144138ALHAZEN
quòd angulus q fn æqualis eſt angulo z f d:
ſed [per hypotheſim, & 5 p 1] z f d eſt æqualis angulo
z d f: Igitur [per 1 ax] q f n eſt æqualis angulo z d n. Quare [per 28 p 1] linea f q eſt æqui-
diſtans lineę e d. Igitur [per 35 d 1] in infinitum productæ nun-
53[Figure 53]m t n q h b f e z p d a g quam concurrent. Igitur nullius puncti e d forma mouebitur ad
punctum f per q f: non poteſt autem eſſe locus imaginis alicuiu
puncti in puncto z, niſi forma eius moueatur ad f per lineam q f
[quia h ex theſi eſt uiſus, & h f linea reflexionis. ] Eadem erit pro-
batio ſumpta quacunque diametro. Quare patet propoſitum. Am-
plius: dico quòd nullum punctum lineæ z d poteſt eſſe locus ali-
cuius imaginis. Sumatur enim punctum p: & ducatur linea h p, ſe-
cans ſphæram in puncto b: & ducatur perpendicularis d b m: &
[per 23 p 1] angulo m b h fiat angulus æqualis, qui ſit t b m. Palàm
[per 15 p 1. 1 ax] quòd t. b m eſt æqualis p b d: & palàm [per 16
p 1] quòd angulus d p h eſt maior angulo p z f: quia exterior. Igi-
tur duo alij anguli trianguli d p b ſunt minores duobus alijs angu-
lis trianguli z d f [per 32 p 1. ] Sed [per 9 ax. ] p d b eſt maior an-
gulo z d f: reſtat ergo ut angulus d p b ſit minor angulo d f z: ſed
angulus d f z eſt æqualis angulo z d f: [utiam patuit per theſin
& 5 p 1: ] quare angulus d b p minor eſt angulo z d f: Igitur mul-
to minor angulo p d b: ergo t b m minor eſt p d b. Ergo t b, e d
nunquam concurrent [ad partes t, e: & ita nulla forma à puncto
b reflectetur ad punctum h, ut p ſitlocus imaginis. ſimiliter neci-
mago alterius puncti. Et ſimiliter de quolibet puncto lineæ z d. Reſtat ergo, ut tota linea z d ſit ua-
cua à locis imaginum.
z d f: Igitur [per 1 ax] q f n eſt æqualis angulo z d n. Quare [per 28 p 1] linea f q eſt æqui-
diſtans lineę e d. Igitur [per 35 d 1] in infinitum productæ nun-
53[Figure 53]m t n q h b f e z p d a g quam concurrent. Igitur nullius puncti e d forma mouebitur ad
punctum f per q f: non poteſt autem eſſe locus imaginis alicuiu
puncti in puncto z, niſi forma eius moueatur ad f per lineam q f
[quia h ex theſi eſt uiſus, & h f linea reflexionis. ] Eadem erit pro-
batio ſumpta quacunque diametro. Quare patet propoſitum. Am-
plius: dico quòd nullum punctum lineæ z d poteſt eſſe locus ali-
cuius imaginis. Sumatur enim punctum p: & ducatur linea h p, ſe-
cans ſphæram in puncto b: & ducatur perpendicularis d b m: &
[per 23 p 1] angulo m b h fiat angulus æqualis, qui ſit t b m. Palàm
[per 15 p 1. 1 ax] quòd t. b m eſt æqualis p b d: & palàm [per 16
p 1] quòd angulus d p h eſt maior angulo p z f: quia exterior. Igi-
tur duo alij anguli trianguli d p b ſunt minores duobus alijs angu-
lis trianguli z d f [per 32 p 1. ] Sed [per 9 ax. ] p d b eſt maior an-
gulo z d f: reſtat ergo ut angulus d p b ſit minor angulo d f z: ſed
angulus d f z eſt æqualis angulo z d f: [utiam patuit per theſin
& 5 p 1: ] quare angulus d b p minor eſt angulo z d f: Igitur mul-
to minor angulo p d b: ergo t b m minor eſt p d b. Ergo t b, e d
nunquam concurrent [ad partes t, e: & ita nulla forma à puncto
b reflectetur ad punctum h, ut p ſitlocus imaginis. ſimiliter neci-
mago alterius puncti. Et ſimiliter de quolibet puncto lineæ z d. Reſtat ergo, ut tota linea z d ſit ua-
cua à locis imaginum.
24. Si in diametro ſpeculi ſphærici conuexi extra uiſ{us} centrum ducta, iń apparentem
ſuperficiem continuata, imaginum meta notetur: Imagines dictæ diametri uidebuntur inter
metam & ſpeculi ſuperficiem. 29 p 6.
ſuperficiem continuata, imaginum meta notetur: Imagines dictæ diametri uidebuntur inter
metam & ſpeculi ſuperficiem. 29 p 6.
AMplius:
ſumpta quacunque diametro inter lineas contingentiæ à uiſu ad ſphæram ductas,
præter diametrum à centro uiſus ad centrum ſphæræ intellectam, & determinato in ea pun
cto, quod diximus, quod eſt meta locorum imaginum. Dico, quòd in punctis tantùm illius
diametri, quæ ſunt inter ſuperficiem ſphæræ, & metam prædictam, ſuntloca imaginum, puncto-
rum illius diametri. Verbi gratia, ſint b z, b e lineæ contingentes: b centrum uiſus: a centrum ſphæ-
ræ: b h a diameter uiſualis: d a diameter ſumpta, cuius meta ſit t: g punctum ſphærę, in quo dia-
meter ſecat ſphæram. Dico, quòd in ſola puncta inter g, t interiacentia, cadunt imagines puncto-
rum rectæ d a. Quòd enim non cadant in punctum g, uel extra ſu-
54[Figure 54]b ſ d h f r g z q t e a perficiem ſphæræ: palàm per hoc, quod ſuprà dictum eſt [22 n,]
diametrum, in qua eſt locus imaginis in ſuperficie ſphæræ aut ex-
tra, demiſsiorem eſſe puncto contingentiæ: & cum diameter d a ſit
inter lineas contingentes: non erit in ea locus imaginis, aut in ſu-
perficie ſphæræ, aut extra. Quòd autem in quodlibet punctum in-
ter g & t ſumptum, cadat imago: ſic conſtabit. Sumatur punctum:
& ſit q: & ducatur linea b q, ſecans ſphæram in puncto p: & duca-
tur perpendicularis a p l: & [per 23 p 1] angulo l p b fiat æqualis
angulus d p l: & educatur linea b t, ſecans ſphæram in puncto f: &
ducatur perpendicularis a f. Igitur triangulum a p b continet tri-
angulum a f b: quare [per 21 p 1] angulas a f b maior eſt angu-
lo a p b: reſtat ergo [per 13 p 1] ut angulus a f t ſit minor a p q:
ſed angulus a f t eſt æqualis angulo f a t, quia æqualia latera reſpi-
ciunt: [per hypotheſin & pręcedentem numerum. ] Igitur a p q e-
rit maior angulo f a t: ergo & angulo p a q, [per 9 ax. ] Quare [per
15 p 1. 1 ax. ] l p b maior eſt p a q. Vnde d p l maior p a q: Igitur p
d, a q concurrent [per 11 ax. ] ſit d concurſus. Forma igitur pun-
cti d reflectetur à puncto p per lineam p b: & locus imaginis eius
eſt q [per 3 n. ] Et eadem eſt probatio, ſumpto quocunque pun-
cto inter g & t. Reſtat, utaſsignemus loca imaginum in ſectione ſphæræ occulta uiſui.
præter diametrum à centro uiſus ad centrum ſphæræ intellectam, & determinato in ea pun
cto, quod diximus, quod eſt meta locorum imaginum. Dico, quòd in punctis tantùm illius
diametri, quæ ſunt inter ſuperficiem ſphæræ, & metam prædictam, ſuntloca imaginum, puncto-
rum illius diametri. Verbi gratia, ſint b z, b e lineæ contingentes: b centrum uiſus: a centrum ſphæ-
ræ: b h a diameter uiſualis: d a diameter ſumpta, cuius meta ſit t: g punctum ſphærę, in quo dia-
meter ſecat ſphæram. Dico, quòd in ſola puncta inter g, t interiacentia, cadunt imagines puncto-
rum rectæ d a. Quòd enim non cadant in punctum g, uel extra ſu-
54[Figure 54]b ſ d h f r g z q t e a perficiem ſphæræ: palàm per hoc, quod ſuprà dictum eſt [22 n,]
diametrum, in qua eſt locus imaginis in ſuperficie ſphæræ aut ex-
tra, demiſsiorem eſſe puncto contingentiæ: & cum diameter d a ſit
inter lineas contingentes: non erit in ea locus imaginis, aut in ſu-
perficie ſphæræ, aut extra. Quòd autem in quodlibet punctum in-
ter g & t ſumptum, cadat imago: ſic conſtabit. Sumatur punctum:
& ſit q: & ducatur linea b q, ſecans ſphæram in puncto p: & duca-
tur perpendicularis a p l: & [per 23 p 1] angulo l p b fiat æqualis
angulus d p l: & educatur linea b t, ſecans ſphæram in puncto f: &
ducatur perpendicularis a f. Igitur triangulum a p b continet tri-
angulum a f b: quare [per 21 p 1] angulas a f b maior eſt angu-
lo a p b: reſtat ergo [per 13 p 1] ut angulus a f t ſit minor a p q:
ſed angulus a f t eſt æqualis angulo f a t, quia æqualia latera reſpi-
ciunt: [per hypotheſin & pręcedentem numerum. ] Igitur a p q e-
rit maior angulo f a t: ergo & angulo p a q, [per 9 ax. ] Quare [per
15 p 1. 1 ax. ] l p b maior eſt p a q. Vnde d p l maior p a q: Igitur p
d, a q concurrent [per 11 ax. ] ſit d concurſus. Forma igitur pun-
cti d reflectetur à puncto p per lineam p b: & locus imaginis eius
eſt q [per 3 n. ] Et eadem eſt probatio, ſumpto quocunque pun-
cto inter g & t. Reſtat, utaſsignemus loca imaginum in ſectione ſphæræ occulta uiſui.
25. Si linea reflexionis ſecans ſpeculum ſphæricum conuexum, æquet ſegmentum intra ipſi-
{us} ſuperficiem, eiuſdem ſemidiametro: & ſemidiameter per terminum lineæ reflexionis con-
currat cum rect a à uiſu ſpeculum tangente: Imagines concurrentis ſemidiametri, inter concur
ſum & ſpeculι ſuperficiem uidebuntur. 30 p 6.
{us} ſuperficiem, eiuſdem ſemidiametro: & ſemidiameter per terminum lineæ reflexionis con-
currat cum rect a à uiſu ſpeculum tangente: Imagines concurrentis ſemidiametri, inter concur
ſum & ſpeculι ſuperficiem uidebuntur. 30 p 6.
SInt ergo a c, a g lineæ contin gentes portionem apparentem:
a centrum uiſus:
b centrum ſphæ-
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib