150144ALHAZEN
tio [32 propoſitione] ſed [per 29 p 1] angulus n g d eſt æqualis angulo a b g:
cum [per fabri-
cationem] n g ſit æquidiſtans a b. Igitur [per 1 ax] angulus n g d æqualis eſt angulo n a g, & an-
gulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius tertio eſt æqualis. Quare [per 4 p. 1 d 6] triangu-
lum n d g ſimile triangulo a d g. Igitur proportio a d ad d g, ſicut g d ad d n. Quare [per 17 p 6] quod
fit ex ductu a d in d n eſt æquale quadrato d g. Verùm quadratum a d eſt æquale ei, quod fit ex du-
ctu b d in d g: ſicut probat Euclides 36 propoſitione [libri tertij,] & quadratum a d eſt æquale ei,
quod fit ex ductu a d in d n, & ei quod fit ex ductu a d in n a [per 2 p 2: ] & illud, quod fit ex ductu b d
in d g, eſt æquale quadrato d g, & ei quod fit ex ductu b g in g d: ſicut probat Euclides [3 p 2. ] Abla-
tis ergo æqualibus [quadrato nempe d g & rectangulo a d n] reſtat [per 3 ax,] ut, quòd fit ex du-
ctu a d in a n, ſit æquale ei, quod fit ex b g in g d. Igitur [per 16 p 6] proportio primæ lineæ ad ſecun
dam, eſt ſicut tertiæ ad quartam [nempe ut a d ad g d, ſic b g ad a n: & alternè [per 16 p 5] ut a d ad
b g, ſic g d ad a n. ] Quare [per conſectarium 4 p 5] proportio a n ad g d, ſicut b g ad a d. Sediam
dictum eſt, quòd proportio a n ad g d eſt, ſicut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q eſt æqualis a d. Quod
eſt propoſitum. Quòd ſi a d non tetigerit circulum, ſed ſecuerit, &
67[Figure 67]q d n e g h a b fuerit a g maior a b: ſecabit quidem arcũ a g. Secet ergo in puncto h:
& ducatur linea h g. Palàm [per 22 p 3] quòd duo anguli a h g, a b g
ualent duos rectos: ſed angulus n g d æqualis eſt a b g [per 29 p 1:
quia n g parallela ducta eſt ipſi a b. ] Igitur angulus a h g & angulus n
g d ſunt ęquales duobus rectis. Quare [per 13 p 1. 3 ax] angulus n g d
eſt ęqualis angulo n h g: & angulus n d g communis. Quare [per 32 p
1] tertius angulus tertio angulo eſt æqualis: & triangulum h g d ſimi
le triangulo n d g [per 4 p. 1 d 6. ] Igitur proportio h d ad d g eſt, ſicut
proportio d g ad d n. Quare [per 17 p 6] illud, quod fit ex ductu h d
in d n, eſt ęquale quadrato d g: ſed quod fit ex ductu a d in h d, eſt æ-
quale ei, quod fit ex ductu b d in d g, ſicut probat Euclides [cõſecta-
rio 36 p 3] & [per 1 p 2] illud, quod fit ex ductu a d in d h, eſt ęquale ei,
quod fit ex ductu d h in d n, & d h in a n: & [per 3 p 2] qđ fit ex ductu
b d in d g, eſt æquale ei, quod fit ex ductu b g in g d & quadrato d g.
Ablatis igitur æqualibus, ſcilicet quadrato d g, & eo, quod fit ex du-
ctu d h in d n: reſtat [per 3 ax] ut illud, quod fit ex ductu d h in a n, ſit
ęquale ei, quod fit ex ductu b g in d g. Quare proportio ſecundę lineę
ad quartam, id eſt a n ad g d, ſicut tertiæ ad primã, id eſt b g ad d h [eſt
enim per 16 p 6 ut d h ad d g, ſic b g ad a n: & per 16 p 5, ut d h ad b g,
ſic d g ad a n, & per conſectarium 4 p 5, ut a n ad d g, ſic b g ad d h. ] Sed iam probatum eſt, quòd pro-
portio a n ad d g, ſicut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q eſt ęqualis d h.
68[Figure 68]d q n g a e h b Et ita eſt propoſitum. Si uerò a g ſit minor a b: & ſecet a d arcum a b:
ſit ſectionis punctum h: & ducatur linea h g. Palàm [per fabricatio
nem primam & 29 p 1] quòd angulus n g d eſt æqualis angulo a b g:
ſed [per 27 p 3] anguli a b g, a h g ſunt æquales: quia cadunt in eundẽ
arcum. Igitur [per 1 ax] angulus n g d eſt æqualis angulo a h g, & an-
gulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius tertio æqualis: &
triangula ſimilia [per 4 p. 1 d 6. ] Igitur proportio h d ad d g, ſicut d g
ad d n. Quare [per 17 p 6] quod fit ex ductu h d in d n, eſt æquale qua
drato d g: ſed quod fit ex ductu h d in d a, eſt æquale ei, quod fit ex du
ctu b d in d g [per conſectarium Campani ad 36 p 3] & [per 1 p 2] qđ
fit ex ductu h d in d a, eſt æquale ei, quod fit ex ductu d n in h d & a n
in h d: & [per 3 p 2] ductus b d in d g ualet quadratum d g, & ductum
b g in d g. Igitur remotis æqualibus: [rectangulo nimirum h d n, &
quadrato d g] erit [per 3 ax] ductus h d in a n, ſicut b g in d g. Igitur
[per 16 p 6. 16 p. 13 d 5] proportio a n ad d g, ſicut b g ad h d. Sed iam
dictum eſt, quòd proportio a n ad d g eſt, ſicut b g ad e q. Igitur [per
9 p 5] e q eſt æqualis h d. Quod eſt propoſitum. Quare à puncto a da
to, duximus lineam, ſecantem circulum, & à puncto ſectionis ad dia
metrum eſt æqualis lineæ datæ.
cationem] n g ſit æquidiſtans a b. Igitur [per 1 ax] angulus n g d æqualis eſt angulo n a g, & an-
gulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius tertio eſt æqualis. Quare [per 4 p. 1 d 6] triangu-
lum n d g ſimile triangulo a d g. Igitur proportio a d ad d g, ſicut g d ad d n. Quare [per 17 p 6] quod
fit ex ductu a d in d n eſt æquale quadrato d g. Verùm quadratum a d eſt æquale ei, quod fit ex du-
ctu b d in d g: ſicut probat Euclides 36 propoſitione [libri tertij,] & quadratum a d eſt æquale ei,
quod fit ex ductu a d in d n, & ei quod fit ex ductu a d in n a [per 2 p 2: ] & illud, quod fit ex ductu b d
in d g, eſt æquale quadrato d g, & ei quod fit ex ductu b g in g d: ſicut probat Euclides [3 p 2. ] Abla-
tis ergo æqualibus [quadrato nempe d g & rectangulo a d n] reſtat [per 3 ax,] ut, quòd fit ex du-
ctu a d in a n, ſit æquale ei, quod fit ex b g in g d. Igitur [per 16 p 6] proportio primæ lineæ ad ſecun
dam, eſt ſicut tertiæ ad quartam [nempe ut a d ad g d, ſic b g ad a n: & alternè [per 16 p 5] ut a d ad
b g, ſic g d ad a n. ] Quare [per conſectarium 4 p 5] proportio a n ad g d, ſicut b g ad a d. Sediam
dictum eſt, quòd proportio a n ad g d eſt, ſicut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q eſt æqualis a d. Quod
eſt propoſitum. Quòd ſi a d non tetigerit circulum, ſed ſecuerit, &
67[Figure 67]q d n e g h a b fuerit a g maior a b: ſecabit quidem arcũ a g. Secet ergo in puncto h:
& ducatur linea h g. Palàm [per 22 p 3] quòd duo anguli a h g, a b g
ualent duos rectos: ſed angulus n g d æqualis eſt a b g [per 29 p 1:
quia n g parallela ducta eſt ipſi a b. ] Igitur angulus a h g & angulus n
g d ſunt ęquales duobus rectis. Quare [per 13 p 1. 3 ax] angulus n g d
eſt ęqualis angulo n h g: & angulus n d g communis. Quare [per 32 p
1] tertius angulus tertio angulo eſt æqualis: & triangulum h g d ſimi
le triangulo n d g [per 4 p. 1 d 6. ] Igitur proportio h d ad d g eſt, ſicut
proportio d g ad d n. Quare [per 17 p 6] illud, quod fit ex ductu h d
in d n, eſt ęquale quadrato d g: ſed quod fit ex ductu a d in h d, eſt æ-
quale ei, quod fit ex ductu b d in d g, ſicut probat Euclides [cõſecta-
rio 36 p 3] & [per 1 p 2] illud, quod fit ex ductu a d in d h, eſt ęquale ei,
quod fit ex ductu d h in d n, & d h in a n: & [per 3 p 2] qđ fit ex ductu
b d in d g, eſt æquale ei, quod fit ex ductu b g in g d & quadrato d g.
Ablatis igitur æqualibus, ſcilicet quadrato d g, & eo, quod fit ex du-
ctu d h in d n: reſtat [per 3 ax] ut illud, quod fit ex ductu d h in a n, ſit
ęquale ei, quod fit ex ductu b g in d g. Quare proportio ſecundę lineę
ad quartam, id eſt a n ad g d, ſicut tertiæ ad primã, id eſt b g ad d h [eſt
enim per 16 p 6 ut d h ad d g, ſic b g ad a n: & per 16 p 5, ut d h ad b g,
ſic d g ad a n, & per conſectarium 4 p 5, ut a n ad d g, ſic b g ad d h. ] Sed iam probatum eſt, quòd pro-
portio a n ad d g, ſicut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q eſt ęqualis d h.
68[Figure 68]d q n g a e h b Et ita eſt propoſitum. Si uerò a g ſit minor a b: & ſecet a d arcum a b:
ſit ſectionis punctum h: & ducatur linea h g. Palàm [per fabricatio
nem primam & 29 p 1] quòd angulus n g d eſt æqualis angulo a b g:
ſed [per 27 p 3] anguli a b g, a h g ſunt æquales: quia cadunt in eundẽ
arcum. Igitur [per 1 ax] angulus n g d eſt æqualis angulo a h g, & an-
gulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius tertio æqualis: &
triangula ſimilia [per 4 p. 1 d 6. ] Igitur proportio h d ad d g, ſicut d g
ad d n. Quare [per 17 p 6] quod fit ex ductu h d in d n, eſt æquale qua
drato d g: ſed quod fit ex ductu h d in d a, eſt æquale ei, quod fit ex du
ctu b d in d g [per conſectarium Campani ad 36 p 3] & [per 1 p 2] qđ
fit ex ductu h d in d a, eſt æquale ei, quod fit ex ductu d n in h d & a n
in h d: & [per 3 p 2] ductus b d in d g ualet quadratum d g, & ductum
b g in d g. Igitur remotis æqualibus: [rectangulo nimirum h d n, &
quadrato d g] erit [per 3 ax] ductus h d in a n, ſicut b g in d g. Igitur
[per 16 p 6. 16 p. 13 d 5] proportio a n ad d g, ſicut b g ad h d. Sed iam
dictum eſt, quòd proportio a n ad d g eſt, ſicut b g ad e q. Igitur [per
9 p 5] e q eſt æqualis h d. Quod eſt propoſitum. Quare à puncto a da
to, duximus lineam, ſecantem circulum, & à puncto ſectionis ad dia
metrum eſt æqualis lineæ datæ.
34. À puncto peripheriæ circuli extra datam diametrum dato, ducere lineam rectam, it æ
ſectam data diametro, ut ſegmentum inter diametrum & punctum peripheriæ dato puncto op
poſitum, æquetur datæ rectæ, minori circuli diametro. 133 p 1.
ſectam data diametro, ut ſegmentum inter diametrum & punctum peripheriæ dato puncto op
poſitum, æquetur datæ rectæ, minori circuli diametro. 133 p 1.
AMplius à puncto dato in circulo, extra diametrum eius, eſt ducere lineam per diametrum ad
circulum, ut pars eius à diametro ad circulum, ſit æqualis lineę datæ. Verbi gratia: a b g ſit da
tus circulus: b g diameter: a punctum datum: h z linea data. Dico, quòd à puncto a eſt duce
re lineam, tranſeuntem per diametrum b g, cuius pars à diametro ad circulum ſit æqualis lineæ h z.
Ducantur lineæ a b, a g: & [per 23 p 1] ſuper punctum h fiat angulus ęqualis angulo a g b per lineam
m h: & ſuper idem punctum fiat angulus ęqualis angulo a b g per lineam h l: & [per 31 p 1] à puncto z
circulum, ut pars eius à diametro ad circulum, ſit æqualis lineę datæ. Verbi gratia: a b g ſit da
tus circulus: b g diameter: a punctum datum: h z linea data. Dico, quòd à puncto a eſt duce
re lineam, tranſeuntem per diametrum b g, cuius pars à diametro ad circulum ſit æqualis lineæ h z.
Ducantur lineæ a b, a g: & [per 23 p 1] ſuper punctum h fiat angulus ęqualis angulo a g b per lineam
m h: & ſuper idem punctum fiat angulus ęqualis angulo a b g per lineam h l: & [per 31 p 1] à puncto z