13774PHYSICES ELEMENTA
SCHOLIUM. 3.
In quo quædam in boc capite memoratæ Cycloidis
proprietates demonſtrantur.
proprietates demonſtrantur.
Poſitâ cycloidis memoratâ formatione;
ſit circulus generator BEF.
1134.
mus hunc perveniſſe ad punctum Gbaſeos, punctum F erit in f, poſito arcu Gf
22 282. lineæ GF æquali; Punctum deſcribens erit in b, & erit hoc punctum Cycloïdis-
33TAB. XII. 22 282. lineæ GF æquali; Punctum deſcribens erit in b, & erit hoc punctum Cycloïdis-
fig. 4.
Ducatur G c H diameter per punctum contactus, erit hæc ad baſin per-
4418. El. III. pendicularis , & parallela diametro BF. Ductâ nunc b L, per punctum Cycloïdis b, baſi parallelâ, ſecante circulum FEB in E, & GH in I; ma-
nifeſtum eſt, propter æquales GI & FL , in circulis æqualibus 5534. El. I. eſſe b I, EL; additâ utrimque IE æquales erunt b E, IL, cui æqualis
GF .
6634. El. I.4418. El. III. pendicularis , & parallela diametro BF. Ductâ nunc b L, per punctum Cycloïdis b, baſi parallelâ, ſecante circulum FEB in E, & GH in I; ma-
nifeſtum eſt, propter æquales GI & FL , in circulis æqualibus 5534. El. I. eſſe b I, EL; additâ utrimque IE æquales erunt b E, IL, cui æqualis
GF .
Facile etiam liquet arcus G f, b H, EB, æquales eſſe inter ſe &
lineæ
GF; ideoque lineæ b E.
GF; ideoque lineæ b E.
Ex quibus hanc curvæ deducimus proprietatem, Si ex puncto quocunque Cy-
77315. cloidis ad baſin ducatur parallela, quæ ſemicirculum ſecat ſuper axe deſcriptum
ad partem curvæ, qualis linea hìc eſt b EL, erit hujus portio, inter Cycloi-
dem & ſemicirculum intercepta, æqualis arcui ſemicir culi inter lineam memora-
tam & verticem intercepto. id eſt b E arcui EB æqualis eſt.
77315. cloidis ad baſin ducatur parallela, quæ ſemicirculum ſecat ſuper axe deſcriptum
ad partem curvæ, qualis linea hìc eſt b EL, erit hujus portio, inter Cycloi-
dem & ſemicirculum intercepta, æqualis arcui ſemicir culi inter lineam memora-
tam & verticem intercepto. id eſt b E arcui EB æqualis eſt.
Sit Cycloïs ADB;
vertex B;
baſis AF;
axis BF, qui diameter eſt ſemi-
88316. circuli FMB.
99TAB. XII. 88316. circuli FMB.
fig. 5.
Sumtâ D d portione quacunque infinitè exigua Cycloïdis, poterit hæc
pro lineâ rectâ haberi, & continuatâ formabit tangentem in puncto D aut d.
Ducantur DL, dl, ad baſin parallelæ ſemicirculum ſecantes in E, e; &
ductâ B e continuetur hæc donec ſecet in b lineam DL; ſit etiam BO ad ba-
ſin parallela, circulum tangens in B, & quæ in O ſecatur lineâ eO, con-
tinuatione lineæ E e.
pro lineâ rectâ haberi, & continuatâ formabit tangentem in puncto D aut d.
Ducantur DL, dl, ad baſin parallelæ ſemicirculum ſecantes in E, e; &
ductâ B e continuetur hæc donec ſecet in b lineam DL; ſit etiam BO ad ba-
ſin parallela, circulum tangens in B, & quæ in O ſecatur lineâ eO, con-
tinuatione lineæ E e.
Triangula b Ee &
e OB, propter Bo &
hE parallelas ſunt ſimilia.
La-
tera autem EO & OB ſunt æqualia ; ergo & æqualia e E, h E; eſt eE 101036. El III. cuum B e BE, aut linearum de, DE, differentia ; quæ eadem 1111315 tia eſt ideò etiam h E, quare ſunt æquales parallelæ D h, de; ſuntetiam id-
circo æquales & parallelæ D d, b e . id eſt tangens in d parallela chordæ e 121233. El I. quam Cycloïdis proprietatem ſuperius indicavimus in n. 285.
tera autem EO & OB ſunt æqualia ; ergo & æqualia e E, h E; eſt eE 101036. El III. cuum B e BE, aut linearum de, DE, differentia ; quæ eadem 1111315 tia eſt ideò etiam h E, quare ſunt æquales parallelæ D h, de; ſuntetiam id-
circo æquales & parallelæ D d, b e . id eſt tangens in d parallela chordæ e 121233. El I. quam Cycloïdis proprietatem ſuperius indicavimus in n. 285.
Iiſdem poſitis ducatur FE i;
erit hæc ad BE aut B b (propter augulum
1313317. infinite exiguum e BE) perpendicularis , dividetque baſin trianguli 141431. El. III, les b E e in duas partes æquales ita, ut ei ſit dimidium ipſius eb aut d D.
Eſt verò ei differentia inter chordas BE, Be; nam ſi centro B, radio BE,
circulus deſcribatur coincidet hic cum Ei, quæ infinite exigua eſt; & D d
eſt differentia arcuum Cycloidis DB, dB.
1313317. infinite exiguum e BE) perpendicularis , dividetque baſin trianguli 141431. El. III, les b E e in duas partes æquales ita, ut ei ſit dimidium ipſius eb aut d D.
Eſt verò ei differentia inter chordas BE, Be; nam ſi centro B, radio BE,
circulus deſcribatur coincidet hic cum Ei, quæ infinite exigua eſt; & D d
eſt differentia arcuum Cycloidis DB, dB.
Concipiamus nunc lineam ad baſim Cycloidis AF parallelam moveri à
B ad F, aliamque lineam interea circa B ita rotari, ut continuo tranſeat
per interſectionem primæ cum ſemicirculo. Ubi prima Ex. gr. pervenit
ad dl erit ſecunda in B e, translatâ primâ ad DL rotatur ſecunda ut ſit in
BE. In hoc motu, commune initium habent, & continuo augentur, arcus
Cycloïdis DB & chorda EB; ſed illius augmentum ſemper duplum eſt au-
gmentihujus, quare & integer arcus qui eſt ſumma augmentorum, erit du-
plusintegræ chordæ, quæ etiam ſummam valet augmentorum ſuorum.
B ad F, aliamque lineam interea circa B ita rotari, ut continuo tranſeat
per interſectionem primæ cum ſemicirculo. Ubi prima Ex. gr. pervenit
ad dl erit ſecunda in B e, translatâ primâ ad DL rotatur ſecunda ut ſit in
BE. In hoc motu, commune initium habent, & continuo augentur, arcus
Cycloïdis DB & chorda EB; ſed illius augmentum ſemper duplum eſt au-
gmentihujus, quare & integer arcus qui eſt ſumma augmentorum, erit du-
plusintegræ chordæ, quæ etiam ſummam valet augmentorum ſuorum.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib