152146ALHAZEN
pars eius interiacens inter latera a b, a g, ſit eius proportionis ad partem lateris a g, quæ eſt ab illa li-
nea uſq; ad punctum g, ſicut ſe habet e ad z, quæ ſunt datę lineæ. Sit punctum d in ipſo triangulo
a b g: & [per 31 p 1] ducatur ab eo linea æquidiſtans a b: quæ ſit d m: & [per 5 p 4] ſuper tria puncta
g, m, d fiat circulus: & protrahatur linea a d. Quoniam [per 29 p 1]
71[Figure 71]q ſ a e z h a t d m c b d g n planum eſt, quòd angulus g m d eſt æqualis angulo g a b: erit [per
9 ax. ] maior g a d. Secetur ex eo æqualis per lineam m n: & ſit d n
m: & ſit [per 12 p 6] h linea, ad quam ſe habeat a d, ſicut ſe habet e
ad z: & à puncto n, quod eſt punctum circuli, ducatur linea ad dia-
metrum g m æqualis lineæ h, ſecundum ſuprà dicta [32 uel 33 n] &
ſit n l: [ita ut ſegmentum l c inter continuatam diametrum & peri
pheriam æquetur lineæ h] & punctum, in quo ſecat circulum, ſit c:
& ducatur linea g c: & à puncto d ducatur linea ad punctum c: quę,
cum cadat inter duas æquidiſtantes, tenens angulum acutum cum
altera, ſi producatur, neceſſariò concurret cum alia [per lẽma Pro-
cli ad 29 p 1. ] Cõcurrat igitur: & ſit punctum concurſus q. Planum
[per 27 p 3] quòd angulus g m d eſt æqualis angulo g c d: quia ca-
dunt in eundem arcum: & [per 29 p 1] angulus g m d eſt æqualis
angulo g a b: reſtat igitur [per 1 ax. 13 p 1. 3 ax. ] ut angulus g c q ſit
æqualis angulo g a q. Sit t punctum, in quo d q ſecat a g: & [per 15
p 1] angulus g t c eſt æqualis angulo a t q: igitur [per 32 p 1] tertius
tertio. Quare triangulum a t q ſimile triangulo t c g [per 4 p. 1 d 6. ]
Igitur proportio q t ad t g, ſicut a t ad t c. Verùm [per fabricationẽ]
angulus n m d eſt æqualis angulo t a d: & [per 27 p 3] angulo n c d
[id eſt per 15 p 1 angulo l c t. ] Quare [per 1 ax. ] l c t æqualis t a d: & angulus c t l communis duobus
triangulis: quare [per 32 p 1] tertius tertio: & triangulum ſimile triangulo, ſcilicet t l c triangulot
a d [per 4 p. 1 d 6. ] Igitur proportio t a ad t c, ſicut proportio a d ad l c. Quare [per 11 p 5] proportio
a d ad l c, ſicut q t ad t g [patuit enim, ut q t ad t g, ſic a t ad t c. ] Sed [per fabricationem] l c eſt æqua
lis lineæ h: & [per fabricationem] proportio a d ad h, ſicut e ad z. Ergo [per 7. 11 p 5] proportio q t
ad t g, ſicut e ad z. Quod eſt propoſitum. Si uerò d ſumatur in illo latere extra triangulum: produ-
catur [per 31 p 1] à puncto d, æquidiſtans a b: & ſit d m: & ducatur a g, donec concurrat cum d m in
puncto m, [concurrat autem per lemma Procli ad 29 p 1. ] Et fiat circulus tranſiens per tria pun-
cta g, d, m: & ducatur linea a d: erit
72[Figure 72]ſ a e z h d g c t b q a d n m73[Figure 73]d b q a ſ e z h g c a m n d quidem [per 16 p 1] angulus g a d ma
ior angulo g m d: fiat [per 23 p 1] ei æ-
qualis: & ſit n m d: & à pũcto n, quod
eſt punctum circuli, ducatur linea æ-
qualis h lineæ [id uerò fiet per 33 uel
34 n: ita ut non tota linea à puncto n
ducta, ſed pars eius contermina dia-
metro extrà continuatæ, æquetur ipſi
h] ad quam lineã h ſe habeat a d, ſicut
e ad z, & ſit n c l [tota nimirum linea,
cuius pars c l æquetur lineæ h] ſuper
diametrum m g: & concurſus ſit l. Cũ
igitur [per 22 p 3] angulus n m d & an
gulus n c d ualeant duos rectos: &
[per fabricationem] angulus n m d
ſit ęqualis angulo t a d: erũt duo trian
gula t c l, t a d ſimilia. [Quia enim an-
guli n c d & l c d æquantur duobus re
ctis per 13 p 1, quibus item ex conclu-
ſo æquantur n c d & t a d: communi igitur n c d ſubducto, æquabitur reliquus l c d reliquo t a d: &
anguli ad uerticem t æquantur per 15 p 1, & per 32 p 1, tertius tertio. Quare triangula t c l, t a d ſunt ſi-
milia per 4 p. 1 d 6. ] Et cum [per 27 p 3] duo anguli g c d, g m d ſint æquales: erunt duo triangula gt
c, t a q ſimilia: [Nam cum angulus g m d æquetur angulo t a q per 29 p 1 (parallelæ enim ſunt d m
b a per fabricationem) æquabitur per 1 ax. angulus t a q angulo t c g, & ad uerticem t æquantur per
15 p 1: ideoq́; per 32 p 1 triangula g t c, t a q ſunt æquiangula, & per 4 p. 1 d 6 ſimilia] & erit proportio
a d ad c l (quæ eſt æqualis h) ſicut q t ad t g: & ita eſt e ad z, ſicut q t ad t g. [Quia enim triangula t a d,
t c l ſunt æquiangula: erit per 4 p 6, ut a d ad c l, ſic a t ad t c. Rurſus quia triangula a t q, t c g funt æ-
quiangula: erit per 4 p 6, a t ad t c, ſicut q t ad t g. Quare per 11 p 5 ut a d ad cl (id eſt e ad z) ſic q t
ad t g. ] Quod eſt propoſitum.
nea uſq; ad punctum g, ſicut ſe habet e ad z, quæ ſunt datę lineæ. Sit punctum d in ipſo triangulo
a b g: & [per 31 p 1] ducatur ab eo linea æquidiſtans a b: quæ ſit d m: & [per 5 p 4] ſuper tria puncta
g, m, d fiat circulus: & protrahatur linea a d. Quoniam [per 29 p 1]
71[Figure 71]q ſ a e z h a t d m c b d g n planum eſt, quòd angulus g m d eſt æqualis angulo g a b: erit [per
9 ax. ] maior g a d. Secetur ex eo æqualis per lineam m n: & ſit d n
m: & ſit [per 12 p 6] h linea, ad quam ſe habeat a d, ſicut ſe habet e
ad z: & à puncto n, quod eſt punctum circuli, ducatur linea ad dia-
metrum g m æqualis lineæ h, ſecundum ſuprà dicta [32 uel 33 n] &
ſit n l: [ita ut ſegmentum l c inter continuatam diametrum & peri
pheriam æquetur lineæ h] & punctum, in quo ſecat circulum, ſit c:
& ducatur linea g c: & à puncto d ducatur linea ad punctum c: quę,
cum cadat inter duas æquidiſtantes, tenens angulum acutum cum
altera, ſi producatur, neceſſariò concurret cum alia [per lẽma Pro-
cli ad 29 p 1. ] Cõcurrat igitur: & ſit punctum concurſus q. Planum
[per 27 p 3] quòd angulus g m d eſt æqualis angulo g c d: quia ca-
dunt in eundem arcum: & [per 29 p 1] angulus g m d eſt æqualis
angulo g a b: reſtat igitur [per 1 ax. 13 p 1. 3 ax. ] ut angulus g c q ſit
æqualis angulo g a q. Sit t punctum, in quo d q ſecat a g: & [per 15
p 1] angulus g t c eſt æqualis angulo a t q: igitur [per 32 p 1] tertius
tertio. Quare triangulum a t q ſimile triangulo t c g [per 4 p. 1 d 6. ]
Igitur proportio q t ad t g, ſicut a t ad t c. Verùm [per fabricationẽ]
angulus n m d eſt æqualis angulo t a d: & [per 27 p 3] angulo n c d
[id eſt per 15 p 1 angulo l c t. ] Quare [per 1 ax. ] l c t æqualis t a d: & angulus c t l communis duobus
triangulis: quare [per 32 p 1] tertius tertio: & triangulum ſimile triangulo, ſcilicet t l c triangulot
a d [per 4 p. 1 d 6. ] Igitur proportio t a ad t c, ſicut proportio a d ad l c. Quare [per 11 p 5] proportio
a d ad l c, ſicut q t ad t g [patuit enim, ut q t ad t g, ſic a t ad t c. ] Sed [per fabricationem] l c eſt æqua
lis lineæ h: & [per fabricationem] proportio a d ad h, ſicut e ad z. Ergo [per 7. 11 p 5] proportio q t
ad t g, ſicut e ad z. Quod eſt propoſitum. Si uerò d ſumatur in illo latere extra triangulum: produ-
catur [per 31 p 1] à puncto d, æquidiſtans a b: & ſit d m: & ducatur a g, donec concurrat cum d m in
puncto m, [concurrat autem per lemma Procli ad 29 p 1. ] Et fiat circulus tranſiens per tria pun-
cta g, d, m: & ducatur linea a d: erit
72[Figure 72]ſ a e z h d g c t b q a d n m73[Figure 73]d b q a ſ e z h g c a m n d quidem [per 16 p 1] angulus g a d ma
ior angulo g m d: fiat [per 23 p 1] ei æ-
qualis: & ſit n m d: & à pũcto n, quod
eſt punctum circuli, ducatur linea æ-
qualis h lineæ [id uerò fiet per 33 uel
34 n: ita ut non tota linea à puncto n
ducta, ſed pars eius contermina dia-
metro extrà continuatæ, æquetur ipſi
h] ad quam lineã h ſe habeat a d, ſicut
e ad z, & ſit n c l [tota nimirum linea,
cuius pars c l æquetur lineæ h] ſuper
diametrum m g: & concurſus ſit l. Cũ
igitur [per 22 p 3] angulus n m d & an
gulus n c d ualeant duos rectos: &
[per fabricationem] angulus n m d
ſit ęqualis angulo t a d: erũt duo trian
gula t c l, t a d ſimilia. [Quia enim an-
guli n c d & l c d æquantur duobus re
ctis per 13 p 1, quibus item ex conclu-
ſo æquantur n c d & t a d: communi igitur n c d ſubducto, æquabitur reliquus l c d reliquo t a d: &
anguli ad uerticem t æquantur per 15 p 1, & per 32 p 1, tertius tertio. Quare triangula t c l, t a d ſunt ſi-
milia per 4 p. 1 d 6. ] Et cum [per 27 p 3] duo anguli g c d, g m d ſint æquales: erunt duo triangula gt
c, t a q ſimilia: [Nam cum angulus g m d æquetur angulo t a q per 29 p 1 (parallelæ enim ſunt d m
b a per fabricationem) æquabitur per 1 ax. angulus t a q angulo t c g, & ad uerticem t æquantur per
15 p 1: ideoq́; per 32 p 1 triangula g t c, t a q ſunt æquiangula, & per 4 p. 1 d 6 ſimilia] & erit proportio
a d ad c l (quæ eſt æqualis h) ſicut q t ad t g: & ita eſt e ad z, ſicut q t ad t g. [Quia enim triangula t a d,
t c l ſunt æquiangula: erit per 4 p 6, ut a d ad c l, ſic a t ad t c. Rurſus quia triangula a t q, t c g funt æ-
quiangula: erit per 4 p 6, a t ad t c, ſicut q t ad t g. Quare per 11 p 5 ut a d ad cl (id eſt e ad z) ſic q t
ad t g. ] Quod eſt propoſitum.
36. Duob{us} punctis extra circuli peripheriam, uel uno extra, reliquo intra datis: inuenire in
peripheria punctum, in quo recta linea ipſam tangẽs, bif ariam ſecet angulum comprehenſum
peripheria punctum, in quo recta linea ipſam tangẽs, bif ariam ſecet angulum comprehenſum
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib