138118GNOMONICES
linquunt arcus ſemidiurnos quadrantis Eclipticæ borealis inter principium ♈, &
principium ♋, inter-
poſiti; quirurſum æquales ſunt arcubus ſemidiurnis reliqui quadrantis borealis inter principium ♎, &
principium ♋, interiecti.
poſiti; quirurſum æquales ſunt arcubus ſemidiurnis reliqui quadrantis borealis inter principium ♎, &
principium ♋, interiecti.
IDEM prorſus dicendum eſt de latitudine ortiua, occiduave:
quia ſi ſupputentur pro vno quadran
tc Eclipticę ſiue auſtralis, ſiue borealis, omnes amplitudines ortiuę occiduęve, habebuntur etiam latitu-
dines ortiuæ, ſiue occiduę pro omnibus punctis Eclipticę, vt ex demonſtr atione patet: quia nimirum de-
clinationes punctorum vnius quadrantis Eclipticæ, ex quibus latitudines ortiuę & occiduę ſupputantur,
æquales ſunt declinationibus reliquorum punctorum Eclipticæ, vt alibi ostenſum eſt à nobis.
tc Eclipticę ſiue auſtralis, ſiue borealis, omnes amplitudines ortiuę occiduęve, habebuntur etiam latitu-
dines ortiuæ, ſiue occiduę pro omnibus punctis Eclipticę, vt ex demonſtr atione patet: quia nimirum de-
clinationes punctorum vnius quadrantis Eclipticæ, ex quibus latitudines ortiuę & occiduę ſupputantur,
æquales ſunt declinationibus reliquorum punctorum Eclipticæ, vt alibi ostenſum eſt à nobis.
PROBLEMA 14. PROPOSITIO 35.
1110
CREPVSCVLORVM magnitudines in quocunque parallelo
ad datam poli altitudinem inuenire.
ad datam poli altitudinem inuenire.
QVAMVIS problema hoc per triangula ſphærica poſſit abſolui, vt in ſcholio ſequenti de-
monſtrabimus, multo tamen breuius, & facilius idem per triangula plana rectilinea expediemus.
Sit enim Meridianus Analemmatis A B C D, cuius centrum E; diameter Horizontis A C; Ver-
ticalis B D; axis mundi F G; diameter Aequatoris H I; diameter paralleli Solis K L, ſiue borealis,
ſiue auſtralis, circa quam ſemicirculus paralleli deſcribatur K P L, cuius centrum erit punctum
2220 M, vbi axis, & paralleli diameter ſe interſecant; quandoquidem recta E M, perpendicularis ad
K L, ipſam K L, bifariam diuidit. Ex puncto autem S, vbi diameter paralleli diametrum Hori-
333. tertij. zontis ſecat, erigatur ad K L, perpendicularis S Q, quæ communis ſectio erit Horizontis, & paral-
leli. Quoniam enim tam Horizon, quàm parallelus ad Meridianum rectus eſt, erit eorum com-
munis ſectio ad eundem perpendicularis; atque adeo, per defin. 3. lib. 11. Euclidis, & ad diametrũ
4419. vndec. paralleli K L. Cum ergo communis illa ſectio per punctum S, vbi ſe mutuo ſecant Horizon, &
parallelus in Meridiano, tranſeat, erit S Q, perpendicularis exiſtens ad k L, communis ſectio Ho-
rizontis, & paralleli. Igitur K Q, arcus erit ſemidiurnus paralleli, cum intercipiatur inter Hori-
zontem, qui per punctum Q, tranſit, & Meridianum, qui in k, parallelum ſecat. Ducatur quoque
diameter paralleli Horizontis X Y, infra Horizontem, in quo exiſtit Sol, cum crepuſculum matu-
5530 tinum incipit, vel veſpertinum deſinit, ita vt tam arcus A X, quàm C Y, comprehendat grad. 18.
Tot enim gradibus ab Horizonte abeſt Sol in initio matutini crepuſculi, vel in fine veſpertini,
vt communis eſt opinio, licet aliqui auctores minorem faciant hanc diſtantiam, & alij maiorem,
vt refert Petrus Nonius in parte ſecunda libri de crepuſculis propoſ. 1. Secet autem diameter X Y,
paralleli Solis diametrum K L, in T, puncto, à quo ad K L, educatur perpendicularis T R, quæ
communis ſectio erit paralleli Solis, & paralleli Horizontis, in quo principium eſt, vel finis crepu-
ſculi. Quoniam enim tam parallelus Solis, quà parallelus Horizontis ad Meridianum rectus
eſt, erit & eorum ſectio communis ad eundem, atque adeò per definitionem 3. lib. 11. Euclidis,
6619. vndec.& ad rectam K L, in Meridiani plano exiſtentem perpendicularis, qualis eſt recta T R. Erit ergo
longitudo crepuſculi arcus Q R, quandoquidem Sol in puncto R, exiſtit, quando occupat Hori-
7740 zontis parallelum X Y, in quo principium eſt crepuſculi matutini, vel finis veſpertini; & in pun-
cto Q, oritur, vel occidit. Cum enim T R, ſit communis ſectio paralleli Solis, & Horizontis pa-
ralleli X Y, ſecabunt ſeſe mutuo hi paralleli in R, atque adeò Sol in puncto R, exiſtens vtrumque
parallelum poſſidebit. Eodem pacto in puncto Q, exiſtens Horizontem tenebit, cum vt paulo
ante diximus, S Q, ſit communis ſectio Horizontis, & paralleli Solis. Demittatur tandem ex K,
ad A C, perpendicularis K N, ſecans X Y, in O, eritq́; K N, ſinus altitudinis meridianæ Solis in pa
rallelo K L, exiſtentis, hoc eſt, ſinus arcus K A; & recta K O, compoſita ex K N, ſinu altitudinis
meridianæ, & N O, ſinu diſtantię Solis ſub Horizonte in principio crepuſculi matutini, uel fine
veſpertini. Sic etiam erit K S, ſinus verſus arcus ſemidiurni K Q; & K T, ſinus verſus arcus K R,
ex arcu ſemidiurno k Q, & arcu crepuſculi Q R, quem videlicer Sol in ſuo parallelo percurrit,
88Crepuſeuli ma
gnitudo, quo
modo inueſtige
tur, Sole exi-
ſtente in quo-
cunque paralle
10.9950 dum crepuſculum durat, compoſitus.
monſtrabimus, multo tamen breuius, & facilius idem per triangula plana rectilinea expediemus.
Sit enim Meridianus Analemmatis A B C D, cuius centrum E; diameter Horizontis A C; Ver-
ticalis B D; axis mundi F G; diameter Aequatoris H I; diameter paralleli Solis K L, ſiue borealis,
ſiue auſtralis, circa quam ſemicirculus paralleli deſcribatur K P L, cuius centrum erit punctum
2220 M, vbi axis, & paralleli diameter ſe interſecant; quandoquidem recta E M, perpendicularis ad
K L, ipſam K L, bifariam diuidit. Ex puncto autem S, vbi diameter paralleli diametrum Hori-
333. tertij. zontis ſecat, erigatur ad K L, perpendicularis S Q, quæ communis ſectio erit Horizontis, & paral-
leli. Quoniam enim tam Horizon, quàm parallelus ad Meridianum rectus eſt, erit eorum com-
munis ſectio ad eundem perpendicularis; atque adeo, per defin. 3. lib. 11. Euclidis, & ad diametrũ
4419. vndec. paralleli K L. Cum ergo communis illa ſectio per punctum S, vbi ſe mutuo ſecant Horizon, &
parallelus in Meridiano, tranſeat, erit S Q, perpendicularis exiſtens ad k L, communis ſectio Ho-
rizontis, & paralleli. Igitur K Q, arcus erit ſemidiurnus paralleli, cum intercipiatur inter Hori-
zontem, qui per punctum Q, tranſit, & Meridianum, qui in k, parallelum ſecat. Ducatur quoque
diameter paralleli Horizontis X Y, infra Horizontem, in quo exiſtit Sol, cum crepuſculum matu-
5530 tinum incipit, vel veſpertinum deſinit, ita vt tam arcus A X, quàm C Y, comprehendat grad. 18.
Tot enim gradibus ab Horizonte abeſt Sol in initio matutini crepuſculi, vel in fine veſpertini,
vt communis eſt opinio, licet aliqui auctores minorem faciant hanc diſtantiam, & alij maiorem,
vt refert Petrus Nonius in parte ſecunda libri de crepuſculis propoſ. 1. Secet autem diameter X Y,
paralleli Solis diametrum K L, in T, puncto, à quo ad K L, educatur perpendicularis T R, quæ
communis ſectio erit paralleli Solis, & paralleli Horizontis, in quo principium eſt, vel finis crepu-
ſculi. Quoniam enim tam parallelus Solis, quà parallelus Horizontis ad Meridianum rectus
eſt, erit & eorum ſectio communis ad eundem, atque adeò per definitionem 3. lib. 11. Euclidis,
6619. vndec.& ad rectam K L, in Meridiani plano exiſtentem perpendicularis, qualis eſt recta T R. Erit ergo
longitudo crepuſculi arcus Q R, quandoquidem Sol in puncto R, exiſtit, quando occupat Hori-
7740 zontis parallelum X Y, in quo principium eſt crepuſculi matutini, vel finis veſpertini; & in pun-
cto Q, oritur, vel occidit. Cum enim T R, ſit communis ſectio paralleli Solis, & Horizontis pa-
ralleli X Y, ſecabunt ſeſe mutuo hi paralleli in R, atque adeò Sol in puncto R, exiſtens vtrumque
parallelum poſſidebit. Eodem pacto in puncto Q, exiſtens Horizontem tenebit, cum vt paulo
ante diximus, S Q, ſit communis ſectio Horizontis, & paralleli Solis. Demittatur tandem ex K,
ad A C, perpendicularis K N, ſecans X Y, in O, eritq́; K N, ſinus altitudinis meridianæ Solis in pa
rallelo K L, exiſtentis, hoc eſt, ſinus arcus K A; & recta K O, compoſita ex K N, ſinu altitudinis
meridianæ, & N O, ſinu diſtantię Solis ſub Horizonte in principio crepuſculi matutini, uel fine
veſpertini. Sic etiam erit K S, ſinus verſus arcus ſemidiurni K Q; & K T, ſinus verſus arcus K R,
ex arcu ſemidiurno k Q, & arcu crepuſculi Q R, quem videlicer Sol in ſuo parallelo percurrit,
88Crepuſeuli ma
gnitudo, quo
modo inueſtige
tur, Sole exi-
ſtente in quo-
cunque paralle
10.9950 dum crepuſculum durat, compoſitus.
ITAQVE quoniam in triangulo K O T, recta S N, baſi O T, parallela eſt, erit vt k N, ſinus
altitudinis Meridianæ ad K O, rectam compoſitam ex ſinu altitudinis meridianæ, & ex N O, ſinu
diſtantiæ Solis ſub Horizonte in principio crepuſculi matutini, vel fine veſpertini, ita K S, ſinus
verſus ſemidiurni arcus ad K T, ſinum verſum arcus compoſiti ex arcu ſemidiurno, & arcu crepu-
10102. ſexti. ſculi. Quamobrem ſi fiat, vt ſinus altitudinis meridianæ (quo pacto autem meridiana altitudo in-
ueniatur ex cognita declinatione Solis, in ſequenti ſcholio exponemus) ad rectam compoſitam
ex ſinu altitudinis meridianę, & ſinu grad. 18. (tot enim gradibus ſecundum communem ſenten-
tiam Sol infra Horizontem deprimitur in Verticali per centrum Solis tunc tranſeuntis) ita ſinus
verſus arcus ſemidiurni ad aliud, habebitur ſinus verſus arcus compoſiti ex arcu ſemidiurno, &
arcu crepuſculi. Ex hoc ergo ſinu verſo ita inueniemus quantitatem crepuſculi. Si ſinus verſus
altitudinis Meridianæ ad K O, rectam compoſitam ex ſinu altitudinis meridianæ, & ex N O, ſinu
diſtantiæ Solis ſub Horizonte in principio crepuſculi matutini, vel fine veſpertini, ita K S, ſinus
verſus ſemidiurni arcus ad K T, ſinum verſum arcus compoſiti ex arcu ſemidiurno, & arcu crepu-
10102. ſexti. ſculi. Quamobrem ſi fiat, vt ſinus altitudinis meridianæ (quo pacto autem meridiana altitudo in-
ueniatur ex cognita declinatione Solis, in ſequenti ſcholio exponemus) ad rectam compoſitam
ex ſinu altitudinis meridianę, & ſinu grad. 18. (tot enim gradibus ſecundum communem ſenten-
tiam Sol infra Horizontem deprimitur in Verticali per centrum Solis tunc tranſeuntis) ita ſinus
verſus arcus ſemidiurni ad aliud, habebitur ſinus verſus arcus compoſiti ex arcu ſemidiurno, &
arcu crepuſculi. Ex hoc ergo ſinu verſo ita inueniemus quantitatem crepuſculi. Si ſinus verſus