10 laris: eſt ſexquialtera: vel ſexquitertia: vel minor
ſexquitertia: et nulla proportio diametri ad coſtã
eſt ſexquialtera: vel ſexquitertia vel minor ſexq̇ter
tia. / ergo nulla proportio diametri ad coſtã: eſt ſu-
perparticularis. Cõſequētia ptꝫ cū maiore mani-
feſte: et probatur minor. qm̄ oīs proportio ſexqui-
altera: vel ſexquitertia: vel minor ſexquitertia. eſt
maior vel minor: medietate duple. et nulla propor
tio diametri ad coſtã: eſt maior vel minor medieta
te duple. q2 eſt equalis medietati duple. / vt patꝫ ex
tertia ſuppoſitiõe. igitur nulla ꝓportio diametri
ad coſtã: eſt ſexquialtera. vel ſexq̇tertia: vel minor
ſexquitertia. Cõſequētia patet cū minore: et maior
probatur: q2 ſexquialtera eſt maior quã medietas
duple. et ſexquitertia minor quã medietas duple / et
ex cõſequēti: ꝑ locū a maiori: quelibet minor ſexq̇-
tertia: eſt minor quã medietas duple. / ergo oīs pro
portio ſexquialtera. vel ſexquitertia: vĺ minor ſex
quitertia: eſt maior: vel minor: medietate duple.
Probatur tamē ãtecedēs. q2 dupla. cõponit̄̄ ade-
quate ex ſexquialtera: et ſexquitertia. / vt patet ex
ſecūda parte. et ſexquialtera eſt maior. et ſexquiter
tia mīor. igitur ſexquialtera eſt maior quã medie
tas duple. et ſexquitertia minor quã medietas du
ple. Patet conſequētia ex ſexta ſuppoſitione q̈rti
capitis ſecūde partis.
ſexquitertia: et nulla proportio diametri ad coſtã
eſt ſexquialtera: vel ſexquitertia vel minor ſexq̇ter
tia. / ergo nulla proportio diametri ad coſtã: eſt ſu-
perparticularis. Cõſequētia ptꝫ cū maiore mani-
feſte: et probatur minor. qm̄ oīs proportio ſexqui-
altera: vel ſexquitertia: vel minor ſexquitertia. eſt
maior vel minor: medietate duple. et nulla propor
tio diametri ad coſtã: eſt maior vel minor medieta
te duple. q2 eſt equalis medietati duple. / vt patꝫ ex
tertia ſuppoſitiõe. igitur nulla ꝓportio diametri
ad coſtã: eſt ſexquialtera. vel ſexq̇tertia: vel minor
ſexquitertia. Cõſequētia patet cū minore: et maior
probatur: q2 ſexquialtera eſt maior quã medietas
duple. et ſexquitertia minor quã medietas duple / et
ex cõſequēti: ꝑ locū a maiori: quelibet minor ſexq̇-
tertia: eſt minor quã medietas duple. / ergo oīs pro
portio ſexquialtera. vel ſexquitertia: vĺ minor ſex
quitertia: eſt maior: vel minor: medietate duple.
Probatur tamē ãtecedēs. q2 dupla. cõponit̄̄ ade-
quate ex ſexquialtera: et ſexquitertia. / vt patet ex
ſecūda parte. et ſexquialtera eſt maior. et ſexquiter
tia mīor. igitur ſexquialtera eſt maior quã medie
tas duple. et ſexquitertia minor quã medietas du
ple. Patet conſequētia ex ſexta ſuppoſitione q̈rti
capitis ſecūde partis.
Tertia concluſio.
Nulla proportio
diametri ad coſtã eſt aliqua proportio ſuprapar-
tiens. Probatur. q2 oīs proportio ſuprapartiēs:
reperibilis eſt inter duos numeros: quoꝝ alter eſt
impar. et nulla proportio diametri ad coſtã: repe
ribilis eſt inter duos numeros: quoꝝ alter eſt īpar /
ergo nulla proporito diametri ad coſtã: eſt aliqua
proportio ſuprapartiens Patet conſequentia in
ſcḋo ſcḋe vt prius. et maior ex quarta ſuppoſitiõe
et minor probat̄̄. q2 ſi nõ detur oppoſitū. videlicet /
proportio diametri ad coſtã: reperitur inter du
os numeros: quoꝝ alter eſt impar. ita diameter
et coſta: ſe habere poſſūt vt duo nūeri: quoꝝ alter
eſt impar. vel igitur diameter erit numerꝰ impar:
vel coſta ſi diameter: ſequitur / quadratū ipſius
diametri: erit numerꝰ impar. Patet cõſequētia ex
quinta ſuppoſitione. et vltra quadratū diametri:
eſt numerꝰ impar. ergo quadratū diametri: nõ eſt
duplū ad quadratū coſte. Patet conſequentia ex
ſexta ſuppoſitione. et cõſequēs eſt falſum: vt patet
ex ſecūda ſuppoſitione. igitur et antecedens: Non
eſt igitur dicendū / diameter eſt numerus impar
reſpectu coſte. ſi vero coſta ſit nūerꝰ īpar reſpectu
diametri: ſequit̄̄ / quadratū eiꝰ erit numerꝰ īpar
ſed quadratū eiꝰ: eſt etiã quadratū diametri. qm̄
ipſa coſta: eſt diameter mīoris quadrati. vt patet
in ſuperiori figura. Igit̄̄ quadratū diametri: eſt
numerꝰ impar. Patet cõſequētia ex quinta ſuppo
ſitione. et per cõſequēs quadratū diametri: nõ eſt
duplū ad q̈dratū coſte. Patet cõſequētia ex ſexta
ſuppoſitione. et cõſequēs eſt falſum. vt patet ex ſe
cūda ſuppoſitione: igitur et ãtecedēs. Et ſic patet:
nec diameter ſe habet ſicut nūerꝰ īpar: nec coſta
11Quid ſit
quãtita-
tē ſe hr̄e
vt nūerꝰ. ¶ Aliquam autem quantitatem: ſe habere vt nu-
merus impar reſpectu alterius: eſt ipſam diuidi
ſaltē ad ymaginationē: in partes equales denoīa
tas a numero impari. vt in tres tertias: in quin
quītas in ſeptem ſeptimas / et ſic cõſequēter. et hoc
reſpectu alterius quãtitatis: diuiſe in partes illis
equales. vt ſi pedale diuidatur in tres tertias et bi
pedale in ſexſexas quarum ſextarum quelibet eſt
equalis vni tertie pedalis: tūc dico: pedale ſe hꝫ
vt nūerꝰ impar: reſpectu bipedalis. Tu tamē ad-
uerte etiã poteſt ſe habere vt nūerꝰ par: reſpectu
bipedalis. tamē ſemꝑ īter pedale et bipedale erit
ꝓportio dupla. Diameter autē et coſta: nū̄ ſic ſe
poſſunt habere: diameter ſe habeat vt numerus
impar reſpectu coſte: vel econtra / vt ꝓbatū eſt.
diametri ad coſtã eſt aliqua proportio ſuprapar-
tiens. Probatur. q2 oīs proportio ſuprapartiēs:
reperibilis eſt inter duos numeros: quoꝝ alter eſt
impar. et nulla proportio diametri ad coſtã: repe
ribilis eſt inter duos numeros: quoꝝ alter eſt īpar /
ergo nulla proporito diametri ad coſtã: eſt aliqua
proportio ſuprapartiens Patet conſequentia in
ſcḋo ſcḋe vt prius. et maior ex quarta ſuppoſitiõe
et minor probat̄̄. q2 ſi nõ detur oppoſitū. videlicet /
proportio diametri ad coſtã: reperitur inter du
os numeros: quoꝝ alter eſt impar. ita diameter
et coſta: ſe habere poſſūt vt duo nūeri: quoꝝ alter
eſt impar. vel igitur diameter erit numerꝰ impar:
vel coſta ſi diameter: ſequitur / quadratū ipſius
diametri: erit numerꝰ impar. Patet cõſequētia ex
quinta ſuppoſitione. et vltra quadratū diametri:
eſt numerꝰ impar. ergo quadratū diametri: nõ eſt
duplū ad quadratū coſte. Patet conſequentia ex
ſexta ſuppoſitione. et cõſequēs eſt falſum: vt patet
ex ſecūda ſuppoſitione. igitur et antecedens: Non
eſt igitur dicendū / diameter eſt numerus impar
reſpectu coſte. ſi vero coſta ſit nūerꝰ īpar reſpectu
diametri: ſequit̄̄ / quadratū eiꝰ erit numerꝰ īpar
ſed quadratū eiꝰ: eſt etiã quadratū diametri. qm̄
ipſa coſta: eſt diameter mīoris quadrati. vt patet
in ſuperiori figura. Igit̄̄ quadratū diametri: eſt
numerꝰ impar. Patet cõſequētia ex quinta ſuppo
ſitione. et per cõſequēs quadratū diametri: nõ eſt
duplū ad q̈dratū coſte. Patet cõſequētia ex ſexta
ſuppoſitione. et cõſequēs eſt falſum. vt patet ex ſe
cūda ſuppoſitione: igitur et ãtecedēs. Et ſic patet:
nec diameter ſe habet ſicut nūerꝰ īpar: nec coſta
11Quid ſit
quãtita-
tē ſe hr̄e
vt nūerꝰ. ¶ Aliquam autem quantitatem: ſe habere vt nu-
merus impar reſpectu alterius: eſt ipſam diuidi
ſaltē ad ymaginationē: in partes equales denoīa
tas a numero impari. vt in tres tertias: in quin
quītas in ſeptem ſeptimas / et ſic cõſequēter. et hoc
reſpectu alterius quãtitatis: diuiſe in partes illis
equales. vt ſi pedale diuidatur in tres tertias et bi
pedale in ſexſexas quarum ſextarum quelibet eſt
equalis vni tertie pedalis: tūc dico: pedale ſe hꝫ
vt nūerꝰ impar: reſpectu bipedalis. Tu tamē ad-
uerte etiã poteſt ſe habere vt nūerꝰ par: reſpectu
bipedalis. tamē ſemꝑ īter pedale et bipedale erit
ꝓportio dupla. Diameter autē et coſta: nū̄ ſic ſe
poſſunt habere: diameter ſe habeat vt numerus
impar reſpectu coſte: vel econtra / vt ꝓbatū eſt.
Quarta cõcluſio.
Omnis proportio
diametri ad coſtã: eſt irrationalis Probatur hec
cõcluſio. q2 oīs ꝓportio rationalis: eſt multiplex:
aut multiplex ſuꝑparticularis, aut multiplex ſu-
prapartiens, aut ſuꝑparticularis, aut ſuprapar
tiens, et nulla ꝓportio diametri ad coſtã: eſt mul-
tiplex, aut multiplex ſuperparticularis, aut mul-
tiplex ſuprapartiēs. vt patet ex prima cõcluſione
aut ſuꝑparticularis. vt ptꝫ ex ſcḋa: aut ſuprapar-
tiens: vt patet ex tertia. / igitur nulla ꝓportio dia
metri ad coſtã: eſt rationalis. Cõſequētia patet vt
ſupra: et maior ex fine primi capitis. Illa enim eſt
ſūma diuiſio ꝓportiõis rationalis: et vltra nulla
ꝓportio diametri ad coſtã: eſt ratiõalis. et eſt pro
portio: igitur eſt proportio irrationalis. Patet
cõſequentia a ſufficienti diuiſione.
diametri ad coſtã: eſt irrationalis Probatur hec
cõcluſio. q2 oīs ꝓportio rationalis: eſt multiplex:
aut multiplex ſuꝑparticularis, aut multiplex ſu-
prapartiens, aut ſuꝑparticularis, aut ſuprapar
tiens, et nulla ꝓportio diametri ad coſtã: eſt mul-
tiplex, aut multiplex ſuperparticularis, aut mul-
tiplex ſuprapartiēs. vt patet ex prima cõcluſione
aut ſuꝑparticularis. vt ptꝫ ex ſcḋa: aut ſuprapar-
tiens: vt patet ex tertia. / igitur nulla ꝓportio dia
metri ad coſtã: eſt rationalis. Cõſequētia patet vt
ſupra: et maior ex fine primi capitis. Illa enim eſt
ſūma diuiſio ꝓportiõis rationalis: et vltra nulla
ꝓportio diametri ad coſtã: eſt ratiõalis. et eſt pro
portio: igitur eſt proportio irrationalis. Patet
cõſequentia a ſufficienti diuiſione.
Capitulum quartum / in quo agitur de
infinitis ſpeciebus proportionis irratio
nalis: et de earum procreatione.
infinitis ſpeciebus proportionis irratio
nalis: et de earum procreatione.
PRoportio irrationalis: per-
inde at rationalis: in infinitas di-
ſtribuitur ſpecies Ad quod mathema
tica induſtria inferendū: ponūtur alique ſuppões
inde at rationalis: in infinitas di-
ſtribuitur ſpecies Ad quod mathema
tica induſtria inferendū: ponūtur alique ſuppões
Prima ſuppoſitio.
Si due quantita
tes: ſe habent vt duo numeri: aggregatū ex eis: ſe
habebit vt vnꝰ numerꝰ. Probatur. q2 ſemꝑ ex ad
ditiõe numeri ad numerū: reſultat numerꝰ maior
tes: ſe habent vt duo numeri: aggregatū ex eis: ſe
habebit vt vnꝰ numerꝰ. Probatur. q2 ſemꝑ ex ad
ditiõe numeri ad numerū: reſultat numerꝰ maior
Secūda ſuppoſitio
Si alique quan
titates. ſe habeant in ꝓportione rationali: ille ſe
habebunt: vt duo numeri: et econtra. Patet ſup-
poſitio hec ex diffinitione ꝓportiõis ratioalis: cū
ſuo correlario: primo capite poſita.
titates. ſe habeant in ꝓportione rationali: ille ſe
habebunt: vt duo numeri: et econtra. Patet ſup-
poſitio hec ex diffinitione ꝓportiõis ratioalis: cū
ſuo correlario: primo capite poſita.
Tertia ſuppoſitio.
Si due quantita
tes ſe habeant in ꝓportione ratiõali: aggregatū
ex eis: ſe habet in ꝓportione ratiõali: ad quãlibet
illaꝝ quantitatū. Probatur hec ſuppoſitio. qm̄ ſi
ſe habent in ꝓportione rationali: iã quelib3 illaꝝ
ſe habet vt numerꝰ: vt patet ex ſecūda ſuppoſitõe
et ſi quelibet illaꝝ ſe habet vt uūerꝰ: ſe aggregatū
ex eis: ſe habet vt nūerꝰ. vt patet ex prima ſuppo
ſitiõe. et ꝑ cõſequens illiꝰ agggregati: quod ſe ha
bet vt numerꝰ: ad vtrã illarū quantitatū: que ſe
habent vt numeri: erit ꝓportio rationalis. vt ptꝫ
ex ſecūda ſuppoſitione: quod fuit ꝓbandum.
tes ſe habeant in ꝓportione ratiõali: aggregatū
ex eis: ſe habet in ꝓportione ratiõali: ad quãlibet
illaꝝ quantitatū. Probatur hec ſuppoſitio. qm̄ ſi
ſe habent in ꝓportione rationali: iã quelib3 illaꝝ
ſe habet vt numerꝰ: vt patet ex ſecūda ſuppoſitõe
et ſi quelibet illaꝝ ſe habet vt uūerꝰ: ſe aggregatū
ex eis: ſe habet vt nūerꝰ. vt patet ex prima ſuppo
ſitiõe. et ꝑ cõſequens illiꝰ agggregati: quod ſe ha
bet vt numerꝰ: ad vtrã illarū quantitatū: que ſe
habent vt numeri: erit ꝓportio rationalis. vt ptꝫ
ex ſecūda ſuppoſitione: quod fuit ꝓbandum.
Qurata ſuppoſitio.
Coſte: ad exceſſū
quo diameter excedit coſtã: ꝓportio irrationalis
Probatur. q2 ſi eſſet rationalis: iã ſe haberent vt
duo numeri. vt patet ex ſecūda ſuppoſitiõe. et ſi ſe
haberēt vt duo numeri: aggregatū ex eis: qḋ ade
q̈te eſt diameter haberet ſe in ꝓportione ratiõali
ad vtrū illoꝝ. et ꝑ cõſequēs ad coſtam. vt patet ex
tertia ſuppoſitione: et ſic diametri ad coſtam: eſſet
rationalis proportio. quod eſt contra quratã cõ
cluſionem precedentis capitis.
quo diameter excedit coſtã: ꝓportio irrationalis
Probatur. q2 ſi eſſet rationalis: iã ſe haberent vt
duo numeri. vt patet ex ſecūda ſuppoſitiõe. et ſi ſe
haberēt vt duo numeri: aggregatū ex eis: qḋ ade
q̈te eſt diameter haberet ſe in ꝓportione ratiõali
ad vtrū illoꝝ. et ꝑ cõſequēs ad coſtam. vt patet ex
tertia ſuppoſitione: et ſic diametri ad coſtam: eſſet
rationalis proportio. quod eſt contra quratã cõ
cluſionem precedentis capitis.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib