143123LIBER PRIMVS.
tudinis, &
ſinu grad.
18.
compoſita, vt accidit in tertia figura huius propoſ.
Subtracto autem arcu ſe-
midiurno K Q, ex arcu K R, inuento, perſpicuum eſt, arcum crepuſculi Q R, relinqui. Quòd ſi dicta me-
dietas K λ, æqualis fuerit dictæ rectę K O, erit arcus compoſitus ex arcu ſemidiurno, & arcu crepuſcu-
li quadrans, vt in quarta figura huius propoſ. apparet.
midiurno K Q, ex arcu K R, inuento, perſpicuum eſt, arcum crepuſculi Q R, relinqui. Quòd ſi dicta me-
dietas K λ, æqualis fuerit dictæ rectę K O, erit arcus compoſitus ex arcu ſemidiurno, & arcu crepuſcu-
li quadrans, vt in quarta figura huius propoſ. apparet.
QVIN etiam beneficio altitudinis meridianæ, &
depreſſionis meridianæ, breui admodum calculo
arcus ſemidiurnos ſupputabimus, licet eoſdem alio modo in præcedenti propoſ. inuenerimus. Quoniam
enim in omnibus figuris huius propoſ. & etiam in priori, quę in ſcholio ponitur, eſt vt K λ, medietas re-
112. vel 4. ſexti22Arcus ſemidiur
nus qua ratio-
ne ſupputandus
aliter quàm ſ@-
pra. ctæ compoſitæ ex ſinu altitudinis meridianæ, & ſinu depreſſionis meridianæ ad λ N, differentiam inter
prædictam medietatem, & ſinum altitudinis meridianæ, ita K M, ſinus totus ad M S: Si fiat vt K λ,
medietas rectę ex ſinu altitudinis meridianæ, & ſinu depreſſionis meridianæ compoſitæ, ad λ N, differen-
3310 tiam inter dictam medietatem, & ſinum meridianæ altitudinis, ita K M, ſinus totus ad aliud, inuenietur
ſinus rectus M S, cuius arcus P Q, in ſignis borealibus additus quadranti, in auſtralibus verò à qua-
drante ſubtractus, dabit arcum ſemidiurnum K Q.
arcus ſemidiurnos ſupputabimus, licet eoſdem alio modo in præcedenti propoſ. inuenerimus. Quoniam
enim in omnibus figuris huius propoſ. & etiam in priori, quę in ſcholio ponitur, eſt vt K λ, medietas re-
112. vel 4. ſexti22Arcus ſemidiur
nus qua ratio-
ne ſupputandus
aliter quàm ſ@-
pra. ctæ compoſitæ ex ſinu altitudinis meridianæ, & ſinu depreſſionis meridianæ ad λ N, differentiam inter
prædictam medietatem, & ſinum altitudinis meridianæ, ita K M, ſinus totus ad M S: Si fiat vt K λ,
medietas rectę ex ſinu altitudinis meridianæ, & ſinu depreſſionis meridianæ compoſitæ, ad λ N, differen-
3310 tiam inter dictam medietatem, & ſinum meridianæ altitudinis, ita K M, ſinus totus ad aliud, inuenietur
ſinus rectus M S, cuius arcus P Q, in ſignis borealibus additus quadranti, in auſtralibus verò à qua-
drante ſubtractus, dabit arcum ſemidiurnum K Q.
IDEM hac ratione conſequemur.
Quoniam in eiſdem figuris eſt, vt K λ, medietas prædicta ad
44Arcus ſemidiur
nus quomodo
aliter inueſtige-
tur. K N, ſinum altitudinis meridianæ, ita K M, ſinus totus ad K S, ſinum verſum arcus ſemidiurni
K Q: Si fiat vt K λ, medietas rectæ compoſitæ ex ſinu altitudinis meridianæ, & ſinu depreſſionis meri-
dianę ad K N, ſinum altitudinis meridianæ, ita K M, ſinus totus ad aliud, obtinebimus K S, ſinum ver-
ſum arcus ſemidiurni K Q. Ex quo ſinu verſo ita adipiſcemur arcum ſemidiurnum K Q. In ſignis borea-
libus dematur ex ſinu verſo inuento ſinus totus, & reſidui ſinus recti arcus P Q, ad quadrantem adij-
ciatur; In ſignis verò auſtralib{us} contra, ſin{us} verſ{us} inuentus ex ſinu toto auferatur, & reſidui ſinus
5520 recti arcus P Q, ex quadrante rurſus ſubtrahatur. Exurget enim ſemper ſiue ex illa additione, ſiue ex
hac ſubtractione arcus ſemidiurnus.
44Arcus ſemidiur
nus quomodo
aliter inueſtige-
tur. K N, ſinum altitudinis meridianæ, ita K M, ſinus totus ad K S, ſinum verſum arcus ſemidiurni
K Q: Si fiat vt K λ, medietas rectæ compoſitæ ex ſinu altitudinis meridianæ, & ſinu depreſſionis meri-
dianę ad K N, ſinum altitudinis meridianæ, ita K M, ſinus totus ad aliud, obtinebimus K S, ſinum ver-
ſum arcus ſemidiurni K Q. Ex quo ſinu verſo ita adipiſcemur arcum ſemidiurnum K Q. In ſignis borea-
libus dematur ex ſinu verſo inuento ſinus totus, & reſidui ſinus recti arcus P Q, ad quadrantem adij-
ciatur; In ſignis verò auſtralib{us} contra, ſin{us} verſ{us} inuentus ex ſinu toto auferatur, & reſidui ſinus
5520 recti arcus P Q, ex quadrante rurſus ſubtrahatur. Exurget enim ſemper ſiue ex illa additione, ſiue ex
hac ſubtractione arcus ſemidiurnus.
HAEC autem omnia intelligenda ſunt, quando complementum altitudinis poli maius eſt declina-
66Arcus diurnus
quoniodo ſe ha
beat, quando cõ
plementum al-
titudinis poli
maius non fue-
rit declinatione
propoſiti paral-
leli. tione paralleli illius, cuius arcus ſemidiurnus inueſtigatur. Nam quando complementum illud non eſt ma-
ius, tanget vel parallelus Horizontem, at que ita eius arcus diurnus, ſi borealis eſt, continebit horas 24.
vel ſi auſiralis, hor. 0. Min. 0. Vel totus parallelus borealis ſupra Horizontem extat, & auſtralis infra,
atque ita nullus erit arcus diurnus, ſed continua dies in parallelo boreali, & continua nox in auſtrali erit.
Quæ omnia in ſecunda figura ſcholij huius propoſ. apparent, vbi complementum altitudinis poli C I, mi-
nus eſt declinatione I L, paralleli borealis, & rurſus idem complementum A H, minus declinatione
H K, paralleli auſtralis. Quòd ſi complementum illud declinationi foret æquale, tangeret parallelus bo-
7730 realis Horizontem in C, & australis in A, vt manifeſtum eſt.
66Arcus diurnus
quoniodo ſe ha
beat, quando cõ
plementum al-
titudinis poli
maius non fue-
rit declinatione
propoſiti paral-
leli. tione paralleli illius, cuius arcus ſemidiurnus inueſtigatur. Nam quando complementum illud non eſt ma-
ius, tanget vel parallelus Horizontem, at que ita eius arcus diurnus, ſi borealis eſt, continebit horas 24.
vel ſi auſiralis, hor. 0. Min. 0. Vel totus parallelus borealis ſupra Horizontem extat, & auſtralis infra,
atque ita nullus erit arcus diurnus, ſed continua dies in parallelo boreali, & continua nox in auſtrali erit.
Quæ omnia in ſecunda figura ſcholij huius propoſ. apparent, vbi complementum altitudinis poli C I, mi-
nus eſt declinatione I L, paralleli borealis, & rurſus idem complementum A H, minus declinatione
H K, paralleli auſtralis. Quòd ſi complementum illud declinationi foret æquale, tangeret parallelus bo-
7730 realis Horizontem in C, & australis in A, vt manifeſtum eſt.
VT autem omnibus numeris abſoluta ſit demonſtratio huius propoſ.
trademus etiam inuentionem
crepuſculorum in ſphærarecta, vbi multo facilius inueniuntur. Sit Meridianus Analemmatis A B C D;
Horizontis recti diameter A C, per polos A, C, tranſiens; Paral-
103[Figure 103]
leli Horizontis, in quo principium, vel terminus crepuſculi ponitur,
88Crepuſculum
in ſphæra recta,
quo pacto in-
dagandum. diameter F G; Aequatoris diameter B D, ſecans F G, in H; diame
ter paralleli Solis cuiuſcunque I K, ſecans A C, F G, in L, & M.
Ex L, centro paralleli deſcribatur ſemicirculus ipſius I N K, exten
danturq́, A C, F G, vſque ad N, & O.
crepuſculorum in ſphærarecta, vbi multo facilius inueniuntur. Sit Meridianus Analemmatis A B C D;
Horizontis recti diameter A C, per polos A, C, tranſiens; Paral-
88Crepuſculum
in ſphæra recta,
quo pacto in-
dagandum. diameter F G; Aequatoris diameter B D, ſecans F G, in H; diame
ter paralleli Solis cuiuſcunque I K, ſecans A C, F G, in L, & M.
Ex L, centro paralleli deſcribatur ſemicirculus ipſius I N K, exten
danturq́, A C, F G, vſque ad N, & O.
ERIT igitur A F, vel C G, arcus crepuſculi, Sole in Aequa-
9940 tore exiſtente, cuius ſinus eſt recta E H, reſpondens arcui grad. 18.
Igitur ſi ſumatur arcus grad. 18. habebitur arcus crepuſculi in ſphæ-
rarecta, Sole in æquinoctijs exiſtente.
9940 tore exiſtente, cuius ſinus eſt recta E H, reſpondens arcui grad. 18.
Igitur ſi ſumatur arcus grad. 18. habebitur arcus crepuſculi in ſphæ-
rarecta, Sole in æquinoctijs exiſtente.
SOLE verò in quouis parallelo exiſtente, vt in parallelo INK,
erit arcus O N, longitudo crepuſculi. Si igitur fiat, vt I L, quatenus
pars eſt ſinus totius B E, maximi circuli, hoc eſt, quatenus ſinus eſt complementi declinationis, (eſt
enim arcus I C, vel I A, complementum declinationis) ad L M, ſinum grad. 18. eiuſdem circuli maximi,
ita I L, quatenus ſinus totus in parallelo I N K, ad aliud, cognita erit L M, in partibus ſinus totius I L;
atque adeò @ius arcus N O, qui crepuſculum metitur, notus erit. Atque hoc verum eſt, ſiue I K, ſit dia-
meter paralleli auſtralis, ſiue borealis, vt ex figura manifeſtum eſt.
101050erit arcus O N, longitudo crepuſculi. Si igitur fiat, vt I L, quatenus
pars eſt ſinus totius B E, maximi circuli, hoc eſt, quatenus ſinus eſt complementi declinationis, (eſt
enim arcus I C, vel I A, complementum declinationis) ad L M, ſinum grad. 18. eiuſdem circuli maximi,
ita I L, quatenus ſinus totus in parallelo I N K, ad aliud, cognita erit L M, in partibus ſinus totius I L;
atque adeò @ius arcus N O, qui crepuſculum metitur, notus erit. Atque hoc verum eſt, ſiue I K, ſit dia-
meter paralleli auſtralis, ſiue borealis, vt ex figura manifeſtum eſt.
NON eſt autem prætereundum, vno fere nos labore peruestigare poſſe crepuſcula duorum paralle-
1111Crepuſcula duo
rum parallclo-
rum oppoſito-
rum, qua ratio-
ne vnico labore
inueniantur. lorum oppoſitorum, ſi primo modo vtamur. Quoniam enim arcus ſemidiurnus cuiuſuis paralleli æqualis
eſt ar cui ſeminocturno, vt in ſcholio antecedentis propoſ. oſtendimus, erit ſinus verſus K S, arcus ſemi-
diurni paralleli australis æqualis ſinui verſo L S, arcus ſeminocturni paralleli borealis oppoſiti, vt in
ſequẽti prima figura apparet. Est autẽ & S T, portio diametri paralleli auſtralis portioni S T, diametri
121234. primi. paralleli borealis æqualis. Igitur ſi fiat, vt K N, ſinus altitudinis meridianæ paralleli auſtralis ad
N O, ſinum grad. 18. ita K S, ſinus verſus arcus ſemidiurni paralleli auſtralis, ad aliud, nota erit re-
cta S T; cum eandem proportionem habeat K N, ad N O, quam k S, ad S T. Hæc autem S T, nota,
13132. ſ@nti. (quam fortaſſis facilius inuenies ratione ad finem huius propoſ. præſcripta) ſi adijciatur ad ſinum ver-
ſum K S, arcus ſemidiurni paralleli auſtralis, conflabitur K T, ſinus verſus arcus K R, compoſiti ex ar-
@u ſemidiurno K Q, & arcu crepuſculi Q R. Dempto ergo ſemidiurno arcu K Q, remanebit
1111Crepuſcula duo
rum parallclo-
rum oppoſito-
rum, qua ratio-
ne vnico labore
inueniantur. lorum oppoſitorum, ſi primo modo vtamur. Quoniam enim arcus ſemidiurnus cuiuſuis paralleli æqualis
eſt ar cui ſeminocturno, vt in ſcholio antecedentis propoſ. oſtendimus, erit ſinus verſus K S, arcus ſemi-
diurni paralleli australis æqualis ſinui verſo L S, arcus ſeminocturni paralleli borealis oppoſiti, vt in
ſequẽti prima figura apparet. Est autẽ & S T, portio diametri paralleli auſtralis portioni S T, diametri
121234. primi. paralleli borealis æqualis. Igitur ſi fiat, vt K N, ſinus altitudinis meridianæ paralleli auſtralis ad
N O, ſinum grad. 18. ita K S, ſinus verſus arcus ſemidiurni paralleli auſtralis, ad aliud, nota erit re-
cta S T; cum eandem proportionem habeat K N, ad N O, quam k S, ad S T. Hæc autem S T, nota,
13132. ſ@nti. (quam fortaſſis facilius inuenies ratione ad finem huius propoſ. præſcripta) ſi adijciatur ad ſinum ver-
ſum K S, arcus ſemidiurni paralleli auſtralis, conflabitur K T, ſinus verſus arcus K R, compoſiti ex ar-
@u ſemidiurno K Q, & arcu crepuſculi Q R. Dempto ergo ſemidiurno arcu K Q, remanebit