127107LIBER PRIMVS.
lij ſequentis.
Sed tamen præſtat inuenire declinationes parallelorum Borealium.
Nam horũ de-
clinationes æquales ſunt declinationibus reſpondentium parallelorum auſtralium. Vt declinatio
paralleli borealis, cuius arcus diurnus continet horas 14. æqualis eſt declinationi paralleli auſtra-
lis, cuius arcus diurnus horas 10. complectitur, nempe qui cum illo horas 24. conſtituit. Nam ar-
cus nocturnus E D F, paralleli borealis, cuius diameter B D, declinationemq́; habens D M, æqua-
lis eſt, per propoſ. 19. lib. 2. Theodoſii, arcui diurno paralleli auſtralis, qui priori ęqnalis eſt, & op-
poſitus, hoc eſt, qui declinationem habet æqualem. Vnde inuenta declinatione paralleli borealis,
habetur etiam declinatio paralleli auſtralis oppoſiti, & æqualis, cuius arcus diurnus cum arcu
diurno illius complet horas 24.
clinationes æquales ſunt declinationibus reſpondentium parallelorum auſtralium. Vt declinatio
paralleli borealis, cuius arcus diurnus continet horas 14. æqualis eſt declinationi paralleli auſtra-
lis, cuius arcus diurnus horas 10. complectitur, nempe qui cum illo horas 24. conſtituit. Nam ar-
cus nocturnus E D F, paralleli borealis, cuius diameter B D, declinationemq́; habens D M, æqua-
lis eſt, per propoſ. 19. lib. 2. Theodoſii, arcui diurno paralleli auſtralis, qui priori ęqnalis eſt, & op-
poſitus, hoc eſt, qui declinationem habet æqualem. Vnde inuenta declinatione paralleli borealis,
habetur etiam declinatio paralleli auſtralis oppoſiti, & æqualis, cuius arcus diurnus cum arcu
diurno illius complet horas 24.
QVONIAM verò modus proxime deſcriptus requirit accuratam diuiſionẽ circuli ABCD,
1110 in horas, ſemiſſes horarũ, & quadrantes, poterimus ex ſinubus idem conſequi ſine vlla diuiſione
circuli, hac arte. Sit Analemma A B C D, cuius centrum E; Horizon B D; Aequator A C; paralle-
22Declinatio pa-
ralleli, cuius ar-
cus diutnus ſit
notus, qua arte
per ſinus per-
quiratur. lus ſiue boreus, ſiue auſtrinus H I; axis mundi F G, ſecans parallelum in K. Deſcribatur ex K, circa
H I, ſen@icirculus paralleli H M I, cui occurrat axis productus in M. Ducatur quoque ex L, ad H I,
perpendicularis L N, quæ erit communis ſectio paralleli H M I, & Horizontis; (Quoniã enim tam
Horizon, quàm parallelus rectus eſt ad Meridianum, erit quoque cõmunis eorum ſectio ad eun-
3319. vndec. dem perpendicularis in puncto L,
93[Figure 93]
vbi ſe mutuo ſecant, ac proinde &
ad
rectam H I, per defin. 3. lib. 11. Eucl.
Ergo L N, perpendicularis ad H I,
4420 cõmunis ſectio erit Horizontis & pa
ralleli) atque adeo H N, erit arcus ſe-
midiurnus dicti paralleli, qui poni-
tur notus. Tandem iungatur recta
E H. Quoniam igitur in triangulo
E K L, ſi recta E L, ponatur ſinus to-
tus, recta K L, ſinus eſt anguli K E L,
altitudinis poli, & E K, ſinus anguli
E L k, complementi altitudinis poli;
ſi fiat, vt K L, ſinus altitudinis poli,
5530 ad E K, ſinum complementi altitudi-
nis poli, ita K L, quatenus ſinus re-
ctus arcus M N, quo arcus ſemidiur-
nus H N, notus, & quadrans H M,
inter ſe differunt, ad aliud, nota fiet
recta E k, in partibus ſinus totius
K H, reſpectu cuius K L, ſinus rectus
eſt arcus M N. Quia igitur duo qua-
drata rectarum E K, k H, quadrato rectæ E H, æqualia ſunt; ſi ſimul addantur quadratum ſinus to-
6647. primi. tius K H, & quadratum rectæ E K, notæ iam factæ in partibus ſinus totius K H, notum erit qua-
7740 dratum rectæ E H, cuius radix quadrata dabit rectam E H, notam in ijſdem partibus ſinus to-
tius k H. Itaque ſi fiat, vt E H, quatenus nota in partibus ſinus totius K H, ad E K, quatenus
nota eſt in ijſdem partibus, ita E H, quatenus ſinus totus, ad aliud, nota fiet E K, in partibus
ſinus totius E H. Quare & A H, arcus reſpondens ſinui E k, ex tabula ſinuum cognitus
erit, nempe declinatio paralleli, cuius arcus diurnus, ac proinde & ſemidiurnus H N, no-
tus ponitur.
1110 in horas, ſemiſſes horarũ, & quadrantes, poterimus ex ſinubus idem conſequi ſine vlla diuiſione
circuli, hac arte. Sit Analemma A B C D, cuius centrum E; Horizon B D; Aequator A C; paralle-
22Declinatio pa-
ralleli, cuius ar-
cus diutnus ſit
notus, qua arte
per ſinus per-
quiratur. lus ſiue boreus, ſiue auſtrinus H I; axis mundi F G, ſecans parallelum in K. Deſcribatur ex K, circa
H I, ſen@icirculus paralleli H M I, cui occurrat axis productus in M. Ducatur quoque ex L, ad H I,
perpendicularis L N, quæ erit communis ſectio paralleli H M I, & Horizontis; (Quoniã enim tam
Horizon, quàm parallelus rectus eſt ad Meridianum, erit quoque cõmunis eorum ſectio ad eun-
3319. vndec. dem perpendicularis in puncto L,
rectam H I, per defin. 3. lib. 11. Eucl.
Ergo L N, perpendicularis ad H I,
4420 cõmunis ſectio erit Horizontis & pa
ralleli) atque adeo H N, erit arcus ſe-
midiurnus dicti paralleli, qui poni-
tur notus. Tandem iungatur recta
E H. Quoniam igitur in triangulo
E K L, ſi recta E L, ponatur ſinus to-
tus, recta K L, ſinus eſt anguli K E L,
altitudinis poli, & E K, ſinus anguli
E L k, complementi altitudinis poli;
ſi fiat, vt K L, ſinus altitudinis poli,
5530 ad E K, ſinum complementi altitudi-
nis poli, ita K L, quatenus ſinus re-
ctus arcus M N, quo arcus ſemidiur-
nus H N, notus, & quadrans H M,
inter ſe differunt, ad aliud, nota fiet
recta E k, in partibus ſinus totius
K H, reſpectu cuius K L, ſinus rectus
eſt arcus M N. Quia igitur duo qua-
drata rectarum E K, k H, quadrato rectæ E H, æqualia ſunt; ſi ſimul addantur quadratum ſinus to-
6647. primi. tius K H, & quadratum rectæ E K, notæ iam factæ in partibus ſinus totius K H, notum erit qua-
7740 dratum rectæ E H, cuius radix quadrata dabit rectam E H, notam in ijſdem partibus ſinus to-
tius k H. Itaque ſi fiat, vt E H, quatenus nota in partibus ſinus totius K H, ad E K, quatenus
nota eſt in ijſdem partibus, ita E H, quatenus ſinus totus, ad aliud, nota fiet E K, in partibus
ſinus totius E H. Quare & A H, arcus reſpondens ſinui E k, ex tabula ſinuum cognitus
erit, nempe declinatio paralleli, cuius arcus diurnus, ac proinde & ſemidiurnus H N, no-
tus ponitur.
EXEMPLVM.
Sit datus arcus diurnus horarum 14.
vel 10.
atque adeo ſemidiurnus arcus
88Exemplu@. H N, horarum 7. vel 5. hoc eſt, grad. 105. vel 75. ex quo fiet arcus M N, horæ vnius, nempe grad.
15. cum quadrans H M, contineat horas 6. hoc eſt, grad. 90. Si igitur fiat, vt k L, ſinus altitudinis
poli 66913. ad E K, ſinum complementi altitudinis poli 74314. ita K L, ſinus arcus M N, quo
9950 differt arcus ſemidiurnus à quadrãte, nempe in dato exemplo, ſinus arcus grad. 15. qui eſt 25881.
ad aliud, inuenietur E K, partium ferè 28744, qualium K L, eſt 25881. Quia verò K H, ſinus totus
earundem partium eſt 100000. ſi quadrati numeri ſinuum E K, KH, ſimul addantur, fiet quadra-
tum rectę E H, partium ferè 10826217536. atque adeò recta E H, erit quaſi partium 104049.
reſpectu ſinus totius K H. Igitur ſi fiat, vt E H, 104049. ad E K, 28744. ita E H, ſinus to-
tus 100000. ad aliud, reperietur E K, ſinus declinationis paralleli H I, reſpectu ſinus totius
E H, partium ferè 27625. cuius arcus eſt grad. 16. Min. 2. Tanta eſt declinatio paralle-
1010Declinatio pa-
ralleli, cuius ar-
cus. diurnus da-
tus ſit, quo pa-
cto aliter per ſi-
nus ſit inuefti-
gandus. li H I, borealis quidem, ſi dies maior eſt 12. horis, auſtralis autem, ſi minor. Eadem ratio eſt
in cæteris.
88Exemplu@. H N, horarum 7. vel 5. hoc eſt, grad. 105. vel 75. ex quo fiet arcus M N, horæ vnius, nempe grad.
15. cum quadrans H M, contineat horas 6. hoc eſt, grad. 90. Si igitur fiat, vt k L, ſinus altitudinis
poli 66913. ad E K, ſinum complementi altitudinis poli 74314. ita K L, ſinus arcus M N, quo
9950 differt arcus ſemidiurnus à quadrãte, nempe in dato exemplo, ſinus arcus grad. 15. qui eſt 25881.
ad aliud, inuenietur E K, partium ferè 28744, qualium K L, eſt 25881. Quia verò K H, ſinus totus
earundem partium eſt 100000. ſi quadrati numeri ſinuum E K, KH, ſimul addantur, fiet quadra-
tum rectę E H, partium ferè 10826217536. atque adeò recta E H, erit quaſi partium 104049.
reſpectu ſinus totius K H. Igitur ſi fiat, vt E H, 104049. ad E K, 28744. ita E H, ſinus to-
tus 100000. ad aliud, reperietur E K, ſinus declinationis paralleli H I, reſpectu ſinus totius
E H, partium ferè 27625. cuius arcus eſt grad. 16. Min. 2. Tanta eſt declinatio paralle-
1010Declinatio pa-
ralleli, cuius ar-
cus. diurnus da-
tus ſit, quo pa-
cto aliter per ſi-
nus ſit inuefti-
gandus. li H I, borealis quidem, ſi dies maior eſt 12. horis, auſtralis autem, ſi minor. Eadem ratio eſt
in cæteris.
FACILIVS idem obtinebimus per triangula ſphęrica hoc modo.
Sit Horizon A B C D;
Meridianus A C; Aequator B D, Meridianum ſecans in E; parallelus ſiue borealis, ſiue
Meridianus A C; Aequator B D, Meridianum ſecans in E; parallelus ſiue borealis, ſiue