Bélidor, Bernard Forest de - Nouveau cours de mathématique à l' usage de l' artillerie et du génie : où l' on applique les parties les plus utiles de cette science à la théorie & à la pratique des différens sujets qui peuvent avoir rapport à la guerre

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154116NOUVEAU COURS à la place de a ſa valeur b g, & à la place de c ſa valeur d g, on
aura bg. b : : dg. d. Le produit des extrêmes ſera bdg = bdg,
produit des moyens. Plus ſimplement, puiſque a. b : : e. f, &
que c. d : : e. f, on aura {a/b} = {e/f}, & {c/d} = {e/f}: donc {a/b} = {c/d}: donc
a. b : : c. d. C. Q. F. D.

PROPOSITION IV.

Théoreme.

220. Lorſque pluſieurs grandeurs ſont en proportion géomé-
trique, ou qu’elles forment des rapports égaux, la ſomme des an-
técédens eſt à la ſomme des conſéquens, comme un ſeul antécédent
eſt à ſon conſéquent; c’eſt-à-dire que ſi des grandeurs, comme
a, b, c, d forment les rapports égaux {a/b}={c/d}={e/f}, l’on aura
a + c + e. b + d + f : : a. b, ou comme c. d.

Demonstration.

Pour le prouver, nous ferons voir que le produit des moyens
eſt égal au produit des extrêmes, ou, ce qui eſt la même choſe,
que a b + b c + b e = a b + a d + a f; ce qui eſt bien évident:
car 1°. a b=a b, 2°. Puiſque {a/b}={c/d}, ou que a. b : : c. d, on
@ ad = bc. 3° Puiſque {a/b}={e/f}, ou que a. b : : e. f, on aura
a f = b e. Donc toutes les parties qui compoſent le produit
des extrêmes ſont égales à celles qui forment le produit des
moyens, & partant il y a proportion. C. Q. F. D.

PROPOSITION V.

Théoreme.

221. Deux grandeurs demeurent en même raiſon, quoi que l’on
leur ajoute, pourvu que ce que l’on ajoute à la premiere, ſoit à ce
que l’on ajoute à la ſeconde, comme la premiere eſt à la ſeconde.

Demonstration.

Si aux deux grandeurs a & b l’on ajoute les deux grandeurs
c & d, & que a ſoit à b, comme c & à d, je dis que a + c.
b+d : : a. b: car puiſque a. b : : c. d: donc alternando (n°. 215.)
a. c : : b. d: donc componendo (n°. 216.) a + c. a : : b + d. b,
& alternando. a + c. b + d : : a. d. C. Q. F. D.

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