Ebert à Poincaré Ebert à Poincaré

Gries bei Bozen, 29.III.92
Hochverehrter Herr Professor!
Verzeihen Sie, wenn ich es unternehme mich persönlich an Sie zu wenden und zwar mich dabei meiner Muttersprache bedienend; ich lese zwar das Französisch vollkommen, wage es aber doch nicht recht mich dieser schönen Sprache im vorliegenden Falle zu bedienen.
Ich möchte ihnen zunächst einmal meinen Dank aussprechen für die Belehrung, Förderung und Anregung, die ich Ihnen schönen Büchern verdanke. Ich habe mit grösstem Interesse gelesen Ihre ,,Théorie mathématique de la Lumière", Ihre ,,Électricité et Optique I et II", und bin jetzt gerade an dem Studium ihrer ,,Thermodynamique". Von derselben habe ich zunächst das letzte Capitel vorgenommen, da ich mich augenblicklich eingehender mit Helmholtz Theorie der cyklischen Bewegungen beschäftige. Sie haben mit grosser Eleganz das Wichtigste dieser Theorie in dem genannten Capitel gebracht, was ich mit grosserer Freude und wachsendem Interesse gelesen habe. An einer Stelle bin ich mir nicht recht klar, ob ich Sie wohl richtig verstehe oder ob sich vielleicht doch ein kleines Versehen eingeschlichen hat. Ich nehme mir die Freiheit mich mit einer diesbezüglichen Frage an Sie zu wenden:
Pag. 400, oben von Zeile 2 an wird gesagt, dass H/ qa( = -L/ qa ) von der Form Aqa¢qa" sei u.s.f. Das ist wohl nicht ganz richtig, weil ja sonst H selbst und damit L vom 3. Grade in den q sein müsste. Die H/ qa = -sa sind homogene lineare Funktionen in den q u. wenn die d qa/ dt sowie die dqb/ dt klein sind, ist: [ d/dt]H/qa gleich 0. Leicht zu berichtigende Druckfehler sind pag. 402 Zeile 8 und 4 von unten qb statt pb; pag. 403 Zeile 9 von unten dH¢/ dqb statt dH¢/dpb; pag. 405, Zeile 7, 9, 11, 14 von oben P statt p; pag. 412, Zeile 7-8 von oben fehlt der Faktor 1/2, ebenso pag. 413 Zeile 13 bei dem Glieder tp2; ich erlaube mir nur Ihre Aufmerksamkeit auf dieselben zu lenken um Ihnen zu zeigen, wie sorgfältig ich Ihre schönen Darstellungen durchstudiere, und weil vielleicht diese Kleinigkeiten bei einer Neuauflage Berichtigungen erfahren könnten; denn es ist schade wenn eine elegante und glatte Entwickelung durch solche Steine des Anstosses unterbrochen wird.
Mehr Schwierigkeiten hat mir eine Stelle pag. 413 oben gemacht, wo
B ó
õ
qdq = Bd n2 h2

2
gesetzt wird. Da integriert wird zwischen zwei Zeitpunkten, für welche beide q = nh wird, so hat das bestimmte Integral von [ 1/2]q2 den Wert 0, das zweite Glied auf der rechten Seite der Gleichungen pag. 414 ist also doch wohl immer gleich 0 u. steht nur zum Scheine hier; in der That ist es ja auch ganz überflüssig und Q/L = d[lognat B3/A].
Pag. 417 Zeile 8-9 von oben muss die zweite Gleichung wohl lauten:
qb d H¢

qb
= -dQb.
Sehr grosse Scrupel hat mir Ihr Nachweis in § 328-330 pag. 418 flgde gemacht, dass die Helmholtzsche Theorie nicht im Stande sein soll die irreversibelen Prozesse zu erklären; wenn Sie mich darüber aufklären wollten, worin ich hierbei im Unklaren bin, würde ich Ihnen zum allergrössten Danke verpflichtet sein, denn der Eindruck, den Ihr Einwurf beim ersten Ueberlesen auf mich machte, war ein geradezu niederschmetternder. Bei näherer Betrachtung indessen will es mir scheinen, als ob Ihre Einwurf gar nicht die Helmholtzsche Theorie als solche trifft. Verstehe ich die genannten §§ recht, so ist der Gedankengang folgender: Angenommen der Clausius'sche Satz von der Vermehrung der Entropie eines sich selbst überlassenen Systems sei richtig (pag. 419, Zeile 4 flgnde), was folgt daraus ? Sie zeigen in höchst eleganter Weise, dass man zu Widersprüchen mit den Grundgleichungen der Mechanik gelangt. Bei diesem Nachweise treten aber nirgends Ausdrücke ein, welche der Helmholtz'schen Theorie speciell eigentümlich wären; Sie benutzen nur Gleichungen die der allgemeinen Mechanik angehören und solche die unmittelbar ohne jede weitere Annahme aus diesen folgen. Mir scheint es, dass nur bewiesen ist, dass der bezeichnete Satz sich nicht mit den Principien der allgemeinen Mechanik verträgt; die Helmholtz'sche Theorie beginnt doch erst dort, wo über das Wesen der Parameter bestimmte Vorstellungen eingeführt werden. Die genannte Ableitung scheint mir also nicht zu den Bemerkungen pag. 392, § 309 Ende u. § 330 vorletzter Abschnitt gegen die Helmholtz'sche Theorie zu berechtigen. Ich glaubte nur schliessen zu dürfen entweder der Clausius'sche Satz ist nicht richtig oder in der genannte Ableitung ist nicht alles in Ordnung. In dieser Beziehung hat sich mir nun folgendes Bedenken aufgedrängt: In dem jeder äusseren Einwirkung dauernd entzogenen System ist dU gleich 0, denn dU = - åPa dpa + ådQb (pag. 405); sind die hier eingeführten unabhängigen Variabelen p u. q wirklich von einander unabhängig, so heisst das U/ s und U/ p = 0. Der Ausdruck, auf den Sie Ihr Kriterium stützen,
å
æ
è
S

p
U

s
- S

s
U

p
ö
ø
,
aus dessen Nullwerden für andere Werte der unabhängigen Variabelen als p = 0, s = 0 auf das Vorhanden sein von negativen Gliedern in der quadratischen Form å( ) geschlossen wird, ist also eo ipso dauernd gleich 0 u. ein Schluss von der Art wie Sie ihn hier ziehen, will mir nicht ganz sicher erscheinen.
Ich irre mich vielleicht und habe Sie wahrscheinlich nicht recht verstanden, aber es wäre mir im höchsten Grade erwünscht, wenn Sie die Liebenswürdigkeit haben wollten, mich über diesen so sehr wichtigen Punkt aufzuklären.
Ich hoffe in dieser Beziehung keine Fehlbitte zu tun, da ich mich schon lang zu Ihren entfernteren Schülern zähle.
Seien Sie meiner vorzüglichsten Hochachtung versichert und genehmigen Sie den aufrichtigsten Dank von
Ihrem ergebensten
H. Ebert
Erlangen, Bayern Universität


ALS 11p. Private collection, Paris; AIP1.

Références

[Ebert 1912]
Ebert, H. Lehrbuch der Physik, Bd. 1: Mechanik, Wärmelehre. Leipzig: Teubner, 1912.
[Poincaré 1889]
Poincaré, H. Leçons sur la théorie mathématique de la lumière, 2 vols. Paris: G. Carré, 1889.
[Poincaré 1890]
-. Électricité et optique, 2 vols. Paris: Georges Carré, 1890.
[Poincaré 1908]
-. Thermodynamique. 2d edition. Paris: Gauthier-Villars, 1908.

Evellin à Poincaré Evellin à Poincaré

Samedi midi, 16 avril 1881
Bien cher et honoré Monsieur,
Ne sachant où vous adresser ma carte à Paris, je vous envoie à Caën mes plus sympathiques, mes plus cordiales félicitations.
C'est à peine si j'ai l'honneur de vous connaître et je devine votre parfaite bonté; aussi tous mes meilleurs souhaits sont pour vous.
Merci de vos bonnes et vraies sympathies. Mon Dieu, qu'un tel deuil est cruel mais j'ai du courage.
Je resterai à Nantes pour consoler ma pauvre vieille mère et assister au service de notre cher défunt.
A bientôt, je pense au moins qu'après quelques semaines de bonheur pour vous de justesse pour moi, nous pourrons reprendre nos spéculations.
A vous, de coeur
Evellin
Compliments bien sympathiques à M. votre beaufrère dont je ne voudrais pas lui devant vous tout le bien que je pense.


ALS 1p. Private collection, Paris.

Faye à Poincaré Faye à Poincaré

Paris 27 octobre 1900
Cher et illustre Confrère,
J'ai été frappé d'entendre raconter par un des invités de la Grande Chancellerie, l'éloge que vous avez bien voulu faire d'un de mes travaux à l'occasion de l'Arc du Pérou. J'ai bien regretté de ne pouvoir assister moi-même à cette Séance Publique empêché que j'étais par le désir d'aller le soir même à la réunion du Grand Chancelier et l'impossibilité de m'absenter deux fois dans la même journée.
J'ai reçu depuis, d'autres personnes dont l'opinion a pour moi beaucoup de valeur, l'assurance des bons sentiments que vous avez bien voulu exprimer pour moi en public en cette occasion.
Agréez donc mon cher Collègue mes biens vifs remerciements avec tous mes sentiments dévoués.
H. Faye


ALS 2p. Private collection, Paris; AIP.

Fouché à Poincaré Fouché à Poincaré

Paris, le 23 février 1887
Mon cher camarade,
J'apprends, un peu tardivement ta nomination à l'Académie des Sciences. Permets moi pourtant de t'en féliciter bien sincèrement. C'est un honneur qui t'était très dû et qui ne m'a pas étonné ; mais il me semble qu'il en rejaillit quelque chose sur l'École Polytechnique et sur notre promotion, et je suis heureux de me rappeler les deux années que j'ai passées avec toi, dans l'intimité de l'École, à une époque où, tout en appréciant ta supériorité, nous ne songions encore ni à l'Institut, ni aux distinctions de même genre.
Ton camarade dévoué
M. Fouché


ALS 2p. Private collection, Paris.

Fredholm à Poincaré Fredholm à Poincaré

Stockholm 21 Décembre 1899
À Monsieur H. Poincaré
Membre de l'Institut
Monsieur !
Ma note sur les équations différentielles à coefficients constants que vous avez fait imprimer dans les "Comptes Rendus" me montre que vous avez trouvé que ma communication n'était pas sans intérêt.
Peut-être il en sera de même des résultats que je me permets d'exposer dans ce qui suit.
Il s'agit de démontrer l'existence des solutions d'un problème analogue à celui de Dirichlet, mais un peu plus général. Pour fixer les idées, je prends un système d'équations différentielles de la forme/
(1)
D11 u + D12 v = 0 D21u + D22 v = 0

Dlm u = Alm 2 u

2 x
+ 2Blm 2 u

xy
+ Clm 2 u

2 y
Pour bien mettre en évidence l'esprit de la méthode, je rappelle la méthode de Neumann pour le problème de Dirichlet dans le plan. Appelons s la longueur de l'arc de la courbe donnée, il s'agit de déterminer la densité d'une couche double de sorte que l'intégrale
1

p
ó
õ
m( s ) cos( r,x )

r
ds æ
è
r =
Ö

( x- x )2 + ( h- y )2
ö
ø
tende vers une unité donnée de valeurs quand le point x, y approche à un point du contour. Cette valeur limite s'écrit
(2)
m( s ) + 1

p

ó
õ
s
m( s ) cos( r,x )

r
ds
Le point x, y se trouve sur le contour. Appelons t la longueur de l'arc du point s = 0 jusqu'au point x, y. Nous avons /
cos( r,x )

r
= j( s ),
jest une fonction ayant une valeur finie, si la courbe a une courbure finie, ce que je suppose.
Par ces préliminaires, vous voyez comment on est amené à étudier des équations fonctionnelles de la forme
(3)
u( x ) + l ó
õ
1

0
u( y )f( x,y )dy = v( x )
où f( x,y ) est une fonction finie pour les valeurs autre [que] zéro et un, et l est un paramètre. v(x) est une fonction donnée et nous cherchons la valeur de u(x).
Par rapport à l'équation fonctionnelle (3) je suis arrivé au résultat suivant qui me semble d'une grande utilité.
La fonction u(x) qui donne la solution de l'équation (3) est, considérée comme fonction de l égale au quotient de deux fonctions entières
u( x ) = D1 (l)

D(l)
Il est facile de donner les expressions du / numérateur et du dénominateur de cette fonction.
Introduisons la notation.
f æ
ç
è
x1
...
xn
y1
...
yn
ö
÷
ø
= ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
f( x1 ,y1 )
f( x1 ,y2 )
...
f( x1 ,yn )
f( x2 ,y1 )
f( x2 ,y2 )
...
f( x2 ,yn )
...
...
...
...
f( xn ,y1 )
...
...
f( xn ,yn )
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
on a
(4)
D( l) = 1 + l ó
õ
1

0
f( x,x )dx + l2

2!
1
ó
õ
0
1
ó
õ
0
f æ
ç
è
x1
x2
x1
x2
ö
÷
ø
dx1 dx2 + + l3

3!
1
ó
õ
0
1
ó
õ
0
1
ó
õ
0
f æ
ç
è
x1
x2
x3
x1
x2
x3
ö
÷
ø
dx1 dx2 dx3 + ...
et
(5)
D1 ( l) = v( x )D( l) - ¥
å
n = 0
ln + 1

n!
1
ó
õ
0
... 1
ó
õ
0
f æ
ç
è
x
x1
...
xn
y
x1
...
xn
ö
÷
ø
v( y )dydx1 dx2 ...dxn
En introduisant ces expressions dans l'équation (3) on démontre qu'elles y satisfont formellement. La convergence des séries D( l) et D1 ( l) pour des valeurs quelconques de l est une conséquence im[m]édiate du théorème suivant sur les déterminants.
«La valeur absolue d'un déterminant
a11
a12
...
a1n
...
...
...
...
an1
an2
...
ann
,
dont les éléments sont réels / est au plus égale à
n
Õ
n = 1

Ö

an12 + ...an22
.
»
En appelant f0 la plus grande valeur absolue de f( x,y ), on a évidemment
ê
ê
ê
ê
ê
f æ
ç
ç
ç
è
x1
...
xn
y1
...
yn
ö
÷
÷
÷
ø
ê
ê
ê
ê
ê
< =
Ö

nn
f0n.
Il s'en suit que les séries (4) et (5) sont convergentes, car n! croît comme nn.
Cela suffit pour assurer l'existence d'une fonction u(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle (3) "en général".
Pour en être sûr pour une valeur de l donnée, soit l0 , il faut savoir un peu de plus par rapport à la fonction f(x, y), car il peut arriver que D(l) s'annule pour l = l0 et que D(l) contient une puissance plus élevée de l- l0 que ne le fait D1(l). Mais dans ce cas on peut trouver une solution de l'équation fonctionnelle
(6)
u( x ) + l0 ó
õ
u( y )f( x,y )dy = 0
qui n'est pas égale à zéro identiquement. / Mais si on sait de quelque manière que l'équation fonctionnelle (6) n'admet pas de solution, on peut être sûr de ce que D( l) ne peut pas contenir l- l0 en une puissance plus élevée que D1 ( l) .
En effet, on sait que le potentiel d'une double couche portée par une courbe fermée C ne peut pas être nulle à l'intérieur de C, à moins que la densité u(y) ne soit nulle. Par conséquent, dans le cas du problème de Dirichlet on peut être sûr de ce que l'équation fonctionnelle a une solution et cette solution s'exprime par la formule u = [(D1 )/D].
Passons maintenant au problème d'abord énoncé. Pour le traiter j'introduis une sorte d'intégrale
(7)
ì
í
î
u =
ó
õ
c
-
u
dW11 -
-
v
dW12 v =
ó
õ
c
-
u
dW21 -
-
v
dW22
où les [`u], [`v] sont des fonctions données des paramètres qui fixent la position d'un / point sur la courbe d'intégration.
Les dWlm sont les différentielles exactes par rapport aux variables x,h des fonctions
Wlm = n
å
n = 1
Wlm( n) log( x- x + an ( h- y ) )
où les an sont les racines de l'équation
ê
ê
ê
A11 + 2B11 a+ C11 a2
A12 + 2B12 a+ C12 a2
A21 + 2B21 a+ C21 a2
A22 + 2B22 a+ C22 a2
ê
ê
ê
= 0.
Je suppose que ces racines soient complexes. De plus je suppose que A12 = A21 . Dans ce cas on peut d'une infinité de manières former des expressions linéaires tlm des dérivées premières des fonctions u, v de sorte qu'on ait identiquement
D11 u + D12 v = t11

x
+ t12

y

D21 u + D22 v = t21

x
+ t22

y
.
Parmi ces divers]e[s systèmes d'expressions tlm il existe un, et en général un seul, qui jouit de la propriété que les expressions
T1 = t11 cos( x, x ) + t12 cos( x, y ) T2 = t21 cos( x, x ) + t22 cos( x, y )
soit continues dans tout le plan si / u et v sont les fonctions définies par la formule (7).
Ce résultat nous permet de démontrer que les fonctions u, v ne peuvent pas être égale à zéro à l'intérieur de C à moins qu'on ait [`u] = [`v] = 0.
En effet supposons u = v = 0 à l'intérieur de C. Alors T1 , T2 sont aussi nuls à l'intérieur de C et parce qu'ils sont continues leurs valeurs limites quand le point (x, y) approche d'un point de C en restant extérieur à C sont aussi nulles. Mais alors il est facile à démontrer qu'en employant des méthodes usuelles dans la théorie de l'élasticité, qu'elles sont nulles dans tout le plan. Cela entraîne la conséquence que les fonctions u, v aussi sont nulles et par conséquent on a aussi [`u] et égales [`v] à zéro.
Cela suffit pour nous assurer de la légitimité de l'application de la méthode proposé[e] pour l'équation (3) / au problème qui nous occupe maintenant.
Car si on a choisi les coefficients Alm d'une manière convenable les valeurs limites des fonctions u, v quand le point approche d'un point de C en restant intérieur à C seront
lim
u =
-
u

0
+ ó
õ


C
-
u
dA11 +
-
v
dA12

lim
v =
-
v

0
+ ó
õ


C
-
u
dA21 +
-
v
dA22 .
On a ainsi un système d'équations fonctionnelles de la forme
u1 ( x ) + 1
ó
õ
0
u1 (y)f11 ( x, y ) + u2 (y)f12 ( x, y ) dy = v1 ( x )

u2 ( x ) + 1
ó
õ
0
u1 (y)f21 ( x, y ) + u2 (y)f22 ( x, y ) dy = v2 ( x ).
Mais ce système se ramène aisément à l'équation fonctionnelle (3). Car définissons une fonction F(x, y) par les conditions F( x,y ) = f11 ( x, y ) quand 0 < x < 1, 0 < y < 1 F( x,y ) = f12 ( x, y ) -0 < x < 1, 1 < y < 2 F( x,y ) = f21 ( x, y ) -1 < x < 2, 0 < y < 1
F( x,y ) = f22 ( x, y ) -1 < x < 2, 1 < y < 2
Alors l'équation fonctionnelle /
u( x ) + 2
ó
õ
0
F( x,y ) u( y ) dy = v( x )
est évidemment équivalente au système (8), si
v( x ) = v1 ( x )
quand 0 < x < 1 v( x ) = v2 ( x ) -1 < x < 2.
Le problème analogue au problème de Dirichlet pour les systèmes d'équations différentielles se trouve ainsi résolu dans un cas assez général.
J'ai cherché à étendre ces résultats pour le cas de trois variables indépendantes mais ces recherches sont moins faciles car la fonction jouant le rôle de f(x, y) devient infinie dans le champ d'intégration. Cependant j'espère que les difficultés ne soient pas insurmontables.
Veuillez recevoir Monsieur l'expression de mes sentiments distingués.
Ivar Fredholm
Maître de conférences à l'Université de Stockholm


ALS 10p. Private collection, Paris; AIP.

Gaudry à Poincaré Gaudry à Poincaré

11 Mai 1907
7.bis Rue des Saints Pères
Mon cher Confrère,
Plusieurs d'entre nous pensent nécessaire qu'un des deux Secrétaires perpétuels soit un savant voué à l'étude des sciences physiques. Mais nous regrettons que cela nous empêche de donner une marque de sympathie à un confrère aimé qui est une gloire pour notre Académie. Je vous remercie de votre lettre.
Veuillez, mon cher Confrère, agréer l'assurance de mes sentiments très affectueux.
Albert Gaudry


ALS 1p. Private collection, Paris.

W. Gibbs à Poincaré W. Gibbs à Poincaré

Newport R.I. Nov. 5th 1891
M. Henri Poincaré
Dear Sir,
Please accept my grateful acknowledgments for the copy of your beautiful memoirs which you had the kindness to send me and which was duly received. With most sincere respect I am yours
Wolcott Gibbs


ALS 1p. Private collection, Paris.