149143OPTICAE LIBER V.
ſecet in puncto d:
& ducatur linea a d:
quæ ſecabit neceſſariò circũlum.
Si enim contingeretin
puncto a: eſſet æquidiſtans b g, & nunquam concurreret cum ea. [Nam ex theſi g a, b a æ-
quantur. Itaque ſemidiameter à centro ad a ducta, efficiet per 8 p. 10 d 1 angulos cum b g rectos.
Similiter angulus lineæ d a tãgentis & ſemidiametri rectus eſt per 18 p 3: ergo per 28 p 1 b d, a d eſ-
ſent parallelæ: quæ tamen concurrunt in puncto d, è fabricatione. ] Secet ergo in puncto h: & du-
catur linea g h. Palàm [per 22 p 3] cum a b g h ſit quadrangulum intra circulum: a b g, a h g an-
gulos oppoſitos ualere duos rectos: ſed [per 5 p 1] a g b eſt æqualis angulo a b g, cum reſpiciant
æqualia latera ex hypotheſi. Erit igitur angulus a h g æqualis angulo d g a: [per 13 p 1] & angu-
lus h a g communis triangulo totali a d g, & partiali a h g: reſtat ergo [per 32 p 1] ut angulus
h d g ſit æqualis angulo h g a: & triangulum ſimile triangulo [per 4 p. 1 d 6. ] Quare proportio
d a ad a g, ſicut a g ad a h: ergo [per 17 p 6] quod fit ex ductu d a in a h, eſt æquale quadrato a g:
Sed [per 15 d 1] d a eſt æqualis t a: igitur [per 1 ax] eſt æqualis q z: & erit a h æqualis e z: [quia
è prima fabricatione oblongum comprehenſum ſub q z & e z æquatur quadrato a g: cui æquale o-
ſtenſum eſt oblongum comprehenſum ſub d a & a h: & d a æquaturipſi q z] & [per 3 ax] d h æqua-
lis q e: quæ eſt data linea. Et ita eſt propoſitum.
puncto a: eſſet æquidiſtans b g, & nunquam concurreret cum ea. [Nam ex theſi g a, b a æ-
quantur. Itaque ſemidiameter à centro ad a ducta, efficiet per 8 p. 10 d 1 angulos cum b g rectos.
Similiter angulus lineæ d a tãgentis & ſemidiametri rectus eſt per 18 p 3: ergo per 28 p 1 b d, a d eſ-
ſent parallelæ: quæ tamen concurrunt in puncto d, è fabricatione. ] Secet ergo in puncto h: & du-
catur linea g h. Palàm [per 22 p 3] cum a b g h ſit quadrangulum intra circulum: a b g, a h g an-
gulos oppoſitos ualere duos rectos: ſed [per 5 p 1] a g b eſt æqualis angulo a b g, cum reſpiciant
æqualia latera ex hypotheſi. Erit igitur angulus a h g æqualis angulo d g a: [per 13 p 1] & angu-
lus h a g communis triangulo totali a d g, & partiali a h g: reſtat ergo [per 32 p 1] ut angulus
h d g ſit æqualis angulo h g a: & triangulum ſimile triangulo [per 4 p. 1 d 6. ] Quare proportio
d a ad a g, ſicut a g ad a h: ergo [per 17 p 6] quod fit ex ductu d a in a h, eſt æquale quadrato a g:
Sed [per 15 d 1] d a eſt æqualis t a: igitur [per 1 ax] eſt æqualis q z: & erit a h æqualis e z: [quia
è prima fabricatione oblongum comprehenſum ſub q z & e z æquatur quadrato a g: cui æquale o-
ſtenſum eſt oblongum comprehenſum ſub d a & a h: & d a æquaturipſi q z] & [per 3 ax] d h æqua-
lis q e: quæ eſt data linea. Et ita eſt propoſitum.
33. À puncto dimidiatæ peripheriæ non medio, ducere lineam rectam: ut ſegmentum ei{us}
conterminum continuatæ diametro, æquetur datæ lineæ rectæ. 130 p 1.
conterminum continuatæ diametro, æquetur datæ lineæ rectæ. 130 p 1.
SI uerò a b & a g non ſint æquales:
protrahatur [per 31 p 1] à puncto g linea æquidiſtans a b:
quæ ſit g n: & ſumatur linea, quæcunque ſit: z t: & [per 23 p 1] ſuper punctum z fiat angulus ę-
qualis angulo a g d per lineam z f: & [per 31 p 1] ducatur à puncto t linea æquidiſtans z f: & ſit
t m: & [per 23 p 1] ex angulo t z f ſecetur angulus æqualis angulo d g n per lineam z m. Hæc
65[Figure 65]k t o z m u y f c l z66[Figure 66]q d g e a b igitur linea neceſſariò cõcurrit cum
t m: [per lemma Procli ad 29 p 1]
cum ſit inter æquidiſtantes. Sit pun-
ctum concurſus m: reſtat ergo [per
3 ax] angulus m z f æqualis angu-
lo a g n. Et à puncto t ducatur li-
nea æquidiſtans lineæ z m: [per 31
p 1] quæ ſit t o: quæ quidem neceſſa-
riò concurret cum f z: [per lemma
Procli ad 29 p 1] & ſit concurſus in
puncto k: & ſumatur [per 12 p 6] li-
nea, cuius proportio ad lineam z t, ſi-
cut b g ad q e lineam datam: & ſit
i. Deinde fiat ſuper punctum m ſe-
ctio pyramidalis, quemadmodũ do-
cet Apollonius in libro ſecundo de
pyramidalibus, propoſitiõe quarta:
& ſit u c m: quæ quidem ſectio non
ſecat lineas k o, k f: & in hac ſectione
ducatur linea æqualis lineę i: ſcilicet
m c: & producatur uſque ad lineas k t, k f: & ſint puncta ſectio num o, l. Igitur, ſicut ibidem [8 th 2
coni conicorum] probatur: erit o m æqualis c l: & à puncto t ducatur linea æquidiſtans c m: [per
31 p 1,] quæ ſit t f: & [per 23 p 1] ſuper punctum a fiat angulus æqualis angulo z f t per lineam a n
d. Palàm, quòd hæc linea concurret cum g d: cum angulus a g n ſit ęqualis f z m angulo: [per con-
cluſionem] & angulus g a n angulo z f t [per fabricationem: & totus angulus f z t æquatus ſit toti
angulo d g a: & per 32 p 1 anguli ad z & f ſint minores duobus rectis. Ergo anguli ad g & a ipſis æ-
quales, minores erunt duobus rectis. Itaque per 11 ax. g d, a d concurrent. ] Igitur a d linea aut tan-
get circulum: aut ſecabit ipſum. Quoniam ſi non tetigerit, & arcus a b fuerit maior arcu a g: ſeca-
bit arcum a b: & ſi a b fuerit minor: ſecabit arcum a g. Tangat igitur in puncto a. Cum igitur [per
fabricationem] angulus g a n ſit æqualis angulo z f t, & angulus a g n angulo f z y: erit [per
32 p 1] tertius tertio æqualis: & erit triangulum a g n ſimile triangulo z f y. Similiter cum [per
fabricationem] a g d ſit æqualis angulo f z t: erit [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum a g d ſimile
triangulo f z t. Igitur quæ eſt proportio a n ad a g, ea eſt proportio f y ad f z: & quæ eſt propor-
tio a g ad g d, ea eſt f z ad z t. Quare [per 22 p 5] quæ eſt proportio a n ad g d, ea eſt f y ad
z t. Verùm cum [per fabricationem] t m ſit æquidiſtans f l, & f t ſit æquidiſtans l m: eſt per
34 p 1] f t æqualis l m. Quare [per 2 ax] erit æqualis c o: cum [per 8 th 2 conicorum Apol-
lonij] m o ſit æqualis l c: ſed [per 34 p 1] m o eſt æqualis y t: cum [per fabricationem] ſit ipſt
æquidiſtans, & y m æquidiſtans t o. Reſtat ergo [per 3 ax] f y æqualis c m: ſed [per fabrica-
tionem] c m eſt æqualis i. Quare [per 1 ax] f y eſt æqualis i: ſed [per fabricationem] propor-
tio i [id eſt, per 7 p 5 f y] ad z t, ſicut b g ad e q. Igitur [per 11 p 5] proportio a n ad g d, ſi-
cut b g ad e q. Verùm angulus g a n eſt æqualis angulo g b a: ſicut probat Euclides in ter-
quæ ſit g n: & ſumatur linea, quæcunque ſit: z t: & [per 23 p 1] ſuper punctum z fiat angulus ę-
qualis angulo a g d per lineam z f: & [per 31 p 1] ducatur à puncto t linea æquidiſtans z f: & ſit
t m: & [per 23 p 1] ex angulo t z f ſecetur angulus æqualis angulo d g n per lineam z m. Hæc
65[Figure 65]k t o z m u y f c l z66[Figure 66]q d g e a b igitur linea neceſſariò cõcurrit cum
t m: [per lemma Procli ad 29 p 1]
cum ſit inter æquidiſtantes. Sit pun-
ctum concurſus m: reſtat ergo [per
3 ax] angulus m z f æqualis angu-
lo a g n. Et à puncto t ducatur li-
nea æquidiſtans lineæ z m: [per 31
p 1] quæ ſit t o: quæ quidem neceſſa-
riò concurret cum f z: [per lemma
Procli ad 29 p 1] & ſit concurſus in
puncto k: & ſumatur [per 12 p 6] li-
nea, cuius proportio ad lineam z t, ſi-
cut b g ad q e lineam datam: & ſit
i. Deinde fiat ſuper punctum m ſe-
ctio pyramidalis, quemadmodũ do-
cet Apollonius in libro ſecundo de
pyramidalibus, propoſitiõe quarta:
& ſit u c m: quæ quidem ſectio non
ſecat lineas k o, k f: & in hac ſectione
ducatur linea æqualis lineę i: ſcilicet
m c: & producatur uſque ad lineas k t, k f: & ſint puncta ſectio num o, l. Igitur, ſicut ibidem [8 th 2
coni conicorum] probatur: erit o m æqualis c l: & à puncto t ducatur linea æquidiſtans c m: [per
31 p 1,] quæ ſit t f: & [per 23 p 1] ſuper punctum a fiat angulus æqualis angulo z f t per lineam a n
d. Palàm, quòd hæc linea concurret cum g d: cum angulus a g n ſit ęqualis f z m angulo: [per con-
cluſionem] & angulus g a n angulo z f t [per fabricationem: & totus angulus f z t æquatus ſit toti
angulo d g a: & per 32 p 1 anguli ad z & f ſint minores duobus rectis. Ergo anguli ad g & a ipſis æ-
quales, minores erunt duobus rectis. Itaque per 11 ax. g d, a d concurrent. ] Igitur a d linea aut tan-
get circulum: aut ſecabit ipſum. Quoniam ſi non tetigerit, & arcus a b fuerit maior arcu a g: ſeca-
bit arcum a b: & ſi a b fuerit minor: ſecabit arcum a g. Tangat igitur in puncto a. Cum igitur [per
fabricationem] angulus g a n ſit æqualis angulo z f t, & angulus a g n angulo f z y: erit [per
32 p 1] tertius tertio æqualis: & erit triangulum a g n ſimile triangulo z f y. Similiter cum [per
fabricationem] a g d ſit æqualis angulo f z t: erit [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum a g d ſimile
triangulo f z t. Igitur quæ eſt proportio a n ad a g, ea eſt proportio f y ad f z: & quæ eſt propor-
tio a g ad g d, ea eſt f z ad z t. Quare [per 22 p 5] quæ eſt proportio a n ad g d, ea eſt f y ad
z t. Verùm cum [per fabricationem] t m ſit æquidiſtans f l, & f t ſit æquidiſtans l m: eſt per
34 p 1] f t æqualis l m. Quare [per 2 ax] erit æqualis c o: cum [per 8 th 2 conicorum Apol-
lonij] m o ſit æqualis l c: ſed [per 34 p 1] m o eſt æqualis y t: cum [per fabricationem] ſit ipſt
æquidiſtans, & y m æquidiſtans t o. Reſtat ergo [per 3 ax] f y æqualis c m: ſed [per fabrica-
tionem] c m eſt æqualis i. Quare [per 1 ax] f y eſt æqualis i: ſed [per fabricationem] propor-
tio i [id eſt, per 7 p 5 f y] ad z t, ſicut b g ad e q. Igitur [per 11 p 5] proportio a n ad g d, ſi-
cut b g ad e q. Verùm angulus g a n eſt æqualis angulo g b a: ſicut probat Euclides in ter-