10989LIBER PRIMVS.
nationem muri à Verticali propriè dicto, &
à meridie in ortum, vel occaſum, prout vmbra nobis ad mu-
rum conuerſis ad dextram, vel ad ſiniſtram ceciderit, vt proxime dictum eſt. Quod intelligendum eſt
de muro ad meridiem vergente. Nam murus ad Boream ſpectans in meridie non illuminatur à Sole, niſi
Sol borealior ipſo muro fuerit, quod in Zona torrida contingere poteſt. Quod cum acciderit, & vmbra
nobis ad murum conuerſis ceciderit ad ſiniſtram, declinabit murus à Septentrione in ortum, ſi verò ad
dextram, à Septentrione in occaſum.
rum conuerſis ad dextram, vel ad ſiniſtram ceciderit, vt proxime dictum eſt. Quod intelligendum eſt
de muro ad meridiem vergente. Nam murus ad Boream ſpectans in meridie non illuminatur à Sole, niſi
Sol borealior ipſo muro fuerit, quod in Zona torrida contingere poteſt. Quod cum acciderit, & vmbra
nobis ad murum conuerſis ceciderit ad ſiniſtram, declinabit murus à Septentrione in ortum, ſi verò ad
dextram, à Septentrione in occaſum.
HAEC omnia accommodari poſſunt etiam planis inclinatis ad Horizontem, ſi ſupra lineam, quæ
11Declinatio pla-
norum, quæ ad
Horizontẽ ſunt
inclinata, qua
tatione repert@a-
tur. in eiuſinodi planis Horizonti ducitur parallela, ſtatuatur planum rectum ad Horizontem, obſeruatio{q́ue}
fiat in facie huius plani, quæ cum plano inclinato angulum obtuſum constituit.
11Declinatio pla-
norum, quæ ad
Horizontẽ ſunt
inclinata, qua
tatione repert@a-
tur. in eiuſinodi planis Horizonti ducitur parallela, ſtatuatur planum rectum ad Horizontem, obſeruatio{q́ue}
fiat in facie huius plani, quæ cum plano inclinato angulum obtuſum constituit.
THEOREMA 21. PROPOSITIO 24.
SI à circunferentia circuli maximi in ſphęra ſuper alium circulum
22Perpendicula-
res cadentes à
circunferentia
maximi circuli
in ſphæra in pla
num alterius
circuli maximi,
ad quem ille in
clinatus eſt, fa-
ciunt in poſte-
riori circulo ma
ximo Ellipſina. maximum inclinati perpendiculares ad eiuſdem circuli maximi planũ
ducantur, cadent omnes in lineam, quæ Ellipſis appellatur; cuius qui-
dem diameter maior eadem eſt, quæ communis ſectio ipſorum circulo-
rum, nempe eorum diameter, minor verò determinatur interuallo per-
3320 pendicularium cadentium ab extremitate alterius diametri circuli incli
nati, quæ priorem diametrum, hoc eſt, communem ſectionem, ad re-
ctos angulos diuidit.
22Perpendicula-
res cadentes à
circunferentia
maximi circuli
in ſphæra in pla
num alterius
circuli maximi,
ad quem ille in
clinatus eſt, fa-
ciunt in poſte-
riori circulo ma
ximo Ellipſina. maximum inclinati perpendiculares ad eiuſdem circuli maximi planũ
ducantur, cadent omnes in lineam, quæ Ellipſis appellatur; cuius qui-
dem diameter maior eadem eſt, quæ communis ſectio ipſorum circulo-
rum, nempe eorum diameter, minor verò determinatur interuallo per-
3320 pendicularium cadentium ab extremitate alterius diametri circuli incli
nati, quæ priorem diametrum, hoc eſt, communem ſectionem, ad re-
ctos angulos diuidit.
SIT in ſphæra circulus maximus A B C D, cuius centrum E, ad circulum maximum AFCG,
inclinatus, & circulus A F C G, ſecet circulum A B C D, in centro E, vt ſit diameter A C, commu
nis ſectio circulorum A B C D, A F C G, ducaturq́;
71[Figure 71]
in circulo A B C D, alia diameter B D, ſecans A C,
ad rectos angulos: ducatur quoque in plano circu-
li A F C G, alia diameter F G, ad eandem A G, per-
4430 pendicularis. Quoniam igitur recta C E, rectis
B E, F E, ſeſe in E, ſecantibus inſiſtit ad rectos an-
gulos, erit eadem C E, ad planum per B E, F E, du-
554. vndec. ctum ad angulos rectos. Igitur & plana circulo-
rum A F C G, A B C D, per C E, tranſeuntia ad idẽ
6618. vndec. planum per B E, F E, ductum erunt recta, eritq́ue
F G, communis ſectio plani per B E, F E, ducti, &
plani circuli A F C G, quod ad illud rectum eſt
oſtenſum; atque adeò ſi ex puncto B, quod in pla-
no per B E, F E, ducto exiſtit, linea perpendicularis ducatur ad planum A F C G, nempe B H,
7740 ipſa in F E, communem ſectionem plani per B E, F E, ducti, & plani A F C G, cadet. Cadat ergo
8838. vndec. in H. Eodem modo perpendicularis ex D, ad idem planum A F C G, ducta in rectam F G, cadet,
vt in I: eruntq́; rectæ E H, E I, inter ſe æquales. Cum enim in triangulis E B H, E D I, anguli ad
H, I, recti ſint, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. & anguli ad verticẽ E, ęquales, Item & latera E B, E D, ęqua-
9915. primi. lia, erunt quoque latcra E H, E I, ęqualia. Sumpto autem quouis alio puncto K, in circunferentia
101026. primi. circuli A B C D, ab eodem ad idem planum A F C G, perpendicularis demittatur K L. Dico pun
ctum L, cadere in Ellipſim, cuius quidem diameter maior eſt A C, circulorum diameter, & mi-
nor recta H I. Ducta enim in plano A F C G, ex L, ad A C, perpendiculari L M, cum & H E, ad
eandẽ A C, ſit perpendicularis, erunt H E, L M, inter ſe parallelæ: Sed & B H, K L, ſunt inter ſe
111128. primi. parallelę, quòd ad idem planũ A F C G, ſint perpendiculares. Ergo planũ per B H, H E, ductum
12125013136. vndec. plano per k L, L M, ducto parallelũ erit: & propterea ipſorũ planorũ, & circuli A B C D, cõmu-
141415. vndec. nes ſectiones, nempe rectæ B E, k M, parallelæ erunt. Itaq; quoniã B E, E H, ſeſe in E, tangentes, re-
151516. vndec. ctis k M, M L, in M, ſeſe tangentibus ſunt parallelæ, non ſunt autem in eodem plano, ſed in planis
parallelis, vt dictũ eſt, erit angulus B E H, angulo K M L, æqualis: Sunt autem & H, L, æquales, vt-
161610. vndec. potè recti, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. Ergo & reliquus E B H, reliquo M k L, ęqualis erit, ex coroll. 1.
propoſ. 32. lib. 1. Eucl. & triangulũ B E H, triangulo k M L, æquiangulũ. Quare erit vt B E, ad EH,
17174. ſexti. ita K M, ad M L, permutandoq́; , vt B E, ad K M, ita E H, ad M L. Igitur vt quadratum ex B E,
ad quadratum ex k M, ita quadratum ex E H, ad quadratũ ex M L: Vt autẽ quadratũ ex B E, ad qua-
181822. ſexti. dratum ex K M, ita eſt, ex propoſ. 21. lib. 1. Apollonij, rectangulum ſub C E, E A, ad rectangulũ
ſub C M, M A, propterea quòd B E, k M, in circulo A B C D, ad diametrum A C, ſint ductæ or-
dinatim, nempe perpendiculares. Eſt igitur quoque, vt quadratum ex E H, ad quadratum
inclinatus, & circulus A F C G, ſecet circulum A B C D, in centro E, vt ſit diameter A C, commu
nis ſectio circulorum A B C D, A F C G, ducaturq́;
ad rectos angulos: ducatur quoque in plano circu-
li A F C G, alia diameter F G, ad eandem A G, per-
4430 pendicularis. Quoniam igitur recta C E, rectis
B E, F E, ſeſe in E, ſecantibus inſiſtit ad rectos an-
gulos, erit eadem C E, ad planum per B E, F E, du-
554. vndec. ctum ad angulos rectos. Igitur & plana circulo-
rum A F C G, A B C D, per C E, tranſeuntia ad idẽ
6618. vndec. planum per B E, F E, ductum erunt recta, eritq́ue
F G, communis ſectio plani per B E, F E, ducti, &
plani circuli A F C G, quod ad illud rectum eſt
oſtenſum; atque adeò ſi ex puncto B, quod in pla-
no per B E, F E, ducto exiſtit, linea perpendicularis ducatur ad planum A F C G, nempe B H,
7740 ipſa in F E, communem ſectionem plani per B E, F E, ducti, & plani A F C G, cadet. Cadat ergo
8838. vndec. in H. Eodem modo perpendicularis ex D, ad idem planum A F C G, ducta in rectam F G, cadet,
vt in I: eruntq́; rectæ E H, E I, inter ſe æquales. Cum enim in triangulis E B H, E D I, anguli ad
H, I, recti ſint, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. & anguli ad verticẽ E, ęquales, Item & latera E B, E D, ęqua-
9915. primi. lia, erunt quoque latcra E H, E I, ęqualia. Sumpto autem quouis alio puncto K, in circunferentia
101026. primi. circuli A B C D, ab eodem ad idem planum A F C G, perpendicularis demittatur K L. Dico pun
ctum L, cadere in Ellipſim, cuius quidem diameter maior eſt A C, circulorum diameter, & mi-
nor recta H I. Ducta enim in plano A F C G, ex L, ad A C, perpendiculari L M, cum & H E, ad
eandẽ A C, ſit perpendicularis, erunt H E, L M, inter ſe parallelæ: Sed & B H, K L, ſunt inter ſe
111128. primi. parallelę, quòd ad idem planũ A F C G, ſint perpendiculares. Ergo planũ per B H, H E, ductum
12125013136. vndec. plano per k L, L M, ducto parallelũ erit: & propterea ipſorũ planorũ, & circuli A B C D, cõmu-
141415. vndec. nes ſectiones, nempe rectæ B E, k M, parallelæ erunt. Itaq; quoniã B E, E H, ſeſe in E, tangentes, re-
151516. vndec. ctis k M, M L, in M, ſeſe tangentibus ſunt parallelæ, non ſunt autem in eodem plano, ſed in planis
parallelis, vt dictũ eſt, erit angulus B E H, angulo K M L, æqualis: Sunt autem & H, L, æquales, vt-
161610. vndec. potè recti, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. Ergo & reliquus E B H, reliquo M k L, ęqualis erit, ex coroll. 1.
propoſ. 32. lib. 1. Eucl. & triangulũ B E H, triangulo k M L, æquiangulũ. Quare erit vt B E, ad EH,
17174. ſexti. ita K M, ad M L, permutandoq́; , vt B E, ad K M, ita E H, ad M L. Igitur vt quadratum ex B E,
ad quadratum ex k M, ita quadratum ex E H, ad quadratũ ex M L: Vt autẽ quadratũ ex B E, ad qua-
181822. ſexti. dratum ex K M, ita eſt, ex propoſ. 21. lib. 1. Apollonij, rectangulum ſub C E, E A, ad rectangulũ
ſub C M, M A, propterea quòd B E, k M, in circulo A B C D, ad diametrum A C, ſint ductæ or-
dinatim, nempe perpendiculares. Eſt igitur quoque, vt quadratum ex E H, ad quadratum