Ebert à Poincaré
Ebert à Poincaré
Gries bei Bozen, 29.III.92
Hochverehrter Herr Professor!
Verzeihen Sie, wenn ich es unternehme mich
persönlich an Sie zu wenden und zwar mich dabei meiner Muttersprache
bedienend; ich lese zwar das Französisch vollkommen, wage es aber doch
nicht recht mich dieser schönen Sprache im vorliegenden Falle zu
bedienen.
Ich möchte ihnen zunächst einmal meinen
Dank aussprechen für die Belehrung, Förderung und Anregung, die
ich Ihnen schönen Büchern verdanke. Ich habe mit grösstem Interesse
gelesen Ihre ,,Théorie mathématique de la Lumière", Ihre
,,Électricité et Optique I et II", und bin jetzt gerade an dem
Studium ihrer ,,Thermodynamique". Von derselben habe ich
zunächst das letzte Capitel vorgenommen, da ich mich
augenblicklich eingehender mit Helmholtz Theorie der cyklischen
Bewegungen beschäftige. Sie haben mit grosser Eleganz das Wichtigste
dieser Theorie in dem genannten Capitel gebracht, was ich mit grosserer
Freude und wachsendem Interesse gelesen habe. An einer Stelle bin ich
mir nicht recht klar, ob ich Sie wohl richtig verstehe oder ob sich
vielleicht doch ein kleines Versehen eingeschlichen hat. Ich nehme mir
die Freiheit mich mit einer diesbezüglichen Frage an Sie zu wenden:
Pag. 400, oben von Zeile 2 an wird
gesagt, dass ¶H/ ¶ qa( = -¶L/ ¶ qa ) von der Form Aqa¢qa" sei u.s.f. Das ist wohl nicht
ganz richtig, weil ja sonst H selbst und damit L vom 3. Grade in
den q sein müsste. Die ¶H/ ¶qa = -sa sind homogene lineare Funktionen in den q
u. wenn die d qa/ dt sowie die dqb/ dt
klein sind, ist: [ d/dt]¶H/¶qa gleich 0. Leicht zu
berichtigende Druckfehler sind pag. 402 Zeile 8 und 4 von unten
qb statt pb; pag. 403 Zeile 9 von unten
dH¢/ dqb statt dH¢/dpb; pag. 405, Zeile 7, 9, 11,
14 von oben P statt p; pag. 412, Zeile 7-8 von oben fehlt der
Faktor 1/2, ebenso pag. 413 Zeile 13 bei dem Glieder
tp2; ich erlaube mir nur Ihre Aufmerksamkeit auf dieselben zu
lenken um Ihnen zu zeigen, wie sorgfältig ich Ihre schönen Darstellungen
durchstudiere, und weil vielleicht diese Kleinigkeiten bei einer
Neuauflage Berichtigungen erfahren könnten; denn es ist schade wenn eine
elegante und glatte Entwickelung durch solche Steine des Anstosses
unterbrochen wird.
Mehr Schwierigkeiten hat mir eine Stelle
pag. 413 oben gemacht, wo
gesetzt wird. Da integriert wird zwischen zwei Zeitpunkten, für welche
beide q = nh wird, so hat das bestimmte Integral von
[ 1/2]q2 den Wert 0, das zweite Glied auf der rechten
Seite der Gleichungen pag. 414 ist also doch wohl immer gleich 0
u. steht nur zum Scheine hier; in der That ist es ja auch ganz
überflüssig und ¶Q/L = d[lognat
B3/A].
Pag. 417 Zeile 8-9 von oben muss die
zweite Gleichung wohl lauten:
Sehr grosse Scrupel hat mir Ihr Nachweis in § 328-330
pag. 418 flgde gemacht, dass die Helmholtzsche Theorie nicht im
Stande sein soll die irreversibelen Prozesse zu erklären; wenn Sie mich
darüber aufklären wollten, worin ich hierbei im Unklaren bin,
würde ich Ihnen zum allergrössten Danke verpflichtet sein, denn der
Eindruck, den Ihr Einwurf beim ersten Ueberlesen auf mich machte, war
ein geradezu niederschmetternder. Bei näherer Betrachtung indessen will
es mir scheinen, als ob Ihre Einwurf gar nicht die Helmholtzsche Theorie
als solche trifft. Verstehe ich die genannten §§ recht,
so ist der Gedankengang folgender: Angenommen der Clausius'sche Satz von
der Vermehrung der Entropie eines sich selbst überlassenen Systems sei
richtig (pag. 419, Zeile 4 flgnde), was folgt daraus ? Sie zeigen
in höchst eleganter Weise, dass man zu Widersprüchen mit den
Grundgleichungen der Mechanik gelangt. Bei diesem Nachweise treten aber
nirgends Ausdrücke ein, welche der Helmholtz'schen Theorie speciell
eigentümlich wären; Sie benutzen nur Gleichungen die der allgemeinen
Mechanik angehören und solche die unmittelbar ohne jede weitere
Annahme aus diesen folgen. Mir scheint es, dass nur bewiesen ist, dass
der bezeichnete Satz sich nicht mit den Principien der allgemeinen
Mechanik verträgt; die Helmholtz'sche Theorie beginnt doch erst dort, wo
über das Wesen der Parameter bestimmte Vorstellungen eingeführt werden.
Die genannte Ableitung scheint mir also nicht zu den Bemerkungen
pag. 392, § 309 Ende u. § 330 vorletzter Abschnitt
gegen die Helmholtz'sche Theorie zu berechtigen. Ich glaubte nur
schliessen zu dürfen entweder der Clausius'sche Satz ist nicht richtig
oder in der genannte Ableitung ist nicht alles in Ordnung. In dieser
Beziehung hat sich mir nun folgendes Bedenken aufgedrängt: In dem jeder
äusseren Einwirkung dauernd entzogenen System ist dU gleich 0, denn dU =
- åPa
dpa + ådQb
(pag. 405); sind die hier eingeführten unabhängigen Variabelen p
u. q wirklich von einander unabhängig, so heisst das ¶U/ ¶ s und ¶U/ ¶ p = 0. Der
Ausdruck, auf den Sie Ihr Kriterium stützen,
| | å
| | æ
è | ¶S
¶p
|
| ¶U
¶s
| - | ¶S
¶s
|
| ¶U
¶p
| ö
ø | , |
|
aus dessen Nullwerden für andere Werte der unabhängigen Variabelen als p
= 0, s = 0 auf das Vorhanden sein von negativen Gliedern in der
quadratischen Form å(
) geschlossen wird, ist also eo
ipso dauernd gleich 0 u. ein Schluss von der Art wie Sie ihn
hier ziehen, will mir nicht ganz sicher erscheinen.
Ich irre mich vielleicht und habe Sie
wahrscheinlich nicht recht verstanden, aber es wäre mir im höchsten
Grade erwünscht, wenn Sie die Liebenswürdigkeit haben wollten, mich über
diesen so sehr wichtigen Punkt aufzuklären.
Ich hoffe in dieser Beziehung keine
Fehlbitte zu tun, da ich mich schon lang zu Ihren entfernteren Schülern
zähle.
Seien Sie meiner vorzüglichsten Hochachtung
versichert und genehmigen Sie den aufrichtigsten Dank von
Ihrem ergebensten
H. Ebert
Erlangen, Bayern Universität
ALS 11p.
Private collection, Paris; AIP1.
Références
- [Ebert 1912]
- Ebert, H. Lehrbuch der
Physik, Bd. 1: Mechanik, Wärmelehre. Leipzig: Teubner, 1912.
- [Poincaré 1889]
- Poincaré, H.
Leçons sur la théorie mathématique de la lumière, 2 vols.
Paris: G. Carré, 1889.
- [Poincaré 1890]
- -. Électricité et
optique, 2 vols. Paris: Georges Carré, 1890.
- [Poincaré 1908]
- -.
Thermodynamique. 2d edition. Paris: Gauthier-Villars,
1908.
Evellin à Poincaré
Evellin à Poincaré
Samedi midi, 16 avril 1881
Bien cher et honoré Monsieur,
Ne sachant où vous adresser ma carte à
Paris, je vous envoie à Caën mes plus sympathiques, mes plus cordiales
félicitations.
C'est à peine si j'ai l'honneur de vous
connaître et je devine votre parfaite bonté; aussi tous mes meilleurs
souhaits sont pour vous.
Merci de vos bonnes et vraies sympathies.
Mon Dieu, qu'un tel deuil est cruel mais j'ai du courage.
Je resterai à Nantes pour consoler ma
pauvre vieille mère et assister au service de notre cher défunt.
A bientôt, je pense au moins qu'après
quelques semaines de bonheur pour vous de justesse pour moi, nous
pourrons reprendre nos spéculations.
A vous, de coeur
Evellin
Compliments bien sympathiques à M. votre
beaufrère dont je ne voudrais pas lui devant vous tout le bien que je
pense.
ALS 1p.
Private collection, Paris.
Faye à Poincaré
Faye à Poincaré
Paris 27 octobre 1900
Cher et illustre Confrère,
J'ai été frappé d'entendre raconter par un
des invités de la Grande Chancellerie, l'éloge que vous avez bien voulu
faire d'un de mes travaux à l'occasion de l'Arc du Pérou. J'ai bien
regretté de ne pouvoir assister moi-même à cette Séance Publique empêché
que j'étais par le désir d'aller le soir même à la réunion du Grand
Chancelier et l'impossibilité de m'absenter deux fois dans la même
journée.
J'ai reçu depuis, d'autres personnes
dont l'opinion a pour moi beaucoup de valeur, l'assurance des bons
sentiments que vous avez bien voulu exprimer pour moi en public en cette
occasion.
Agréez donc mon cher Collègue mes biens
vifs remerciements avec tous mes sentiments dévoués.
H. Faye
ALS 2p.
Private collection, Paris; AIP.
Fouché à Poincaré
Fouché à Poincaré
Paris, le 23 février 1887
Mon cher camarade,
J'apprends, un peu tardivement ta
nomination à l'Académie des Sciences. Permets moi pourtant de t'en
féliciter bien sincèrement. C'est un honneur qui t'était très dû et qui
ne m'a pas étonné ; mais il me semble qu'il en rejaillit quelque chose
sur l'École Polytechnique et sur notre promotion, et je suis heureux de
me rappeler les deux années que j'ai passées avec toi, dans l'intimité
de l'École, à une époque où, tout en appréciant ta supériorité,
nous ne songions encore ni à l'Institut, ni aux distinctions de même
genre.
Ton camarade dévoué
M. Fouché
ALS 2p.
Private collection, Paris.
Fredholm à Poincaré
Fredholm à Poincaré
Stockholm 21 Décembre 1899
À Monsieur H. Poincaré
Membre de
l'Institut
Monsieur !
Ma note sur les équations différentielles à
coefficients constants que vous avez fait imprimer dans les "Comptes
Rendus" me montre que vous avez trouvé que ma communication n'était
pas sans intérêt.
Peut-être il en sera de même des résultats
que je me permets d'exposer dans ce qui suit.
Il s'agit de démontrer l'existence des
solutions d'un problème analogue à celui de Dirichlet, mais un peu plus
général. Pour fixer les idées, je prends un système d'équations
différentielles de la forme/
(1)
| D11 u + D12 v =
0 D21u + D22 v =
0 |
|
où
| Dlm u = Alm | ¶2 u
¶2 x
| + 2Blm |
¶2 u
¶x¶y
| + Clm | ¶2 u
¶2 y
| |
|
Pour bien mettre en évidence l'esprit de la
méthode, je rappelle la méthode de Neumann pour le problème de Dirichlet
dans le plan. Appelons s la longueur de l'arc de la courbe
donnée, il s'agit de déterminer la densité d'une couche double de sorte
que l'intégrale
| | 1
p
| | ó
õ | m( s ) | cos( r,x )
r
| ds |
æ
è | r = |
Ö
|
( x- x )2 + ( h- y )2
| ö
ø |
|
|
tende vers une unité donnée de valeurs quand le point x, y
approche à un point du contour. Cette valeur limite s'écrit
(2)
| m( s ) + | 1
p
| |
ó
õ
s
| m( s ) | cos( r,x )
r
| ds |
|
Le point x, y se trouve sur le contour. Appelons t la longueur de l'arc du point s = 0 jusqu'au
point x, y. Nous avons /
où jest une fonction ayant une valeur finie,
si la courbe a une courbure finie, ce que je suppose.
Par ces préliminaires, vous voyez comment
on est amené à étudier des équations fonctionnelles de la forme
(3)
| u( x ) + l | ó
õ | 1
0
| u( y )f( x,y )dy = v( x ) |
|
où f( x,y ) est une fonction finie pour les valeurs autre [que] zéro et
un, et l est un paramètre.
v(x) est une fonction donnée et nous cherchons la valeur
de u(x).
Par rapport à l'équation fonctionnelle (3)
je suis arrivé au résultat suivant qui me semble d'une grande utilité.
La fonction u(x) qui donne la
solution de l'équation (3) est, considérée comme fonction de l égale au quotient de deux fonctions entières
Il est facile de donner les expressions du
/ numérateur et du dénominateur de cette fonction.
Introduisons la notation.
| f | æ
ç
è
| | |
ö
÷
ø | =
| ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê |
| | ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê | |
|
on a
(4)
| | |
D( l) = 1 + l | ó
õ
| 1
0
|
f( x,x )dx + | l2
2!
| | 1
ó
õ
0
| | 1
ó
õ
0
| f |
æ
ç
è |
| |
ö
÷
ø |
dx1 dx2 + + | l3
3!
| |
1
ó
õ
0
| | 1
ó
õ
0
| | 1
ó
õ
0
| f |
æ
ç
è |
| |
ö
÷
ø |
dx1 dx2 dx3 + ... |
| | |
|
et
(5)
| D1 ( l) = v( x
)D( l) -
| ¥
å
n =
0
| | ln + 1
n!
|
| 1
ó
õ
0
|
... |
1
ó
õ
0
| f |
æ
ç
è |
| |
ö
÷
ø | v( y
)dydx1 dx2 ...dxn |
|
En introduisant ces expressions dans
l'équation (3) on démontre qu'elles y satisfont formellement. La
convergence des séries D( l) et
D1 ( l) pour des valeurs
quelconques de l est une conséquence
im[m]édiate du théorème suivant sur les déterminants.
«La valeur absolue d'un déterminant
dont les éléments sont réels / est au plus égale à
| | n
Õ
n = 1
| |
Ö
|
an12 +
...an22
| . |
|
»
En appelant f0 la plus grande
valeur absolue de f( x,y ), on a évidemment
| | ê
ê
ê
ê
ê | f | æ
ç
ç
ç
è | | |
ö
÷
÷
÷
ø | ê
ê
ê
ê
ê
| < = |
Ö
|
nn
|
f0n. |
|
Il s'en suit que les séries (4) et (5) sont
convergentes, car n! croît comme nn.
Cela suffit pour assurer l'existence d'une
fonction u(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle (3)
"en général".
Pour en être sûr pour une valeur de l donnée, soit l0 , il faut savoir un peu de plus par rapport à la fonction
f(x, y), car il peut arriver que D(l) s'annule pour l =
l0 et que D(l) contient une puissance plus élevée de l- l0 que ne le fait D1(l). Mais dans ce cas on peut trouver une solution
de l'équation fonctionnelle
(6)
| u( x ) + l0
| ó
õ
| u( y )f( x,y )dy =
0 |
|
qui n'est pas égale à zéro identiquement. / Mais si on sait de quelque
manière que l'équation fonctionnelle (6) n'admet pas de solution, on
peut être sûr de ce que D( l) ne peut pas
contenir l-
l0 en une puissance plus élevée
que D1 ( l) .
En effet, on sait que le potentiel d'une
double couche portée par une courbe fermée C ne peut pas être
nulle à l'intérieur de C, à moins que la densité
u(y) ne soit nulle. Par conséquent, dans le cas du
problème de Dirichlet on peut être sûr de ce que l'équation
fonctionnelle a une solution et cette solution s'exprime par la formule
u = [(D1 )/D].
Passons maintenant au problème d'abord
énoncé. Pour le traiter j'introduis une sorte d'intégrale
(7)
| |
ì
í
î |
| u = |
ó
õ
c
| | -
u
|
dW11 - | -
v
| dW12 v = |
ó
õ
c
| | -
u
|
dW21 - | -
v
| dW22 |
| | |
|
où les [`u], [`v] sont des fonctions données des paramètres qui
fixent la position d'un / point sur la courbe d'intégration.
Les dWlm
sont les différentielles exactes par rapport aux variables x,h des fonctions
| Wlm = |
n
å
n = 1
| Wlm( n) log( x- x + an (
h- y ) )
|
|
où les an sont les racines de l'équation
Je suppose que ces racines soient
complexes. De plus je suppose que A12 = A21 . Dans
ce cas on peut d'une infinité de manières former des expressions
linéaires tlm des dérivées premières des fonctions u, v de sorte
qu'on ait identiquement
| D11 u + D12 v = | ¶t11
¶x
| + | ¶t12
¶y
|
|
|
| D21 u + D22 v = | ¶t21
¶x
| + | ¶t22
¶y
|
. |
|
Parmi ces divers]e[s systèmes d'expressions tlm il existe un,
et en général un seul, qui jouit de la propriété que les expressions
| | | T1 = t11 cos( x, x ) + t12 cos( x, y ) T2 = t21 cos( x, x ) + t22 cos( x, y )
|
| | |
|
soit continues dans tout le plan si / u et v sont les
fonctions définies par la formule (7).
Ce résultat nous permet de démontrer que
les fonctions u, v ne peuvent pas être égale à zéro à
l'intérieur de C à moins qu'on ait [`u] = [`v] = 0.
En effet supposons u = v = 0
à l'intérieur de C. Alors T1 , T2 sont aussi nuls à l'intérieur de
C et parce qu'ils sont continues leurs valeurs limites quand le
point (x, y) approche d'un point de C en restant
extérieur à C sont aussi nulles. Mais alors il est facile à
démontrer qu'en employant des méthodes usuelles dans la théorie de
l'élasticité, qu'elles sont nulles dans tout le plan. Cela entraîne la
conséquence que les fonctions u, v aussi sont nulles et
par conséquent on a aussi [`u] et égales
[`v] à zéro.
Cela suffit pour nous assurer de la
légitimité de l'application de la méthode proposé[e] pour l'équation (3)
/ au problème qui nous occupe maintenant.
Car si on a choisi les coefficients
Alm
d'une manière convenable les valeurs limites des fonctions u,
v quand le point approche d'un point de C en restant
intérieur à C seront
| | lim
| u = | -
u
|
0
| + | ó
õ |
C
|
| -
u
| dA11 + | -
v
| dA12 |
|
| | lim
| v = | -
v
|
0
| + | ó
õ |
C
|
| -
u
| dA21 + | -
v
| dA22 . |
|
On a ainsi un système d'équations
fonctionnelles de la forme
| u1 ( x
) + | 1
ó
õ
0
| u1 (y)f11 ( x, y ) +
u2 (y)f12 ( x, y ) dy = v1 (
x ) |
|
| u2 ( x
) + | 1
ó
õ
0
| u1 (y)f21 ( x, y ) +
u2 (y)f22 ( x, y ) dy = v2 (
x ). |
|
Mais ce système se ramène aisément à
l'équation fonctionnelle (3). Car définissons une fonction
F(x, y) par les conditions F( x,y ) =
f11 ( x, y ) quand 0 < x < 1, 0 <
y < 1 F( x,y ) = f12 ( x, y ) -0 < x
< 1, 1 < y < 2 F( x,y ) = f21 ( x, y )
-1 < x < 2, 0 < y < 1
F( x,y ) = f22 ( x, y ) -1
< x < 2, 1 < y < 2
Alors l'équation fonctionnelle /
| u( x ) + | 2
ó
õ
0
|
F( x,y ) u( y ) dy = v( x ) |
|
est évidemment équivalente au système (8), si
quand 0 < x < 1 v( x ) = v2 ( x ) -1 <
x < 2.
Le problème analogue au problème de
Dirichlet pour les systèmes d'équations différentielles se trouve ainsi
résolu dans un cas assez général.
J'ai cherché à étendre ces résultats pour
le cas de trois variables indépendantes mais ces recherches sont moins
faciles car la fonction jouant le rôle de f(x, y)
devient infinie dans le champ d'intégration. Cependant j'espère que les
difficultés ne soient pas insurmontables.
Veuillez recevoir Monsieur l'expression de
mes sentiments distingués.
Ivar Fredholm
Maître de conférences à l'Université de
Stockholm
ALS 10p.
Private collection, Paris; AIP.
Gaudry à Poincaré
Gaudry à Poincaré
11 Mai 1907
7.bis Rue des Saints Pères
Mon cher Confrère,
Plusieurs d'entre nous pensent nécessaire qu'un des deux Secrétaires
perpétuels soit un savant voué à l'étude des sciences physiques. Mais
nous regrettons que cela nous empêche de donner une marque de
sympathie à un confrère aimé qui est une gloire pour notre Académie.
Je vous remercie de votre lettre.
Veuillez, mon cher Confrère, agréer l'assurance de mes sentiments très
affectueux.
Albert Gaudry
ALS 1p. Private collection, Paris.
W. Gibbs à Poincaré
W. Gibbs à Poincaré
Newport R.I. Nov. 5th 1891
M. Henri Poincaré
Dear Sir,
Please accept my grateful acknowledgments for the copy of your
beautiful memoirs which you had the kindness to send me and which was
duly received. With most sincere respect I am yours
Wolcott Gibbs
ALS 1p. Private collection, Paris.