cõcluſione vndecima
an talis ꝓportio rationalis ꝓpoſita habeat par
tem aliquotã rationalē vel partes a qua vel a qui
bus denominatur dicta ꝓportio minoris inequa
litatis: et ſi ſic aſcribenda eſt ei talis ꝓportio mi-
noris inequalitatis rationalis: ſin minus: aſſeren
dum eſt ipſam nõ habere talē ꝓportionē minoris
inequalitatis rationalē. Patet igit̄̄ correlarium.
Profundius em̄ velle illud demonſtrare eſt ipſuꝫ
tenebris īuoluere. 226. correĺ. ¶ Sequitur ſexto per modum
epilopi oīm eoꝝ / que preſenti capite digeſta ſunt:
quauis ꝓportione rationali ꝓpoſita: ſcire po-
terimus an habeat aliquã ꝓportionē rationalem
maioris inequalitatis ad ſeipſam et minoris ine-
qualitatis: et quas habeat: et quas nõ. Et hoc ca-
put diligenter conſidera quoniã ex eo pendet fer-
me vniuerſalis huiꝰ materie īquiſitio: et ſuprema
eius difficultas. ¶ His adde / doctrina huius ca-
pitis habita: ꝓpoſita aliqua certa velocitate ꝓ-
ueniente ab aliqua ꝓportione rationali nota: iu-
dicare poterꝪ de quacū alia velocitate a quauis
alia ꝓportiõe ꝓueniente cõmenſurabiles ſint. nec
ne. Item ꝓpoſita quauis velocitate ꝓueniente ab
aliqua ꝓportione ratiõali nota: ſcire de quacū
alia velocitate date velocitati cõmenſurabili a q̈
ꝓportiõe ꝓueniat: ratiõali vcꝫ vĺ irrationali / q̊ ex
his ſcito et ſequētibꝰ: particulariꝰ ſcire poteris ex
qua rationali vel irrationali ꝓueniat ſpecifice.
Capitum ſeptimū / in quo agitur de medie
rei inuentione et proportione proportionuꝫ
rationalis et irrationalis.
rei inuentione et proportione proportionuꝫ
rationalis et irrationalis.
AD habendam aliqualē noti-
ciã de ꝓportiõe ꝓportiõis rationalis et
irrationalis et duarū irrationaliū ſit.
ciã de ꝓportiõe ꝓportiõis rationalis et
irrationalis et duarū irrationaliū ſit.
Prima ſuppoſitio.
Oīs numerus ha
bet numerū ad ſe duplū, triplū, quadruplū, et ſic
in infinitū: aſcēdendo per ſpecies ꝓportionis mul
tiplicis. Iſta ſuppoſitio patet ex ſe / qm̄ dato vno
numero ex duabus vnitatibus adequate cõpoſito
dabitur vnus alter compoſitus ex quatuor: et ille
erit duplus: et alter ex ſex: et erit triplus: et alter ex
octo: et erit quadrupus: et ſic ſine termino.
bet numerū ad ſe duplū, triplū, quadruplū, et ſic
in infinitū: aſcēdendo per ſpecies ꝓportionis mul
tiplicis. Iſta ſuppoſitio patet ex ſe / qm̄ dato vno
numero ex duabus vnitatibus adequate cõpoſito
dabitur vnus alter compoſitus ex quatuor: et ille
erit duplus: et alter ex ſex: et erit triplus: et alter ex
octo: et erit quadrupus: et ſic ſine termino.
Secunda ſuppoſitio.
Omnis nume
rus rerum diuiſibiliū ſiue quantitas habet cuius
cū denominationis aliquam partem aliquotaꝫ
cum fractione vel ſine fractione. Uolo dicere / ſi-
gnato quocun numero rerū diuiſibiliū talis nu
merus habet medietatē tertiam, quartam, quin-
tam, ſextam, ſeptimam, et ſic in infinitū. Proba-
tur: quia capto numero duodenario ille habet me
dietatem, puta numerum ſenariū: habet numerū
quaternariū pro tertia, ternariū pro quarta, pro
quinta vero habet numerū cū fractione, ad quam
fractionē inueniendã oportet duodecim per quī
diuidere: et exibit binariꝰ cū duabꝰ q̇ntis iuxta do-
ctrinã ſuperiꝰ poſitã octauo capite ṗme partꝪ. Et
ſic operãdū eſt in cuiꝰ vis alteriꝰ ꝑtꝪ aliq̊te īuētiõe.
rus rerum diuiſibiliū ſiue quantitas habet cuius
cū denominationis aliquam partem aliquotaꝫ
cum fractione vel ſine fractione. Uolo dicere / ſi-
gnato quocun numero rerū diuiſibiliū talis nu
merus habet medietatē tertiam, quartam, quin-
tam, ſextam, ſeptimam, et ſic in infinitū. Proba-
tur: quia capto numero duodenario ille habet me
dietatem, puta numerum ſenariū: habet numerū
quaternariū pro tertia, ternariū pro quarta, pro
quinta vero habet numerū cū fractione, ad quam
fractionē inueniendã oportet duodecim per quī
diuidere: et exibit binariꝰ cū duabꝰ q̇ntis iuxta do-
ctrinã ſuperiꝰ poſitã octauo capite ṗme partꝪ. Et
ſic operãdū eſt in cuiꝰ vis alteriꝰ ꝑtꝪ aliq̊te īuētiõe.
Tertia ſuppoſitio.
Supra quēcū
numerū rerum diuiſibiliū contingit dare numeꝝ
continentē ipſum et medietatē: et alium continentē
ipſum et vnam tertiam, et duas tertias: aut tres
quartas: et ſic de qnibuſcun aliis partibus ali-
quotis. Patet / qm̄ ad dandū numerū continentē
ipſum et medietatē ſufficit addere illi medietatem
ſui: et ad dandum numerū continentē ipſum et du-
as tertias ſufficit ei addere illas duas tertias: vt
patet ex ſe aſpicienti in numeris. Quomodo autē
tales partes īueniant̄̄ p̄cedēs ſuppoſitio declarat
numerū rerum diuiſibiliū contingit dare numeꝝ
continentē ipſum et medietatē: et alium continentē
ipſum et vnam tertiam, et duas tertias: aut tres
quartas: et ſic de qnibuſcun aliis partibus ali-
quotis. Patet / qm̄ ad dandū numerū continentē
ipſum et medietatē ſufficit addere illi medietatem
ſui: et ad dandum numerū continentē ipſum et du-
as tertias ſufficit ei addere illas duas tertias: vt
patet ex ſe aſpicienti in numeris. Quomodo autē
tales partes īueniant̄̄ p̄cedēs ſuppoſitio declarat
Quarta ſuppoſitio.
Quodlibet con-
tinuū eſt duplū ad ſuã medietatē: triplū ad tertiã:
quadruplū ad quartã: ſexquialterū ad duas ter-
tias: et ſic de qualibet alia ſpecie ꝓportionis. Pa
tet hec ſuppoſitio ex diffinitionibus terminorum.
tinuū eſt duplū ad ſuã medietatē: triplū ad tertiã:
quadruplū ad quartã: ſexquialterū ad duas ter-
tias: et ſic de qualibet alia ſpecie ꝓportionis. Pa
tet hec ſuppoſitio ex diffinitionibus terminorum.
Quinta ſuppoſitio.
Omnis ꝓportio
habet medietatē: tertiam: quartã: et ſic in infinitū.
Probatur hec ſuppoſitio / q2 oīs quantitas cõti-
nua: et quodlibet cõtinuo ſucceſſiue diminuibile eſt
huiuſmodi et oīs ꝓportio eſt quantitas continua
aut cõtinuo partibiliter diminuibilis (et diſtribu-
at ly omnis pro generibus ſingulorum more ma-
themathicorum) / igitur propoſitum.
habet medietatē: tertiam: quartã: et ſic in infinitū.
Probatur hec ſuppoſitio / q2 oīs quantitas cõti-
nua: et quodlibet cõtinuo ſucceſſiue diminuibile eſt
huiuſmodi et oīs ꝓportio eſt quantitas continua
aut cõtinuo partibiliter diminuibilis (et diſtribu-
at ly omnis pro generibus ſingulorum more ma-
themathicorum) / igitur propoſitum.
Sexta ſuppoſitio.
Si aliq̄ due quã-
titates cõtinue ſe habeant in aliqua proportione
ratiõali vel irratiõali: dabilis eſt vna tertia qua-
libet illarū maior que ſe habeat in eadē ꝓportiõe
ad maiorē illaꝝ. vt ſi .4. et .2. ſe habeãt in aliqua ꝓ
portione dabilis eſt alter numerus puta .8. qui in
eadem ꝓportione ſe habeat ad .4. et ſi diameter a.
ſe habeat in aliqua ꝓportione ad coſtã b. dabilis
eſt vna alia quãtitas puta c. que ſe habet in eadeꝫ
ꝓportione ad b. Patet hec ſuppoſitio ex ſe.
titates cõtinue ſe habeant in aliqua proportione
ratiõali vel irratiõali: dabilis eſt vna tertia qua-
libet illarū maior que ſe habeat in eadē ꝓportiõe
ad maiorē illaꝝ. vt ſi .4. et .2. ſe habeãt in aliqua ꝓ
portione dabilis eſt alter numerus puta .8. qui in
eadem ꝓportione ſe habeat ad .4. et ſi diameter a.
ſe habeat in aliqua ꝓportione ad coſtã b. dabilis
eſt vna alia quãtitas puta c. que ſe habet in eadeꝫ
ꝓportione ad b. Patet hec ſuppoſitio ex ſe.
His poſitis ſit prima cõcluſio.
Que-
libet ꝓportio ratiõalis in q̈libet ꝓportiõe multi-
plici ab aliq̈ ratiõali excedit̄̄. Hoc eſt q̈libet ꝓpor-
tio ratiõalis hꝫ ꝓportionē duplã: triplã: q̈druplã
et ſic in īfinitū rõnales. Probat̄̄ hec ↄ̨cĺo / qm̄ ſi illa
ꝓportio fuerit mĺtiplex manifeſtū ē / ad nūeꝝ eiꝰ
maiorē dabit̄̄ aliq̇s nūerꝰ ſe hñs in eadē ꝓportiõe /
ad illū ſicut ille partes hꝫ ad minorē / vt ptꝫ ex ṗma ſup
poſitiõe: et tūc illiꝰ ad minimū erit ꝓportio dupla
ad ꝓportionē medii ad minimū: qm̄ illa cõponit̄̄
ex duabꝰ eq̈libꝰ illi: et ſi addat̄̄ q̈rtꝰ nūerꝰ ſe hñs in
eadē ꝓportione ad tertiū in qua tertius ſe habet
ad ſecundū: ſicut poteſt fieri ex prima ſuppoſitiõe:
iã ꝓportio illius ad minimū erit tripla ad ꝓpor-
tionē ſcḋi ad minimū: et cū poſſint ſic addi infiniti
ṫmini ↄ̨tinuo ꝓportiõabiles illa ꝓportiõe mĺtipli
ci / vt ptꝫ ex ṗma ſuppõe: ſequit̄̄ / ad illã ꝓportionē
dabit̄̄ ꝓportio dupla, tripla, q̈drupla, et ſic ī īfini
tū. Ptꝫ ↄ̨ña ex octaua ↄ̨cĺiõe p̄cedētꝪ capitꝪ Si o
illa ſit ſuꝑparticĺarꝪ ad maximū extremū eiꝰ adde
libet ꝓportio ratiõalis in q̈libet ꝓportiõe multi-
plici ab aliq̈ ratiõali excedit̄̄. Hoc eſt q̈libet ꝓpor-
tio ratiõalis hꝫ ꝓportionē duplã: triplã: q̈druplã
et ſic in īfinitū rõnales. Probat̄̄ hec ↄ̨cĺo / qm̄ ſi illa
ꝓportio fuerit mĺtiplex manifeſtū ē / ad nūeꝝ eiꝰ
maiorē dabit̄̄ aliq̇s nūerꝰ ſe hñs in eadē ꝓportiõe /
ad illū ſicut ille partes hꝫ ad minorē / vt ptꝫ ex ṗma ſup
poſitiõe: et tūc illiꝰ ad minimū erit ꝓportio dupla
ad ꝓportionē medii ad minimū: qm̄ illa cõponit̄̄
ex duabꝰ eq̈libꝰ illi: et ſi addat̄̄ q̈rtꝰ nūerꝰ ſe hñs in
eadē ꝓportione ad tertiū in qua tertius ſe habet
ad ſecundū: ſicut poteſt fieri ex prima ſuppoſitiõe:
iã ꝓportio illius ad minimū erit tripla ad ꝓpor-
tionē ſcḋi ad minimū: et cū poſſint ſic addi infiniti
ṫmini ↄ̨tinuo ꝓportiõabiles illa ꝓportiõe mĺtipli
ci / vt ptꝫ ex ṗma ſuppõe: ſequit̄̄ / ad illã ꝓportionē
dabit̄̄ ꝓportio dupla, tripla, q̈drupla, et ſic ī īfini
tū. Ptꝫ ↄ̨ña ex octaua ↄ̨cĺiõe p̄cedētꝪ capitꝪ Si o
illa ſit ſuꝑparticĺarꝪ ad maximū extremū eiꝰ adde