50
11Branar
dinus. Iſta cõncluſio / vt dicit thomos branardinꝰ in ſua
geometria in capitulo de proportionalitate con-
cluſione quarta longã et prolixã expetit demõſtra
tionem. 22Eu. 6. ele Ideo ſufficiat ad eam euclidis auctoritas
ſexto elementoꝝ propoſitione decima tertia.
dinus. Iſta cõncluſio / vt dicit thomos branardinꝰ in ſua
geometria in capitulo de proportionalitate con-
cluſione quarta longã et prolixã expetit demõſtra
tionem. 22Eu. 6. ele Ideo ſufficiat ad eam euclidis auctoritas
ſexto elementoꝝ propoſitione decima tertia.
Nona cõcluſio.
Ad inueniendã pro-
portionē ſubduplã duple, aut alicuiꝰ alterius, cõ-
ſtituantur due linee ſe habentes in ꝓportione illa
cuiꝰ medietas queritur: et inueniatur media linea
inter eas per artem precedentis cõcluſionis: et tūc
maioris linee ad illam mediã et etiam illius medie
ad minimã erit proportio que eſt media ſiue me-
dietas talis proportionis. Et ſi velis īuenire ſub-
quadruplã proportionē īuenias lineã mediã inter
primã, et ſecundã et vnã aliam inter ſecundã et ter-
tiam, et tunc quelibet illarū intermediarū erit ſub
quadrupla: q2 erūt ibi .5. termini continuo ꝓpor-
tionabiles: igitur proportio extremi ad extremū
eſt quadrupla ad quãlibet intermediam. Et ſi vis
īuenire ſuboctuplã poſtquã īueniſti ſubq̈druplam
inter quaſlibet duas lineas īmediate ſe habentes
eleua vnã. Et ſi vis īuenire ſubſexdecuplã poſtquã
īueniſti ſuboctuplã: īter quaſlibet duas eleua vnã
artificio precedentis cõcluſionis / et ſic in infinitum
duplicando. Hec concluſio patet ex priori patro-
cinio octaue concluſionis precedentis capitis.
portionē ſubduplã duple, aut alicuiꝰ alterius, cõ-
ſtituantur due linee ſe habentes in ꝓportione illa
cuiꝰ medietas queritur: et inueniatur media linea
inter eas per artem precedentis cõcluſionis: et tūc
maioris linee ad illam mediã et etiam illius medie
ad minimã erit proportio que eſt media ſiue me-
dietas talis proportionis. Et ſi velis īuenire ſub-
quadruplã proportionē īuenias lineã mediã inter
primã, et ſecundã et vnã aliam inter ſecundã et ter-
tiam, et tunc quelibet illarū intermediarū erit ſub
quadrupla: q2 erūt ibi .5. termini continuo ꝓpor-
tionabiles: igitur proportio extremi ad extremū
eſt quadrupla ad quãlibet intermediam. Et ſi vis
īuenire ſuboctuplã poſtquã īueniſti ſubq̈druplam
inter quaſlibet duas lineas īmediate ſe habentes
eleua vnã. Et ſi vis īuenire ſubſexdecuplã poſtquã
īueniſti ſuboctuplã: īter quaſlibet duas eleua vnã
artificio precedentis cõcluſionis / et ſic in infinitum
duplicando. Hec concluſio patet ex priori patro-
cinio octaue concluſionis precedentis capitis.
Decima cõcluſio.
Quãuis facile ſit
cuilibet ꝓportioni īuenirē ſubduplã, ſubquadru-
plam, ſuboctuplã, ſubſexdecuplã, et ſic in infinitū
aſcendendo per numeros pariter pares: difficile
tamen eſt ſubtriplã, ſubquintuplã, ſubſextuplam /
et ſic in infinitū per numeros impares vel impari
ter pares aſcendendo īuenire. Prima pars patet
ex priori concluſione: et ſecūda eſt michi experimē
to cõperta: quãuis nicholaꝰ horen in ſuo tractatu
ꝓportionū capite quarto velit dare modum per
artem medie rei inuentionis ad īueniendam pro-
portionem et ſubduplam, et ſubtriplam, et ſubſex-
quialteram. 33Contra
horeu: ¶ Sed ſaluo meliori indicio et aucto-
ritate tam circuaſpecti viri ſignanter in mathe-
mathicis ſciētiis: videtur michi / per artē medie
rei īuentionis nõ poſſunt īueniri quatuor linee cõ
tinuo proportionabiliter ſe habentes. Quod ſic
oſtendo: quia captis duabus lineis ſe habentibꝰ
in ꝓportione dupla ad īueniendã quatuor lineas
cõtinuo ꝓpprtionabiles: oportet inter illas duas
īuenire alias duas cõtinuo ꝓportionabiles inter
ſe et cū extremis / vt ipſemet fatetur: ſed hoc nõ põt
fieri per medii rei īuentionē igitur. Minor proba
tur / q2 vel prima illarū duarū linearū que īuenit̄̄
inter illas duas īuenitur per illã artē vel nõ. ſi non
habeo ꝓpropoſitū / oportet dare aliã artē: ſi ſic tū
manifeſtū eſt / illa erit medio loco ꝓportionabi
lis inter lineas ſe habentes in ꝓportione dupla:
et per cõſequens maioris linee ad ipſam / et etiam
ipſius ad minimū erit proportio que eſt medietas
duple: et tūc quero de īuentione ſecūde linee inter
medie: q2 vel ille īuenietur per artem medie rei in-
uentionis vel nõ: ſi nõ habeo ꝓpoſitū: ſi ſic quero
vel illa debet īueniri per illam artem inter illam
mediam lineam et vltimam: vel inter primã et illã
mediam: ſed neutrū iſtorum eſt diceudum igitur.
Probatur minor: quoniã ſi inueniatur inter me-
diam et vltimam: iam ille quatuor linee nõ erunt
continuo proportionabiles: quoniã prime ad ſe-
cundam erit medietas duple: et ſecunde ad tertiã
et etiam tertie ad quartam erit ſubquadrupla du
ple: quia erit medietas medietatis duple: vt patet
ex nona concluſione huius: ſi vero īueniatur inter
primam et mediam idē ſequitur. 44Correĺ. ¶ Ex quo ſequi-
tur horen non tradidiſſe doctrinam ad inuenien-
dam proportionē compoſitam ex duabus tertiis
proportiõis duple puta ſubſequialterã ad duplã
Probatur / quia vt ſonant verba eius videtur in-
nuere illas lineas īueniendas eſſe per artē medie
rei īuentionis / quod ſtare nõ poteſt / vt probatū eſt
Et ſi hec nõ fuit intentio et mens venerabilis ma-
giſtri. Nicholai horen detur imbecillitati et par-
uitati ingenioli mei venia. Eligat igitur vnuſq̇ſ-
/ quod vult et me magis ſtudioſum quã maliuo-
lum probet.
cuilibet ꝓportioni īuenirē ſubduplã, ſubquadru-
plam, ſuboctuplã, ſubſexdecuplã, et ſic in infinitū
aſcendendo per numeros pariter pares: difficile
tamen eſt ſubtriplã, ſubquintuplã, ſubſextuplam /
et ſic in infinitū per numeros impares vel impari
ter pares aſcendendo īuenire. Prima pars patet
ex priori concluſione: et ſecūda eſt michi experimē
to cõperta: quãuis nicholaꝰ horen in ſuo tractatu
ꝓportionū capite quarto velit dare modum per
artem medie rei inuentionis ad īueniendam pro-
portionem et ſubduplam, et ſubtriplam, et ſubſex-
quialteram. 33Contra
horeu: ¶ Sed ſaluo meliori indicio et aucto-
ritate tam circuaſpecti viri ſignanter in mathe-
mathicis ſciētiis: videtur michi / per artē medie
rei īuentionis nõ poſſunt īueniri quatuor linee cõ
tinuo proportionabiliter ſe habentes. Quod ſic
oſtendo: quia captis duabus lineis ſe habentibꝰ
in ꝓportione dupla ad īueniendã quatuor lineas
cõtinuo ꝓpprtionabiles: oportet inter illas duas
īuenire alias duas cõtinuo ꝓportionabiles inter
ſe et cū extremis / vt ipſemet fatetur: ſed hoc nõ põt
fieri per medii rei īuentionē igitur. Minor proba
tur / q2 vel prima illarū duarū linearū que īuenit̄̄
inter illas duas īuenitur per illã artē vel nõ. ſi non
habeo ꝓpropoſitū / oportet dare aliã artē: ſi ſic tū
manifeſtū eſt / illa erit medio loco ꝓportionabi
lis inter lineas ſe habentes in ꝓportione dupla:
et per cõſequens maioris linee ad ipſam / et etiam
ipſius ad minimū erit proportio que eſt medietas
duple: et tūc quero de īuentione ſecūde linee inter
medie: q2 vel ille īuenietur per artem medie rei in-
uentionis vel nõ: ſi nõ habeo ꝓpoſitū: ſi ſic quero
vel illa debet īueniri per illam artem inter illam
mediam lineam et vltimam: vel inter primã et illã
mediam: ſed neutrū iſtorum eſt diceudum igitur.
Probatur minor: quoniã ſi inueniatur inter me-
diam et vltimam: iam ille quatuor linee nõ erunt
continuo proportionabiles: quoniã prime ad ſe-
cundam erit medietas duple: et ſecunde ad tertiã
et etiam tertie ad quartam erit ſubquadrupla du
ple: quia erit medietas medietatis duple: vt patet
ex nona concluſione huius: ſi vero īueniatur inter
primam et mediam idē ſequitur. 44Correĺ. ¶ Ex quo ſequi-
tur horen non tradidiſſe doctrinam ad inuenien-
dam proportionē compoſitam ex duabus tertiis
proportiõis duple puta ſubſequialterã ad duplã
Probatur / quia vt ſonant verba eius videtur in-
nuere illas lineas īueniendas eſſe per artē medie
rei īuentionis / quod ſtare nõ poteſt / vt probatū eſt
Et ſi hec nõ fuit intentio et mens venerabilis ma-
giſtri. Nicholai horen detur imbecillitati et par-
uitati ingenioli mei venia. Eligat igitur vnuſq̇ſ-
/ quod vult et me magis ſtudioſum quã maliuo-
lum probet.
QUoniã inſequētibus plerū
ſeſe offert diminutio proportionis ex
augmento reſiſtentie: aut virtutis decre
mento / et etiam augmentatio proueniens ex decre
mento reſiſtētie aut virtutis augmento. Ideo ope
re precium eſt in huiꝰ ſecunde partis calce aliquid
de augmento et decremento ꝓportionū adiicere.
ſeſe offert diminutio proportionis ex
augmento reſiſtentie: aut virtutis decre
mento / et etiam augmentatio proueniens ex decre
mento reſiſtētie aut virtutis augmento. Ideo ope
re precium eſt in huiꝰ ſecunde partis calce aliquid
de augmento et decremento ꝓportionū adiicere.
Pro quo ſuppono primo.
Augere ſi-
ue augmentare aliquã proportionē cõtingit mul-
tipliciter: aut em̄ maiori numero aliquid additur
minore īuariato: aut decreſcente: aut minori ali-
quid demitur maiore nõ variato aut creſcēte. aut
vtro creſcente velocius tamen ꝓportiõabiliter
creſcente maiore quã minore. Aut vtro diminu-
to velocius tamē ꝓportionabiliter diminuto mi-
nore quã maiore. Probat̄̄ / qm̄ capta proportione
dupla que eſt .8. ad .4. cõtingit eã augeri ꝑ cremen
tū ipſoꝝ .8. ipſis .4. īuariatis vel decreſcētibus. vt
ſi .8: acquirãt vnitatē ipſis .4. īuariatis: manebit
ꝓportio maior dupla: nouē ad .4. q̄ eſt dupla ſex-
quiquarta: ſi quãdo .8. acquirūt vnitatē .4. deper
dūt vnitatē: etiã manebit proportio maior dupla
puta tripla. Itē ſi quieſcētibꝰ .8.4. deꝑdant bina
riū: augmentabit̄̄ ꝓportio / vt cõſtat: et ſi etiã tūc .8
aliquid acquirãt: etiã augmētabitur ꝓportio. Si
vero .8. acquirãt quaternariū numeꝝ puta ꝓpor-
tionē ſexquialterã: et q̈ternariꝰ numerꝰ acq̇rat vni
tatē puta ꝓportionē ſexquiquartã: ꝓportio effi-
cietur maior: Efficiet̄̄ em̄ dupla ſuprabipartiens
quītas. Si aūt .8: deꝑdant duo et .4. / ſiĺr duo aug-
mētabit̄̄ etiã ꝓportio: q2 maiorē ꝓportionē deꝑ-
dit numerꝰ mīor quã maior. Et ſic ptꝫ ſuppoſitio.
ue augmentare aliquã proportionē cõtingit mul-
tipliciter: aut em̄ maiori numero aliquid additur
minore īuariato: aut decreſcente: aut minori ali-
quid demitur maiore nõ variato aut creſcēte. aut
vtro creſcente velocius tamen ꝓportiõabiliter
creſcente maiore quã minore. Aut vtro diminu-
to velocius tamē ꝓportionabiliter diminuto mi-
nore quã maiore. Probat̄̄ / qm̄ capta proportione
dupla que eſt .8. ad .4. cõtingit eã augeri ꝑ cremen
tū ipſoꝝ .8. ipſis .4. īuariatis vel decreſcētibus. vt
ſi .8: acquirãt vnitatē ipſis .4. īuariatis: manebit
ꝓportio maior dupla: nouē ad .4. q̄ eſt dupla ſex-
quiquarta: ſi quãdo .8. acquirūt vnitatē .4. deper
dūt vnitatē: etiã manebit proportio maior dupla
puta tripla. Itē ſi quieſcētibꝰ .8.4. deꝑdant bina
riū: augmentabit̄̄ ꝓportio / vt cõſtat: et ſi etiã tūc .8
aliquid acquirãt: etiã augmētabitur ꝓportio. Si
vero .8. acquirãt quaternariū numeꝝ puta ꝓpor-
tionē ſexquialterã: et q̈ternariꝰ numerꝰ acq̇rat vni
tatē puta ꝓportionē ſexquiquartã: ꝓportio effi-
cietur maior: Efficiet̄̄ em̄ dupla ſuprabipartiens
quītas. Si aūt .8: deꝑdant duo et .4. / ſiĺr duo aug-
mētabit̄̄ etiã ꝓportio: q2 maiorē ꝓportionē deꝑ-
dit numerꝰ mīor quã maior. Et ſic ptꝫ ſuppoſitio.
Secūda ſuppoſitio.
Augmētare pro
portionē eſt addere ꝓportioni ꝓportionē ceteris
paribꝰ: vt augere duplã eſt ei addere aliquã ꝓpor
tionē ceteris aliis manentibus paribus.
portionē eſt addere ꝓportioni ꝓportionē ceteris
paribꝰ: vt augere duplã eſt ei addere aliquã ꝓpor
tionē ceteris aliis manentibus paribus.
Ex quo ſequit̄̄ tertia ſuppoſitio ꝓpo-
ſita vna ꝓportione quauis et duabꝰ aliis minori-
bus: īueſtigare vtrū illa maior ex illis duabꝰ mi-
noribꝰ adeq̈te ↄ̨ponit̄̄: vt ꝓpoſita ꝓportiõe dupla
et ſexq̇altera, et ſeq̇tertia minoribꝰ, videre vtrum
dupla ex ſexq̇altera et ſexq̇tertia adeq̈te cõponat̄̄.
Probat̄̄ / ſit a. ꝓportio maior b: et c: mīores: et volo
videre vtrū adeq̈te ↄ̨ponat̄̄ a. ex b. et c. Ad qḋ vidē-
dū: addã c. ipſi b. / et ſi tūc ꝓportio ↄ̨poſita ex b. et c.
adeq̈te eſt eq̈lis ipſi a. / ex illis adeq̈te cõponit̄̄ a.
ſin minus: nõ ex his adequate componitur: ſed ex
duabus maioribus, aut duabus minoribus.
ſita vna ꝓportione quauis et duabꝰ aliis minori-
bus: īueſtigare vtrū illa maior ex illis duabꝰ mi-
noribꝰ adeq̈te ↄ̨ponit̄̄: vt ꝓpoſita ꝓportiõe dupla
et ſexq̇altera, et ſeq̇tertia minoribꝰ, videre vtrum
dupla ex ſexq̇altera et ſexq̇tertia adeq̈te cõponat̄̄.
Probat̄̄ / ſit a. ꝓportio maior b: et c: mīores: et volo
videre vtrū adeq̈te ↄ̨ponat̄̄ a. ex b. et c. Ad qḋ vidē-
dū: addã c. ipſi b. / et ſi tūc ꝓportio ↄ̨poſita ex b. et c.
adeq̈te eſt eq̈lis ipſi a. / ex illis adeq̈te cõponit̄̄ a.
ſin minus: nõ ex his adequate componitur: ſed ex
duabus maioribus, aut duabus minoribus.