11292GNOMONICES
lis ponitur arcui E L;
crit quoque G O, ipſi k T, æqualis.
Cum ergo G O, K T, ſint etiam paral-
1128. primi. lelæ, propterea quòd anguli O G T, k T G, recti ſint, ex conſtructione; erunt & G T, O K, æqua-
2233. primi. les, & parallelæ. Quare cum angulus A G O, rectus ſit, erit & angulus G O k, rectus. Quoniam igi
3329. primi.
75[Figure 75]
tur recta G O, ad rectas O L, O k, perpendicula-
ris eſt, erit eadem G O, ad planum per O L, O k, du-
444. vndec.
76[Figure 76]
ctum perpendicularis:
ac propterea &
planum cir-
culi D E B F, per G O, ductum, ad idem planum
5538. vndec. per O L, O K, ductum erit rectum. Quare perpen-
dicularis ex k, in planum D E B F, demiſſa cidet
in rectam L N, communem ſectionem plani DE-
6638. vndec.7710 B F, & eius, quod per O L, O k, ducitur. Quòd au-
tem in Q, cadat, ita demonſtrabitur. Cadat, ſi he-
ri poteſt, in aliud punctum, vt in R. Quoniam igi
tur L S, M P, parallelæ ſunt, erit vt L M, ad M G,
88@. ſe@t@. ita S P, ad P G; & componendo, vt L G, ad M G, ita
S G, ad P G: Sed L G, M G, ipſis E G, H G, æqua-
les ſunt, per definitionem circuli; & S G, P G, ipſis
9934. primi. L O, Q O, æquales, ob rectangula S O, P O. Ergo
erit quoque, vt E G, ad H G, ita L O, ad Q O; &
permutando, vt E G, ad L O, ita H G, ad Q O; atq;
101020 adeò vt quadratum ex E G, ad quadratum ex L O, ita quadratum ex H G, ad quadratum ex Q O:
1111@@. ſex@@. Sed eſt, ex propoſ. 21. lib. 1. Apollonij, vt quadratum ex E G, ad quadratum ex L O, ita rectangu-
gulum ſub B G, GD, ad rectangulum ſub B O, O D, quòd E G, L O, ſint ordinatim ductæ ad B D,
diametrum circuli D E B F, nempe perpendiculares. Erit ergo quoque vt rectangulum ſub B G,
G D, ad rectangulum ſub B O, O D, ita quadratum ex H G, ad quadratum ex Q O. Et quoniam, cũ
Ellipſis diametrorum D B, HI, ponatur tranſire per R, (eò quod in R, dicatur cadere perpendicu
laris ex K, demiſſa,) eſt quoque, per eandem propoſitionem 21. lib. 1. Apollonii, vt rectangulum
ſub B G, G D, ad rectangulum ſub B O, O D, ita quadratum ex H G, ad quadratum ex R O, quòd
H G, R O, ſint ordinatim applicatę ad diametrum BD. Erit igitur vt quadratum ex H G, ad qua-
dratum ex Q O, ita idem quadratum ex H G, ad quadratum ex R O. Quare quadrata ex Q O,
12129. quar@@.131330 R O, ęqualia ſunt, ac propterea & lineę Q O, R O, ęquales, totum & pars. Quod eſt abſurdum.
Perpendicularis ergo à k, demiſſa non cadit in aliud punctum, quàm in Q. Eodem modo ſum-
ptis alijs punctis in circunferentia circuli A B C D, inueniemus, quo loco perpendicutares ab ip-
ſis ductę in planum circuli D E B F, cadant. Quapropter in circunferentia circuli maximi in ſphę
ra ad alium circulum, & c. Quod faciendum erat.
1128. primi. lelæ, propterea quòd anguli O G T, k T G, recti ſint, ex conſtructione; erunt & G T, O K, æqua-
2233. primi. les, & parallelæ. Quare cum angulus A G O, rectus ſit, erit & angulus G O k, rectus. Quoniam igi
3329. primi.
ris eſt, erit eadem G O, ad planum per O L, O k, du-
444. vndec.
culi D E B F, per G O, ductum, ad idem planum
5538. vndec. per O L, O K, ductum erit rectum. Quare perpen-
dicularis ex k, in planum D E B F, demiſſa cidet
in rectam L N, communem ſectionem plani DE-
6638. vndec.7710 B F, & eius, quod per O L, O k, ducitur. Quòd au-
tem in Q, cadat, ita demonſtrabitur. Cadat, ſi he-
ri poteſt, in aliud punctum, vt in R. Quoniam igi
tur L S, M P, parallelæ ſunt, erit vt L M, ad M G,
88@. ſe@t@. ita S P, ad P G; & componendo, vt L G, ad M G, ita
S G, ad P G: Sed L G, M G, ipſis E G, H G, æqua-
les ſunt, per definitionem circuli; & S G, P G, ipſis
9934. primi. L O, Q O, æquales, ob rectangula S O, P O. Ergo
erit quoque, vt E G, ad H G, ita L O, ad Q O; &
permutando, vt E G, ad L O, ita H G, ad Q O; atq;
101020 adeò vt quadratum ex E G, ad quadratum ex L O, ita quadratum ex H G, ad quadratum ex Q O:
1111@@. ſex@@. Sed eſt, ex propoſ. 21. lib. 1. Apollonij, vt quadratum ex E G, ad quadratum ex L O, ita rectangu-
gulum ſub B G, GD, ad rectangulum ſub B O, O D, quòd E G, L O, ſint ordinatim ductæ ad B D,
diametrum circuli D E B F, nempe perpendiculares. Erit ergo quoque vt rectangulum ſub B G,
G D, ad rectangulum ſub B O, O D, ita quadratum ex H G, ad quadratum ex Q O. Et quoniam, cũ
Ellipſis diametrorum D B, HI, ponatur tranſire per R, (eò quod in R, dicatur cadere perpendicu
laris ex K, demiſſa,) eſt quoque, per eandem propoſitionem 21. lib. 1. Apollonii, vt rectangulum
ſub B G, G D, ad rectangulum ſub B O, O D, ita quadratum ex H G, ad quadratum ex R O, quòd
H G, R O, ſint ordinatim applicatę ad diametrum BD. Erit igitur vt quadratum ex H G, ad qua-
dratum ex Q O, ita idem quadratum ex H G, ad quadratum ex R O. Quare quadrata ex Q O,
12129. quar@@.131330 R O, ęqualia ſunt, ac propterea & lineę Q O, R O, ęquales, totum & pars. Quod eſt abſurdum.
Perpendicularis ergo à k, demiſſa non cadit in aliud punctum, quàm in Q. Eodem modo ſum-
ptis alijs punctis in circunferentia circuli A B C D, inueniemus, quo loco perpendicutares ab ip-
ſis ductę in planum circuli D E B F, cadant. Quapropter in circunferentia circuli maximi in ſphę
ra ad alium circulum, & c. Quod faciendum erat.
COROLLARIVM.
EX his manifeſtè patet modus deſcribendæ Ellipſis, cuius diametri datæ ſint.
Si enim duę diametri
D B, H I, ita aptentur, vt ſeſe bifariam in G, & ad angulos rectos ſecent; & ex centro G, & interuallis
1414Quo mode de-
ſcribenda fit El
lipſis, cuius dia-
@@etri datæ ſint@
77[Figure 77]
G D, G H, circuli deſcribantur:
producta autem H I,
151540 vtrinque, ſumantur arcus ęquales E L, L A, A B, B C,
quotcunque, & his æquales F N, N k, k P, P R; idemq́
@@at in altero ſemicirculo E B F; iunganturq́ue puncta
L, A, B, & c. cum centro G, rectis ſecantibus circulum
H M I, in partes, quæ ſimiles erunt partibus E L, L A,
& c. exijs, quę in commentarijs in ſphæram ad finem
capitis 1. ſcripſimus. Deinde bina quælibet puncta cir
culi maioris à D, vel B, hinc inde remota æqualiter
connectantur lineis rectis; itemq́; bina quælibet pun-
cta circuli minoris ab H, vel I, hinc inde ęqualiter quo-
que remota alijs lineis rectis; ac poſtremo puncta, vbi
coierint quęque duæ lineæ, quę per diuiſiones ſibi re-
161650 ſpondentes tranſeunt, notentur, cadẽt ea omnia in El-
lipſim, cuius diametri D B, H I, vt demonſtratum eſt.
Nam in ſuperiori figura oſtendimus punctum Q, vbi
coeuntrectæ L N, P M, quarum illa minori diametro
H I, hæc verò maiori D B, parallela eſt, cadere in El-
lipſim, quæ quidem parallelæ ducuntur per puncta L,
M, interſe reſpondentia, hoc eſt, auferentia arcus ſimiles E L, H M. Cum ergo hic idem fiat, propterea
quòd lineę omnes puncta correſpondentia connectentes parallelæ ſunt diametris H I, D B, ex ijs, quę in
ſcholio propoſ. 27. lib. 3. Euclidis demonſtrauimus, perſpicuum eſt, omnia illa puncta in Ellipſim cadere.
Idẽ fiet, etiã ſi arcus E L, L A, & c. nõ fint æquales, dummodo per puncta reſpondentia L, M, & c. ducant@r
parallelæ diametris Ellipſis, & c. Quare ſi lineam appoſitè, congruenterq́; eiu@modi puncta coniungentem
duxerimus, Ellipſis deſcripta erit. Quod erat faciendum.
D B, H I, ita aptentur, vt ſeſe bifariam in G, & ad angulos rectos ſecent; & ex centro G, & interuallis
1414Quo mode de-
ſcribenda fit El
lipſis, cuius dia-
@@etri datæ ſint@
151540 vtrinque, ſumantur arcus ęquales E L, L A, A B, B C,
quotcunque, & his æquales F N, N k, k P, P R; idemq́
@@at in altero ſemicirculo E B F; iunganturq́ue puncta
L, A, B, & c. cum centro G, rectis ſecantibus circulum
H M I, in partes, quæ ſimiles erunt partibus E L, L A,
& c. exijs, quę in commentarijs in ſphæram ad finem
capitis 1. ſcripſimus. Deinde bina quælibet puncta cir
culi maioris à D, vel B, hinc inde remota æqualiter
connectantur lineis rectis; itemq́; bina quælibet pun-
cta circuli minoris ab H, vel I, hinc inde ęqualiter quo-
que remota alijs lineis rectis; ac poſtremo puncta, vbi
coierint quęque duæ lineæ, quę per diuiſiones ſibi re-
161650 ſpondentes tranſeunt, notentur, cadẽt ea omnia in El-
lipſim, cuius diametri D B, H I, vt demonſtratum eſt.
Nam in ſuperiori figura oſtendimus punctum Q, vbi
coeuntrectæ L N, P M, quarum illa minori diametro
H I, hæc verò maiori D B, parallela eſt, cadere in El-
lipſim, quæ quidem parallelæ ducuntur per puncta L,
M, interſe reſpondentia, hoc eſt, auferentia arcus ſimiles E L, H M. Cum ergo hic idem fiat, propterea
quòd lineę omnes puncta correſpondentia connectentes parallelæ ſunt diametris H I, D B, ex ijs, quę in
ſcholio propoſ. 27. lib. 3. Euclidis demonſtrauimus, perſpicuum eſt, omnia illa puncta in Ellipſim cadere.
Idẽ fiet, etiã ſi arcus E L, L A, & c. nõ fint æquales, dummodo per puncta reſpondentia L, M, & c. ducant@r
parallelæ diametris Ellipſis, & c. Quare ſi lineam appoſitè, congruenterq́; eiu@modi puncta coniungentem
duxerimus, Ellipſis deſcripta erit. Quod erat faciendum.