154148ALHAZEN& t u a ſunt minores duobus rectis [per 17 p 1] cum a t & t u concurrant.
Quare duo anguli t u a & d
g u ſunt minores duobus rectis: igitur [per 11 ax. ] a u concurret cum d g. Dico, quòd concurret in
puncto d: quoniam efficiet cum lineis u g, g d triangulum ſimile triãgulo a u t: habebunt enim angu
lum a u g communem: & angulus t a u eſt æqualis angulo d g u [per concluſionẽ. ] Igitur [per 4 p 6]
proportio a u ad a t, ſicut u g ad lineam, quã ſecat a u ex d g: & [per 3 p 6] proportio e a ad a u, ſicute
gad g u: cũ ſit angulus u a g ęqualis angulo g a e [per fabricationem. ] Cum ergo eadem ſit propor-
tio e a ad a t, ficut e g ad g d [ex concluſo] & proportio e a ad a t, ſit compoſita ex proportione e a ad
a u & a u ad a t [ratio enim extremorum cõponitur ex omnib. rationibus intermedijs, ut demonſtra
uit Theon ad 5 d 6] erit proportio e g ad g d cõpoſita ex ijſdem. Quare erit cõpacta ex proportione
e g ad g u & g u ad lineã, quã ſecat a u ex d g. Sed [ratio e g ad g d] eſt cõpacta ex proportionib. e g ad
g u & g u ad g d. Igitur linea, quã ſecat a u ex g d, eſt linea g d: igitur a u ſecat d g in puncto d. Produca
tur ergo [per 17 p 3] à puncto a cõtingens: quę ſit h a: erit ergo [per 18 p 3] g a h rectus: ſed g a l eſt me
dietas anguli d g u: igitur angulus l a h eſt medietas anguli d g e: cũ illi duo [d g u, d g e] ualeãt duos
rectos [per 13 p 1. ] Sed cũ angulus t a u ſit æqualis angulo d g u: erit angulus t a d ęqualis d g e [per 13
p 1. 3 ax. ] Igitur angulus l a h eſt medietas anguli t a d: & angulus e a l medietas anguli e a t [quia, ut
patuit, e a l æquatur ipſi l a t: ] igitur angulus e a h medietas anguli e a d. Quare a h diuidit angulum
e a d per ęqualia. Quod eſt propoſitũ. Si uerò a u (cum ſit angulus ſuper punctum a ęqualis angu
lo g a e) non cadit ſuper lineam e s extra circulum, uel intra: ſit ergo æquidiſtans. Igitur [ք 29 p 1] an
gulus u a g ęqualis eſt angulo a g e: ſed idem eſt æqualis angulo g a e [ex theſi. ] Quare [per 1 ax. ] an
gulus g a e eſt æqua-
76[Figure 76]d a u m l t z c g s h q lis angulo a g e: igi-
tur [per 6 p 1] e g eſt
æqualis a e. Simili
ter angulus t a d erit
ęqualis angulo a t g
[per 29 p 1. ] Sed iam
dictum eſt [in primo
caſu huius numeri]
quòd angulus t a d
eſt ęqualis angulo d
g t. Igitur angulus a t g eſt ęqualis angulo d g t: & ſimiliter [per 29 p 1] duo anguli a d g, d g t ſunt ę-
quales: igitur duo anguli a d g, a t g ſunt ęquales. Sequetur ergo ex his, quòd linea, quam ſecat a u ex
d g, ſit ęqualis lineæ a t [nam cũ anguli a t g, d g t: itẽ a d g, t a d ęquentur: ęquabitur per 6 p 1 t m ipſi
m g: item m d ipſi m a. Itaq; ſi ęqualibus ęqualia addantur: ęquabitur d g ipſi a t. ] Et iam dictum eſt,
quòd e g ęqualis ſit a e. Igitur [per 7 p 5] proportio e g ad lineam, quã ſecat a u e x d g, eſt ſicut a e ad
a t. Sed iam dictum eſt ut a e ad a t, ſic e g ad g d: igitur linea, quã ſecat a u ex d g, eſt d g. Et cum t a d
ſit æqualis d g t: erit l a h medietas anguli t a d, ſicut dictum eſt ſuprà, & e a l medietas e a t. Erit ergo
e a h medietas anguli e a d. Quod eſt propoſitum.
g u ſunt minores duobus rectis: igitur [per 11 ax. ] a u concurret cum d g. Dico, quòd concurret in
puncto d: quoniam efficiet cum lineis u g, g d triangulum ſimile triãgulo a u t: habebunt enim angu
lum a u g communem: & angulus t a u eſt æqualis angulo d g u [per concluſionẽ. ] Igitur [per 4 p 6]
proportio a u ad a t, ſicut u g ad lineam, quã ſecat a u ex d g: & [per 3 p 6] proportio e a ad a u, ſicute
gad g u: cũ ſit angulus u a g ęqualis angulo g a e [per fabricationem. ] Cum ergo eadem ſit propor-
tio e a ad a t, ficut e g ad g d [ex concluſo] & proportio e a ad a t, ſit compoſita ex proportione e a ad
a u & a u ad a t [ratio enim extremorum cõponitur ex omnib. rationibus intermedijs, ut demonſtra
uit Theon ad 5 d 6] erit proportio e g ad g d cõpoſita ex ijſdem. Quare erit cõpacta ex proportione
e g ad g u & g u ad lineã, quã ſecat a u ex d g. Sed [ratio e g ad g d] eſt cõpacta ex proportionib. e g ad
g u & g u ad g d. Igitur linea, quã ſecat a u ex g d, eſt linea g d: igitur a u ſecat d g in puncto d. Produca
tur ergo [per 17 p 3] à puncto a cõtingens: quę ſit h a: erit ergo [per 18 p 3] g a h rectus: ſed g a l eſt me
dietas anguli d g u: igitur angulus l a h eſt medietas anguli d g e: cũ illi duo [d g u, d g e] ualeãt duos
rectos [per 13 p 1. ] Sed cũ angulus t a u ſit æqualis angulo d g u: erit angulus t a d ęqualis d g e [per 13
p 1. 3 ax. ] Igitur angulus l a h eſt medietas anguli t a d: & angulus e a l medietas anguli e a t [quia, ut
patuit, e a l æquatur ipſi l a t: ] igitur angulus e a h medietas anguli e a d. Quare a h diuidit angulum
e a d per ęqualia. Quod eſt propoſitũ. Si uerò a u (cum ſit angulus ſuper punctum a ęqualis angu
lo g a e) non cadit ſuper lineam e s extra circulum, uel intra: ſit ergo æquidiſtans. Igitur [ք 29 p 1] an
gulus u a g ęqualis eſt angulo a g e: ſed idem eſt æqualis angulo g a e [ex theſi. ] Quare [per 1 ax. ] an
gulus g a e eſt æqua-
76[Figure 76]d a u m l t z c g s h q lis angulo a g e: igi-
tur [per 6 p 1] e g eſt
æqualis a e. Simili
ter angulus t a d erit
ęqualis angulo a t g
[per 29 p 1. ] Sed iam
dictum eſt [in primo
caſu huius numeri]
quòd angulus t a d
eſt ęqualis angulo d
g t. Igitur angulus a t g eſt ęqualis angulo d g t: & ſimiliter [per 29 p 1] duo anguli a d g, d g t ſunt ę-
quales: igitur duo anguli a d g, a t g ſunt ęquales. Sequetur ergo ex his, quòd linea, quam ſecat a u ex
d g, ſit ęqualis lineæ a t [nam cũ anguli a t g, d g t: itẽ a d g, t a d ęquentur: ęquabitur per 6 p 1 t m ipſi
m g: item m d ipſi m a. Itaq; ſi ęqualibus ęqualia addantur: ęquabitur d g ipſi a t. ] Et iam dictum eſt,
quòd e g ęqualis ſit a e. Igitur [per 7 p 5] proportio e g ad lineam, quã ſecat a u e x d g, eſt ſicut a e ad
a t. Sed iam dictum eſt ut a e ad a t, ſic e g ad g d: igitur linea, quã ſecat a u ex d g, eſt d g. Et cum t a d
ſit æqualis d g t: erit l a h medietas anguli t a d, ſicut dictum eſt ſuprà, & e a l medietas e a t. Erit ergo
e a h medietas anguli e a d. Quod eſt propoſitum.
37. À dato extra circulum puncto, ducere ad datam diametrũ, lineã rectã: cui{us} pars inter
peripheriam & datam diametrum æquetur parti diametri centro circuli conterminæ. 136 p 1.
peripheriam & datam diametrum æquetur parti diametri centro circuli conterminæ. 136 p 1.
AMplius:
dato circulo, cuius centrum g:
& data in eo diametro b g:
& dato e puncto extra cir-
culum: eſt ducere à puncto e ad diametrum b g, lineã ſecãtem circulum, ita ut pars eius à cir-
culo uſq; ad diametrũ ſit ęqualis parti diametri, interiacenti inter ipſam & centrum. Verbi
gratia: ducatur à puncto e perpendicularis ſuper diametrum: & ſit e c: & ducatur linea e g: & ſuma-
tur linea q t æqualis e c: & [per 33 p 3] fiat ſuper q t portio circuli, ut quilibet angulus cadens in hanc
portionem, ſit ęqualis angul e g b: & compleatur circulus [per 25 p 3] & à medio puncto q t duca-
tur ex utraq; parte perpẽdicularis uſq; ad circulũ: erit quidẽ [per coſectarium 1 p 3] dιameter huius
circuli: & à puncto q ducatur linea ad hanc diametrũ, ſecans eam in puncto f, & producatur uſq; ad
punctum p circuli, ita ut f p ſit æqualis medietati g b [per 34 n] & ducatur linea p t, & linea t f, Et du
catur à puncto p linea
77[Figure 77]k b d z e i c g x78[Figure 78]p n f o m u q ſ ęquidiſtans diametro:
quæ ſit p u: cõcurratq́;
cũ t f in puncto u: [con
curret autem per lem-
ma Procli ad 29 p 1] &
à puncto u ducatur æ-
quidiſtãs t q: quæ ſit u
o: & à pũcto t ducatur
perpendicularis ſuper
p q: quæ ſit t n: & à pun
cto t ducatur æquidiſtans p q: quæ ſit t s: & à puncto u perpendicularis ſuper p q: quæ ſit u h. Dein
de [per 23 p 1] ex angulo b g e ſecetur angulus æqualis angulo q p u: [id aũt fieri poteſt, cum totus
angulus q p t ęquetur ք theſin angulo b g e: ideoq́; pars illius ab hoc toto detrahi poteſt] ꝗ ſit b g d:
culum: eſt ducere à puncto e ad diametrum b g, lineã ſecãtem circulum, ita ut pars eius à cir-
culo uſq; ad diametrũ ſit ęqualis parti diametri, interiacenti inter ipſam & centrum. Verbi
gratia: ducatur à puncto e perpendicularis ſuper diametrum: & ſit e c: & ducatur linea e g: & ſuma-
tur linea q t æqualis e c: & [per 33 p 3] fiat ſuper q t portio circuli, ut quilibet angulus cadens in hanc
portionem, ſit ęqualis angul e g b: & compleatur circulus [per 25 p 3] & à medio puncto q t duca-
tur ex utraq; parte perpẽdicularis uſq; ad circulũ: erit quidẽ [per coſectarium 1 p 3] dιameter huius
circuli: & à puncto q ducatur linea ad hanc diametrũ, ſecans eam in puncto f, & producatur uſq; ad
punctum p circuli, ita ut f p ſit æqualis medietati g b [per 34 n] & ducatur linea p t, & linea t f, Et du
catur à puncto p linea
77[Figure 77]k b d z e i c g x78[Figure 78]p n f o m u q ſ ęquidiſtans diametro:
quæ ſit p u: cõcurratq́;
cũ t f in puncto u: [con
curret autem per lem-
ma Procli ad 29 p 1] &
à puncto u ducatur æ-
quidiſtãs t q: quæ ſit u
o: & à pũcto t ducatur
perpendicularis ſuper
p q: quæ ſit t n: & à pun
cto t ducatur æquidiſtans p q: quæ ſit t s: & à puncto u perpendicularis ſuper p q: quæ ſit u h. Dein
de [per 23 p 1] ex angulo b g e ſecetur angulus æqualis angulo q p u: [id aũt fieri poteſt, cum totus
angulus q p t ęquetur ք theſin angulo b g e: ideoq́; pars illius ab hoc toto detrahi poteſt] ꝗ ſit b g d: