155149OPTICAE LIBER V.& ducatur linea e d z.
Dico, quòd d z eſt ęqualis z g:
& ducatur à puncto d perpendicularis ſuper b
g: quæ ſit d i. & ducatur [per 17 p 3] à puncto d contingens: quę ſit d k. Palàm, cũ diameter fl ſit per-
pendicularis ſuper q t [per fabricationem] & ſuper o u [per 29 p 1] & p u ſit ęquidiſtans ei: erit [per
29 p 1] angulus o u p rectus: & cum o u diuidatur à diametro per æqualia & orthogonaliter: [Nam
per fabricationẽ, 29. 32 p 1 triangula f q l, f o m: itẽ f l t, f m u ſunt ęquiangula. Itaq; per 4 p 6 ut q l ad
l f, ſic o m ad m f: & ut fl ad l t, ſic f m ad m u: ergo per 22 p 5 ut q l ad l t, ſic o m ad m u: atqui per fabri-
cationem q l ęquatur ipſi l t: ergo o m ęquatur ipſi m u] erit [per 4 p 1] f o ęqualis fu, & angulus f o u
ęqualis angulo f u o. Sed cũ duo anguli p o u, o p u ualeant rectum [per 32 p 1: quia angulus ad u re-
ctus oſtenſus eſt] erit angulus f u p ęqualis angulo f p u. [angulus enim f o u ęquatur angulo f u o ex
concluſo, & anguli p o u & o p u ęquantur uni recto. Quare anguli f u o f p u æquantur uni recto: &
angulus o u p rectus eſt: ſubducto igitur cõmuni angulo f u o: reliquus f u p æquabitur reliquo f p u
per 3 ax. ] Quare [per 6 p 1] f p ęqualis eſt f u: & ita [per 1 ax. ] æqualis f o: & ita p o ęqualis b g: [quia
f p æquatur per fabricationem dimidię g b, & ex concluſo ipſi f o: tota igitur p o ęquatur toti b g] &
æqualis g d: [per 15 d 1] & ita [per 7 p 5] e c ad g d, ſicut t q ad p o. Sed cũ angulus k d g ſit rectus [per
18 p 3] æqualis angulo g i d: & angulus i g d cõmunis: erit triangulum i g d ſimile triangulo k d g: [ք
32 p 1. 4 p. 1 d 6] & proportio g d ad d i, ſicut g k a d k d. Sed [per fabricationẽ] angulus k g d eſt ęqua-
lis angulo o p u, & angulus k d g rectus, æqualis o u p: & ita triangulum k g d ſimile triangulo o u p:
& [per 1 d 6] proportio g k ad k d, ſicut o p ad o u. Igitur [per 11 p 5] d g ad d i, ſicut o p ad o u. Igitur
proportio e c ad d i, ſicut t q ad o u [demõſtratum enim eſt, ut e c ad g d, ſic t q ad p o: & ut g d ad d i,
ſic p o ad o u: ergo per 22 p 5, ut e c ad d i, ſic t q ad o u. ] Sed proportio q t ad o u, ſicut t f, ad f u: cũ triã
gulum t f q ſit ſimile triangulo o f u [per 29 p 1. 4 p. 1 d 6. ] Verũ [per fabricationem & 29 p 1] angulus
u t s æqualis angulo h f u: quia coalternus ei: & angulus u s t rectus, æqualis angulo f h u: erit trian-
gulum u s t ſimile triangulo h u f: & ita proportio t u ad u f, ſicut s u ad u h: [quare per 18 p 5 t fad u f,
ſicut s h ad u h. ] Sed [per 34 p 1] t n æqualis s h: cum ſit ei ęquidiſtans [per 28 p 1: quia anguli ad h &
n interiores ſunt recti per fabricationẽ] & ſint inter duas æquidiſtãtes. Igitur [per 7 p 5] proportio
t f ad u f, ſicut t n ad u h. Quare proportio q t ad o u, ſicut t n ad u h: & e c ad d i, ſicut t n ad u h [Nã o-
ſtenſum eſt, ut e c ad d i, ſic t q ad o u: itẽ ut t q ad o u, ſic t f ad u f: & ut t f ad u f, ſic s h, id eſt, t n ad u h:
ergo per 11 p 5 ut e c ad d i, ſic t n ad u h. ] Sed cum [per fabricationem] angulus g i d ſit rectus, æqua-
lis angulo p h u, & angulus i g d ęqualis angulo h p u: eſt triangulũ i g d ſimile h p u triangulo: & [per
1 d 6] proportio i d ad g d, ſicut h u ad u p: quare proportio e c ad g d, ſicut t n ad u p [oſtenſum enim
eſt proximè ut e c ad d i, ſic t n ad u h: & ut d i ad g d, ſic u h ad u p: ergo ex æquo ut e c ad d g, ſic t n ad
u p. ] Sed cum [per fabricationem] c g e ſit ęqualis angulo n p t, & angulus g c e rectus, ęqualis p n t:
erιt [ք 32 p 1. 4 p 6] g e ad e c, ſicut p t ad t n. Igitur g e ad g d, ſicut p t ad u p: [patuit enim, ut g e ad e c,
ſic p t ad t n: & ut e c ad d g, ſic t n ad u p: ergo ք 22 p 5, ut g e ad d g, ſic p t ad u p. ] Sed [ք fabricationẽ,
3 ax. ] angulus d g e eſt ęqualis angulo u p t. Igitur triangulũ d g e ſimile triangulo u p t: [ք 6. 4 p. 1 d
6] ergo angulus g d e ęqualis angulo p u t: reſtat ergo [per 13 p 1. 3 ax. ] angulus g d z ęqualis angulo
f u p: [& per fabricationẽ angulus f p u æquatur angulo z g d] quare tertius tertio [per 32 p 1: ideoq́;
triangula z g d, f p u erunt æquiangula] & [per 4 p 6] proportio d z ad z g, ſicut u f ad f p: ſed u f ęqua
lis eſt f p. Ergo d z ęqualis z g. Quod eſt propoſitum.
g: quæ ſit d i. & ducatur [per 17 p 3] à puncto d contingens: quę ſit d k. Palàm, cũ diameter fl ſit per-
pendicularis ſuper q t [per fabricationem] & ſuper o u [per 29 p 1] & p u ſit ęquidiſtans ei: erit [per
29 p 1] angulus o u p rectus: & cum o u diuidatur à diametro per æqualia & orthogonaliter: [Nam
per fabricationẽ, 29. 32 p 1 triangula f q l, f o m: itẽ f l t, f m u ſunt ęquiangula. Itaq; per 4 p 6 ut q l ad
l f, ſic o m ad m f: & ut fl ad l t, ſic f m ad m u: ergo per 22 p 5 ut q l ad l t, ſic o m ad m u: atqui per fabri-
cationem q l ęquatur ipſi l t: ergo o m ęquatur ipſi m u] erit [per 4 p 1] f o ęqualis fu, & angulus f o u
ęqualis angulo f u o. Sed cũ duo anguli p o u, o p u ualeant rectum [per 32 p 1: quia angulus ad u re-
ctus oſtenſus eſt] erit angulus f u p ęqualis angulo f p u. [angulus enim f o u ęquatur angulo f u o ex
concluſo, & anguli p o u & o p u ęquantur uni recto. Quare anguli f u o f p u æquantur uni recto: &
angulus o u p rectus eſt: ſubducto igitur cõmuni angulo f u o: reliquus f u p æquabitur reliquo f p u
per 3 ax. ] Quare [per 6 p 1] f p ęqualis eſt f u: & ita [per 1 ax. ] æqualis f o: & ita p o ęqualis b g: [quia
f p æquatur per fabricationem dimidię g b, & ex concluſo ipſi f o: tota igitur p o ęquatur toti b g] &
æqualis g d: [per 15 d 1] & ita [per 7 p 5] e c ad g d, ſicut t q ad p o. Sed cũ angulus k d g ſit rectus [per
18 p 3] æqualis angulo g i d: & angulus i g d cõmunis: erit triangulum i g d ſimile triangulo k d g: [ք
32 p 1. 4 p. 1 d 6] & proportio g d ad d i, ſicut g k a d k d. Sed [per fabricationẽ] angulus k g d eſt ęqua-
lis angulo o p u, & angulus k d g rectus, æqualis o u p: & ita triangulum k g d ſimile triangulo o u p:
& [per 1 d 6] proportio g k ad k d, ſicut o p ad o u. Igitur [per 11 p 5] d g ad d i, ſicut o p ad o u. Igitur
proportio e c ad d i, ſicut t q ad o u [demõſtratum enim eſt, ut e c ad g d, ſic t q ad p o: & ut g d ad d i,
ſic p o ad o u: ergo per 22 p 5, ut e c ad d i, ſic t q ad o u. ] Sed proportio q t ad o u, ſicut t f, ad f u: cũ triã
gulum t f q ſit ſimile triangulo o f u [per 29 p 1. 4 p. 1 d 6. ] Verũ [per fabricationem & 29 p 1] angulus
u t s æqualis angulo h f u: quia coalternus ei: & angulus u s t rectus, æqualis angulo f h u: erit trian-
gulum u s t ſimile triangulo h u f: & ita proportio t u ad u f, ſicut s u ad u h: [quare per 18 p 5 t fad u f,
ſicut s h ad u h. ] Sed [per 34 p 1] t n æqualis s h: cum ſit ei ęquidiſtans [per 28 p 1: quia anguli ad h &
n interiores ſunt recti per fabricationẽ] & ſint inter duas æquidiſtãtes. Igitur [per 7 p 5] proportio
t f ad u f, ſicut t n ad u h. Quare proportio q t ad o u, ſicut t n ad u h: & e c ad d i, ſicut t n ad u h [Nã o-
ſtenſum eſt, ut e c ad d i, ſic t q ad o u: itẽ ut t q ad o u, ſic t f ad u f: & ut t f ad u f, ſic s h, id eſt, t n ad u h:
ergo per 11 p 5 ut e c ad d i, ſic t n ad u h. ] Sed cum [per fabricationem] angulus g i d ſit rectus, æqua-
lis angulo p h u, & angulus i g d ęqualis angulo h p u: eſt triangulũ i g d ſimile h p u triangulo: & [per
1 d 6] proportio i d ad g d, ſicut h u ad u p: quare proportio e c ad g d, ſicut t n ad u p [oſtenſum enim
eſt proximè ut e c ad d i, ſic t n ad u h: & ut d i ad g d, ſic u h ad u p: ergo ex æquo ut e c ad d g, ſic t n ad
u p. ] Sed cum [per fabricationem] c g e ſit ęqualis angulo n p t, & angulus g c e rectus, ęqualis p n t:
erιt [ք 32 p 1. 4 p 6] g e ad e c, ſicut p t ad t n. Igitur g e ad g d, ſicut p t ad u p: [patuit enim, ut g e ad e c,
ſic p t ad t n: & ut e c ad d g, ſic t n ad u p: ergo ք 22 p 5, ut g e ad d g, ſic p t ad u p. ] Sed [ք fabricationẽ,
3 ax. ] angulus d g e eſt ęqualis angulo u p t. Igitur triangulũ d g e ſimile triangulo u p t: [ք 6. 4 p. 1 d
6] ergo angulus g d e ęqualis angulo p u t: reſtat ergo [per 13 p 1. 3 ax. ] angulus g d z ęqualis angulo
f u p: [& per fabricationẽ angulus f p u æquatur angulo z g d] quare tertius tertio [per 32 p 1: ideoq́;
triangula z g d, f p u erunt æquiangula] & [per 4 p 6] proportio d z ad z g, ſicut u f ad f p: ſed u f ęqua
lis eſt f p. Ergo d z ęqualis z g. Quod eſt propoſitum.
38. À puncto dato in altero laterũ trianguli rectanguli, angulũ rectũ continentiũ, ducere
ad lat{us} angulo recto oppoſitũ, rectã cõcurrẽtẽ cũ reliquo latere infinito: ita, ut tota ad ſegmẽtũ
lateris angulo recto oppoſiti, cõterminũ primo lateri, habeat rationẽ in duab. rectis datã. 137 p 1.
ad lat{us} angulo recto oppoſitũ, rectã cõcurrẽtẽ cũ reliquo latere infinito: ita, ut tota ad ſegmẽtũ
lateris angulo recto oppoſiti, cõterminũ primo lateri, habeat rationẽ in duab. rectis datã. 137 p 1.
AMplius:
dato triangulo orthogonio a b g:
cuius angulus a b g rectus:
& dato in b g, uel a b pũ
cto d: eſt ducere lineã à puncto d ad latus a g, concurrentẽ in puncto, quod ſit q: & ex alia par
te cõcurrentẽ cũ alio latere: ut ipſa totalis ſe habeat ad g q, ſicut eſt e ad z. Verbi gratia: duca-
tur à puncto d ęquidiſtãs a b: quæ ſit d m: & [ք
79[Figure 79]a a n m e z h q ſ b d g d t c 5 p 4] fiat circulus, trãſiens per tria puncta d,
m, g: erit m g diameter [per conſectariũ 5 p 4]
& ducatur linea a d: & ſit [per 12 p 6] h linea, ad
quã ſe habet a d, ſicut e ad z. Et cũ [per 29 p 1]
angulus d m g ſit ęqualis b a g: ſecetur ex eo ę-
qualis angulo d a g: & ſit c m d: & ducatur m c,
quouſq; contingat circulũ in puncto c: à quo
ducatur [per 34 n] linea ad diametrũ m g uſq;
ad circulum: ita quòd l n ſit æqualis lineæ h: &
ducatur linea n g, & linea d n cõcurrens cũ a g
in puncto q, & cũ a b in puncto t. Cũ igitur [ք
27 p 3] angulus d m c ſit æqualis angulo d n c: quia ſuper eundẽ arcũ: erit [per 1 ax. ] angulus q n l æ-
qualis angulo d a q, & [per 15 p 1] n q l æqualis angulo d q a. Quare [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum
n q l ſimile triangulo d q a: ergo a q ad q n, ſicut a d ad n l. Verũ cũ angulus d m g ſit ęqualis angulo d
n g [per 27 p 3] erit [per 1 ax. ] q n g ęqualis t a q. Sit t punctũ, in quo d n concurrit cũ a b: & [ք 15 p 1]
angulus t q a ęqualis angulo n q g: erit triangulũ t q a ſimile triãgulo n q g: & [per 1 d 6. 16 p 5] erit ꝓ-
portio a q ad q n, ſicut t q ad q g. Igitur [per 11 p 5] proportio t q ad q g, ſicut a d ad n l: ſed [per fabri-
cto d: eſt ducere lineã à puncto d ad latus a g, concurrentẽ in puncto, quod ſit q: & ex alia par
te cõcurrentẽ cũ alio latere: ut ipſa totalis ſe habeat ad g q, ſicut eſt e ad z. Verbi gratia: duca-
tur à puncto d ęquidiſtãs a b: quæ ſit d m: & [ք
79[Figure 79]a a n m e z h q ſ b d g d t c 5 p 4] fiat circulus, trãſiens per tria puncta d,
m, g: erit m g diameter [per conſectariũ 5 p 4]
& ducatur linea a d: & ſit [per 12 p 6] h linea, ad
quã ſe habet a d, ſicut e ad z. Et cũ [per 29 p 1]
angulus d m g ſit ęqualis b a g: ſecetur ex eo ę-
qualis angulo d a g: & ſit c m d: & ducatur m c,
quouſq; contingat circulũ in puncto c: à quo
ducatur [per 34 n] linea ad diametrũ m g uſq;
ad circulum: ita quòd l n ſit æqualis lineæ h: &
ducatur linea n g, & linea d n cõcurrens cũ a g
in puncto q, & cũ a b in puncto t. Cũ igitur [ք
27 p 3] angulus d m c ſit æqualis angulo d n c: quia ſuper eundẽ arcũ: erit [per 1 ax. ] angulus q n l æ-
qualis angulo d a q, & [per 15 p 1] n q l æqualis angulo d q a. Quare [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum
n q l ſimile triangulo d q a: ergo a q ad q n, ſicut a d ad n l. Verũ cũ angulus d m g ſit ęqualis angulo d
n g [per 27 p 3] erit [per 1 ax. ] q n g ęqualis t a q. Sit t punctũ, in quo d n concurrit cũ a b: & [ք 15 p 1]
angulus t q a ęqualis angulo n q g: erit triangulũ t q a ſimile triãgulo n q g: & [per 1 d 6. 16 p 5] erit ꝓ-
portio a q ad q n, ſicut t q ad q g. Igitur [per 11 p 5] proportio t q ad q g, ſicut a d ad n l: ſed [per fabri-