148142ALHAZEN& ſit t p linea, per quam forma mouetur ad ſpeculũ:
& ducatur perpendicularis n t u:
quę neceſſariò
diuidet angulum p t a per æqualia: [ut oſtenſum eſt 13 n 4] & ducatur perpendicularis n g k: erit [ք
21 p 1] angulus n t a maior n g a: reſtat ergo [per 13 p 1] angulus u t a minor angulo k g a. Quare angu-
lus p t uminor angulo b g k: [angulus enim k g a æquatur angulo b g k, per 12 n 4. ] Sed [per 32 p
1] angulus p t u ualet angulum t n p, & t p n: quia exterior: & angulus b g k ualet angulũ g n b, & an-
gulum g b n Erunt ergo duo anguli t n p, t p n minores duobus angulis g b n, g n b: quod [per 9 ax]
eſt impoſsibile: cum angulus p n t contineat angulum g n b tanquam partem: & [per 16 p 1] angulus
t p n ſit maior g b n. Reſtat ergo, ut punctum p non reflectatur, niſi à punctis inter g & l intermedijs.
Et omnes lineæ à puncto a per hæc puncta ductæ ad diametrum b n, cadunt in puncta ſphęræ à cen
tro uiſus magis elongata, puncto g. Et ita patet propoſitum.
diuidet angulum p t a per æqualia: [ut oſtenſum eſt 13 n 4] & ducatur perpendicularis n g k: erit [ք
21 p 1] angulus n t a maior n g a: reſtat ergo [per 13 p 1] angulus u t a minor angulo k g a. Quare angu-
lus p t uminor angulo b g k: [angulus enim k g a æquatur angulo b g k, per 12 n 4. ] Sed [per 32 p
1] angulus p t u ualet angulum t n p, & t p n: quia exterior: & angulus b g k ualet angulũ g n b, & an-
gulum g b n Erunt ergo duo anguli t n p, t p n minores duobus angulis g b n, g n b: quod [per 9 ax]
eſt impoſsibile: cum angulus p n t contineat angulum g n b tanquam partem: & [per 16 p 1] angulus
t p n ſit maior g b n. Reſtat ergo, ut punctum p non reflectatur, niſi à punctis inter g & l intermedijs.
Et omnes lineæ à puncto a per hæc puncta ductæ ad diametrum b n, cadunt in puncta ſphęræ à cen
tro uiſus magis elongata, puncto g. Et ita patet propoſitum.
31. Viſa & uiſibilia à centro ſpeculi ſphærici conuexi æquabiliter diſtantib{us}: punctum refle-
xionis inuenire. 20 p 6.
xionis inuenire. 20 p 6.
AMplius:
dato ſpeculo, & dato puncto uiſo:
eſt inuenire punctum reflexionis.
Sit enim b pun-
ctum uiſum: a centrum uiſus: & ducantur ab eis duæ lineæ ad
61[Figure 61]b d a f e g c centrum ſpeculi. Si fuerint duæ illæ lineæ æquales: erit facile
inuenire: quoniam ſumetur circulus ſphæræ in ſuperficie duarum il-
larum linearum. Et ſcimus [per 29 n] quòd ab unico ſolo puncto il
lius circuli fit unius puncti reflexio. Diuidatur ergo [per 9 p 1] angu-
lus, quem continent in centro duæ illæ lineę, per æqualia: & ducatur
linea diuidens angulum, extra ſphæram: erit quidem [per 18 p 3] per-
pendicularis ſuper lineam contingentem hunc circulum in puncto,
per quod tranſit. Et ſi ducantur ad illud punctum duę lineę: una à cen
tro uiſus: alia à punctu uiſo: efficient cum perpendiculari illa & dua-
bus primis lineis, duo triangula: quorum duo latera duobus laterib.
æqualia, & angulus angulo [ideoq́; per 4. 13 p 1. 3 ax angulus a e d æ-
quatur angulo b e d. ] Et ita punctum circuli, per quod perpendicula
ris illa tranſit: eſt punctum reflexionis: [quia c e d bifariam ſecat an-
gulum ab incidentię & reflexionis lineis comprehenſum, ut patuit 13
n 4. ] Si nero linea à puncto uiſo ad centrum ſphærę ducta, fuerit inę
qualis lineę à centro uiſus ad idem centrum ductę: oportet nos quę-
dam antecedentia præponere: quorum unum eſt.
ctum uiſum: a centrum uiſus: & ducantur ab eis duæ lineæ ad
61[Figure 61]b d a f e g c centrum ſpeculi. Si fuerint duæ illæ lineæ æquales: erit facile
inuenire: quoniam ſumetur circulus ſphæræ in ſuperficie duarum il-
larum linearum. Et ſcimus [per 29 n] quòd ab unico ſolo puncto il
lius circuli fit unius puncti reflexio. Diuidatur ergo [per 9 p 1] angu-
lus, quem continent in centro duæ illæ lineę, per æqualia: & ducatur
linea diuidens angulum, extra ſphæram: erit quidem [per 18 p 3] per-
pendicularis ſuper lineam contingentem hunc circulum in puncto,
per quod tranſit. Et ſi ducantur ad illud punctum duę lineę: una à cen
tro uiſus: alia à punctu uiſo: efficient cum perpendiculari illa & dua-
bus primis lineis, duo triangula: quorum duo latera duobus laterib.
æqualia, & angulus angulo [ideoq́; per 4. 13 p 1. 3 ax angulus a e d æ-
quatur angulo b e d. ] Et ita punctum circuli, per quod perpendicula
ris illa tranſit: eſt punctum reflexionis: [quia c e d bifariam ſecat an-
gulum ab incidentię & reflexionis lineis comprehenſum, ut patuit 13
n 4. ] Si nero linea à puncto uiſo ad centrum ſphærę ducta, fuerit inę
qualis lineę à centro uiſus ad idem centrum ductę: oportet nos quę-
dam antecedentia præponere: quorum unum eſt.
32. À puncto dimidiatæ peripheriæ medio, ducere lineam re-
ctam, ut ſegmentum ei{us} conterminum continuatæ diametro, æquetur datæ lineæ rectæ. 128 p 1.
ctam, ut ſegmentum ei{us} conterminum continuatæ diametro, æquetur datæ lineæ rectæ. 128 p 1.
SVmpta circuli diametro, & ſumpto in circumferentia puncto:
eſt ducere ab eo ad diametrũ ex-
tra productam, lineam, quę à puncto, in quo ſecat circulum, uſq; ad cõcurſum cum diametro, ſit
æqualis lineæ datæ Verbi gratia, ſit q e data linea: g b diameter circuli a b g: a punctũ datum. Di
co, quòd à puncto a ducam lineam, quæ à pũcto, in quo ſecuerit circulum, uſq; ad diametrum g b, ſit
æqualis lineæ q e: quod ſic conſtabit. Ducantur duę lineæ a b, a g: quę aut erunt æ quales: aut inęqua
les. Sint ęquales: & adiungatur lineæ q e linea talis, ut illud, quod fit ex ductu totius cum adiuncta
in ad ũctam, ſit
62[Figure 62]q a e g63[Figure 63]a z g e b q64[Figure 64]d q g h a z b ęquale quadra
to a g. [id uerò
expeditè fiet: ſi
linea q e fiat dia
meter circuli,
cuius periphe-
riam tangens re
cta linea æqua-
lis a g, cõcurrat
cum continua-
ta diametro q e:
ſic enim oblongum cõprehenſum ſub continuata diametro & exte-
riore eius ſegmento ęquabitur quadrato lineę a g per 36 p 3. ] Et ſit li
nea adiũcta e z. Cũ igitur illud, qđ fit ex ductu q z in e z ſit ęquale ei,
quod fit ex ductu a g in ſe: erit q z maior a g, & e z minor eadem. Si e-
nim e z fuerit æqualis, aut maior a g: eſt impoſsibile, ut ductus q z in
e z ſit æqualis quadrato a g [ſic enim oblongum comprehẽſum ſub
q z & e z ſemper maius eſſet quadrato a g: quia linea q z eſſet maior
e z, ut totum ſua parte. ] Si autem minor: palàm, quòd q z eſt maior a
g. Producatur ergo ad ęqualitatem: & ſit a g t: & poſito pede circini ſuper a, fiat circulus ſecundum
quantitatem a g t: qui quidem circulus ſecabit diametrum b g: [infinitè uerſus t continuatam] &
tra productam, lineam, quę à puncto, in quo ſecat circulum, uſq; ad cõcurſum cum diametro, ſit
æqualis lineæ datæ Verbi gratia, ſit q e data linea: g b diameter circuli a b g: a punctũ datum. Di
co, quòd à puncto a ducam lineam, quæ à pũcto, in quo ſecuerit circulum, uſq; ad diametrum g b, ſit
æqualis lineæ q e: quod ſic conſtabit. Ducantur duę lineæ a b, a g: quę aut erunt æ quales: aut inęqua
les. Sint ęquales: & adiungatur lineæ q e linea talis, ut illud, quod fit ex ductu totius cum adiuncta
in ad ũctam, ſit
62[Figure 62]q a e g63[Figure 63]a z g e b q64[Figure 64]d q g h a z b ęquale quadra
to a g. [id uerò
expeditè fiet: ſi
linea q e fiat dia
meter circuli,
cuius periphe-
riam tangens re
cta linea æqua-
lis a g, cõcurrat
cum continua-
ta diametro q e:
ſic enim oblongum cõprehenſum ſub continuata diametro & exte-
riore eius ſegmento ęquabitur quadrato lineę a g per 36 p 3. ] Et ſit li
nea adiũcta e z. Cũ igitur illud, qđ fit ex ductu q z in e z ſit ęquale ei,
quod fit ex ductu a g in ſe: erit q z maior a g, & e z minor eadem. Si e-
nim e z fuerit æqualis, aut maior a g: eſt impoſsibile, ut ductus q z in
e z ſit æqualis quadrato a g [ſic enim oblongum comprehẽſum ſub
q z & e z ſemper maius eſſet quadrato a g: quia linea q z eſſet maior
e z, ut totum ſua parte. ] Si autem minor: palàm, quòd q z eſt maior a
g. Producatur ergo ad ęqualitatem: & ſit a g t: & poſito pede circini ſuper a, fiat circulus ſecundum
quantitatem a g t: qui quidem circulus ſecabit diametrum b g: [infinitè uerſus t continuatam] &