156150ALHAZEN
cationẽ] n l ęqualis h:
& a d ad h, ſicut e ad z.
Igitur [ք 11 p 5] t q ad q g, ſicut e ad z.
Qđ eſt ꝓpoſitum.
Põt aũt cõtĩgere: quòd à pũcto c erit ducere lineas duas, ſimiles c l n: & tũc erit ducere duas lineas à
puncto d, ſimiles t q, ut utriuſq; ad partẽ, ꝗ̃ ſecat ex a g, ſit ꝓportio, ſicut e ad z: & erit eadẽ probatio.
Põt aũt cõtĩgere: quòd à pũcto c erit ducere lineas duas, ſimiles c l n: & tũc erit ducere duas lineas à
puncto d, ſimiles t q, ut utriuſq; ad partẽ, ꝗ̃ ſecat ex a g, ſit ꝓportio, ſicut e ad z: & erit eadẽ probatio.
39. Viſu & uiſibili à centro ſpeculi ſphærici conuexi inæquabiliter diſtantib{us}, punctum re-
flexionis inuenire. 22 p 6.
flexionis inuenire. 22 p 6.
PRędictis habitis, dato ſpeculo ſphærico:
erit inuenire punctũ reflexionis.
Verbi gratia:
ſit a cẽ-
trũ uiſus: b punctũ uiſum: g centrũ ſphærę: & ducantur lineę a g, b g: & ſumatur ſuperficies, in
qua ſunt hę duę lineæ [ſunt enim in eadẽ ſuքficie ք 23 n 4] & ſumatur circulus, cõmunis huic
ſuperficiei & ſpeculo. Inuenietur ergo punctũ reflexionis in hoc circulo. Et ſumatur linea alia m k:
& [ք 10 p 6] diuidatur in pũcto f, ut m f ſe habeat ad f k, ſicut b g ad g a: & [per 10 p 1] diuidatur m k ք
æqualia in puncto o: & [per 11 p 1] ducatur à puncto o perpẽdicularis: quę ſit c o: & ducatur à pũcto
k linea ad c o, tenens cũ ea angulũ æqualẽ medietati anguli b g a: [hoc aũt fiet: ſi linea e g bifariã ſe-
cans angulũ b g a, & o c infinitę intelligãtur, educta à puncto b perpendiculari ſuper e g, fiat angu-
lus o k c ęqualis angulo e b g: tũc enim (quia anguli ad o & e ſunt recti) ęquabitur angulus o c k an-
gulo e g b per 32 p 1] quę ſit k c: & à pũcto f ducatur linea ad c k: quę ſit f p: & cõcurrat cũ c o in pũcto
s, ita ut proportio s p ad p k ſit, ſicut b g ad ſemidiametrũ g d [per pręcedentẽ numerũ. ] Et [ք 23 p 1]
ex angulo b g a ſecetur ęqualis angulo f p k: [Id aũt fieri poſſe hinc cõſtat. Quia enim angulus s c p,
maior angulo c s p per 18 p 1 (cũ latus p s maius ſit latere c p: ſecus propoſitũ problema per lineã m k
expediri nõ poſſet) ęquetur per fabricationẽ dimidiato angulo b g a: ergo c s p eodẽ dimidiato mi-
nor eſt. Quare duo anguli s c p, c s p minores ſunt angulo b g a: at per 32 p 1 duob. angulis s c p, c s p
ęquatur angulus s p k: idcirco s p k minor eſt angulo b g a. Itaq; ab hoc ęqualis illi detrahi poteſt] ſci
licet d g b: & ducãtur lineę s k, b d: erit igitur [ք fabricationẽ] ꝓportio b g ad g d, ſicut s p ad p k: & i-
ta [per 6. 4 p. 1 d 6] triangulũ
80[Figure 80]c p r m o f k y s81[Figure 81]b f e m h u d a i z q c t y g ſ s p k ſimile triãgulo b g d: &
erit angulus s k p ęqualis an
gulo b d g. Sed forſan ſecun-
dũ prędicta [34. 38 n] poteri-
mus à puncto f ducere aliã li
neã ad c k, ſimilẽ s p: ut ſit ꝓ-
portio eius ad partẽ, ꝗ̃ ſeca-
bit ex c k, ſicut s p ad p k: &
tũc à pũcto k ad o s ducetur
alia linea ꝗ̃ s k, aliũ cũ c k an-
gulũ tenẽs maiorẽ uel mino
rem angulo c k s Si maior ex
his angulis non fuerit maior
recto: nõ licebit inuenire pũ
ctũ reflexionis [ut mox oſtẽ
detur. ] Sit ergo angulus c k s maior recto: erit angulus b d g [ꝗ illi ęqualis eſt oſtẽſus] maior recto.
& inuenitur punctũ ſic. Ducatur [ք 17 p 3] cõtingens n d y. Et quia angulus p k o eſt minor recto [ք
32 p 1: ꝗ a c o k rectus eſt ք fabricationẽ] ſecetur [per 23 p 1] ex angulo b d g [ꝗ recto maior eſt ex con-
cluſione] æqualis ei: quι ſit q d g: eſt igitur triangulũ f p k ſimile triãgulo q g d [ęquatus. n. eſt angu-
lus s p k angulo b g d, & q d g angulo p k f: reliquus igitur ad f ęquatur reliquo ad q ք 32 p 1, & ք 4 p. 1
d 6 triãgula f p k, q d g ſunt ſimilia] & erit angulus d q b ęqualis angulo k f s [ք 13 p 1. 3 ax. ] & trιãgulũ
d q b ſimile triangulo k f s. [totus. n. angulus p k s ęquatur toti b d g, ut patuit: & p k f ęquatur ipſi q d
g ք proximã fabricationẽ: ergo per 3 ax. reliquus f k s ęquatur reliquo q d b: & ք 32 p 1 tertius tertio.
Itaq; per 4 p. 1 d 6 d q b, k f s triangula ſunt ſimilia. ] Producatur d q, & [per 12 p 1] ducatur à puncto b
perpẽdicularis ſuք ipſam: quę ſit b z: erit [per 13 p 1] angulus b q z ęqualis angulo s f o & angulus b z
q rectus, ęqualis angulo s o f: & ita triãgulũ b q z ſimile triangulo s f o. Ducatur d z uſq; ad punctũ i:
& ſit z i ęqualis z d [per 3 p 1. ] Palã [è triangulorũ z q b, s o f: itẽ q d b, k f s ſimilitudine] quòd z q ad
q b, & q b ad q d, ſicut o f ad f s, & f s ad f k [ideoq́; per 22 p 5, ut z q ad q d, ſic o f ad f k] & ex hoc [per
18 p 5] z d ad q d, ſicut o k ad f k: & ita [ſumendo antecedentiũ dupla per 15 p 5] i d ad q d, ſicut m k
ad f k: & ita [per 17 p 5] i q ad q d, ſicut m f ad f k: & [per 11 p 5] i q ad q d, ſicut b g ad g a [eſt enim per
fabricationẽ m f ad f k, ſicut b g ad g a. ] Ducatur aũt linea b i: & ei æquidiſtãs d l: erit triangulũ l d q
ſimile triãgulo b q i: [Nã per 29 p 1 angulus q d l ęquatur angulo b i q, & per 15 p 1 d q lipſi b q i: itaq;
per 32 p 1 reliquus reliquo: & per 4 p. 1 d 6 triãgula d q l, b q i erunt ſimilia] & ꝓportio i q ad q d, ſicut
i b ad d l. Et cum i z ſit ęqualis z d, & b z perpendicularis: erit [per 4 p 1] b d æqualis b i. Quare e-
rit [per 7. 11 p 5] b d ad d l, ſicut b g ad g a. Ducatur à puncto d linea: quę ſit d h, æqualem tenens angu
lum cũ linea l d, angulo b g a: & cũ h l & d l concurrant: erunt [per 17 p 1] l h d, l d h minores duobus
rectis: & ita duo anguli a g h, d h g, eis ęquales, ſunt minores duobus rectis: quare [ք 11 ax. ] h d cõcur
ret cũ g a. Dico quòd cõcurret in pũcto a. Palã [per 18 p 3] quòd angulus g d n rectus, eſt ęqualis duo
bus angulis o c k & o k c: [quia ęqualis eſt angulo m o c recto, ęquali eiſdẽ angulis per 32 p 1] & an-
gulus o k c ęqualis angulo g d q: per fabricationem] reſtat [per 3 ax. ] angulus q d n ęqualis angu-
trũ uiſus: b punctũ uiſum: g centrũ ſphærę: & ducantur lineę a g, b g: & ſumatur ſuperficies, in
qua ſunt hę duę lineæ [ſunt enim in eadẽ ſuքficie ք 23 n 4] & ſumatur circulus, cõmunis huic
ſuperficiei & ſpeculo. Inuenietur ergo punctũ reflexionis in hoc circulo. Et ſumatur linea alia m k:
& [ք 10 p 6] diuidatur in pũcto f, ut m f ſe habeat ad f k, ſicut b g ad g a: & [per 10 p 1] diuidatur m k ք
æqualia in puncto o: & [per 11 p 1] ducatur à puncto o perpẽdicularis: quę ſit c o: & ducatur à pũcto
k linea ad c o, tenens cũ ea angulũ æqualẽ medietati anguli b g a: [hoc aũt fiet: ſi linea e g bifariã ſe-
cans angulũ b g a, & o c infinitę intelligãtur, educta à puncto b perpendiculari ſuper e g, fiat angu-
lus o k c ęqualis angulo e b g: tũc enim (quia anguli ad o & e ſunt recti) ęquabitur angulus o c k an-
gulo e g b per 32 p 1] quę ſit k c: & à pũcto f ducatur linea ad c k: quę ſit f p: & cõcurrat cũ c o in pũcto
s, ita ut proportio s p ad p k ſit, ſicut b g ad ſemidiametrũ g d [per pręcedentẽ numerũ. ] Et [ք 23 p 1]
ex angulo b g a ſecetur ęqualis angulo f p k: [Id aũt fieri poſſe hinc cõſtat. Quia enim angulus s c p,
maior angulo c s p per 18 p 1 (cũ latus p s maius ſit latere c p: ſecus propoſitũ problema per lineã m k
expediri nõ poſſet) ęquetur per fabricationẽ dimidiato angulo b g a: ergo c s p eodẽ dimidiato mi-
nor eſt. Quare duo anguli s c p, c s p minores ſunt angulo b g a: at per 32 p 1 duob. angulis s c p, c s p
ęquatur angulus s p k: idcirco s p k minor eſt angulo b g a. Itaq; ab hoc ęqualis illi detrahi poteſt] ſci
licet d g b: & ducãtur lineę s k, b d: erit igitur [ք fabricationẽ] ꝓportio b g ad g d, ſicut s p ad p k: & i-
ta [per 6. 4 p. 1 d 6] triangulũ
80[Figure 80]c p r m o f k y s81[Figure 81]b f e m h u d a i z q c t y g ſ s p k ſimile triãgulo b g d: &
erit angulus s k p ęqualis an
gulo b d g. Sed forſan ſecun-
dũ prędicta [34. 38 n] poteri-
mus à puncto f ducere aliã li
neã ad c k, ſimilẽ s p: ut ſit ꝓ-
portio eius ad partẽ, ꝗ̃ ſeca-
bit ex c k, ſicut s p ad p k: &
tũc à pũcto k ad o s ducetur
alia linea ꝗ̃ s k, aliũ cũ c k an-
gulũ tenẽs maiorẽ uel mino
rem angulo c k s Si maior ex
his angulis non fuerit maior
recto: nõ licebit inuenire pũ
ctũ reflexionis [ut mox oſtẽ
detur. ] Sit ergo angulus c k s maior recto: erit angulus b d g [ꝗ illi ęqualis eſt oſtẽſus] maior recto.
& inuenitur punctũ ſic. Ducatur [ք 17 p 3] cõtingens n d y. Et quia angulus p k o eſt minor recto [ք
32 p 1: ꝗ a c o k rectus eſt ք fabricationẽ] ſecetur [per 23 p 1] ex angulo b d g [ꝗ recto maior eſt ex con-
cluſione] æqualis ei: quι ſit q d g: eſt igitur triangulũ f p k ſimile triãgulo q g d [ęquatus. n. eſt angu-
lus s p k angulo b g d, & q d g angulo p k f: reliquus igitur ad f ęquatur reliquo ad q ք 32 p 1, & ք 4 p. 1
d 6 triãgula f p k, q d g ſunt ſimilia] & erit angulus d q b ęqualis angulo k f s [ք 13 p 1. 3 ax. ] & trιãgulũ
d q b ſimile triangulo k f s. [totus. n. angulus p k s ęquatur toti b d g, ut patuit: & p k f ęquatur ipſi q d
g ք proximã fabricationẽ: ergo per 3 ax. reliquus f k s ęquatur reliquo q d b: & ք 32 p 1 tertius tertio.
Itaq; per 4 p. 1 d 6 d q b, k f s triangula ſunt ſimilia. ] Producatur d q, & [per 12 p 1] ducatur à puncto b
perpẽdicularis ſuք ipſam: quę ſit b z: erit [per 13 p 1] angulus b q z ęqualis angulo s f o & angulus b z
q rectus, ęqualis angulo s o f: & ita triãgulũ b q z ſimile triangulo s f o. Ducatur d z uſq; ad punctũ i:
& ſit z i ęqualis z d [per 3 p 1. ] Palã [è triangulorũ z q b, s o f: itẽ q d b, k f s ſimilitudine] quòd z q ad
q b, & q b ad q d, ſicut o f ad f s, & f s ad f k [ideoq́; per 22 p 5, ut z q ad q d, ſic o f ad f k] & ex hoc [per
18 p 5] z d ad q d, ſicut o k ad f k: & ita [ſumendo antecedentiũ dupla per 15 p 5] i d ad q d, ſicut m k
ad f k: & ita [per 17 p 5] i q ad q d, ſicut m f ad f k: & [per 11 p 5] i q ad q d, ſicut b g ad g a [eſt enim per
fabricationẽ m f ad f k, ſicut b g ad g a. ] Ducatur aũt linea b i: & ei æquidiſtãs d l: erit triangulũ l d q
ſimile triãgulo b q i: [Nã per 29 p 1 angulus q d l ęquatur angulo b i q, & per 15 p 1 d q lipſi b q i: itaq;
per 32 p 1 reliquus reliquo: & per 4 p. 1 d 6 triãgula d q l, b q i erunt ſimilia] & ꝓportio i q ad q d, ſicut
i b ad d l. Et cum i z ſit ęqualis z d, & b z perpendicularis: erit [per 4 p 1] b d æqualis b i. Quare e-
rit [per 7. 11 p 5] b d ad d l, ſicut b g ad g a. Ducatur à puncto d linea: quę ſit d h, æqualem tenens angu
lum cũ linea l d, angulo b g a: & cũ h l & d l concurrant: erunt [per 17 p 1] l h d, l d h minores duobus
rectis: & ita duo anguli a g h, d h g, eis ęquales, ſunt minores duobus rectis: quare [ք 11 ax. ] h d cõcur
ret cũ g a. Dico quòd cõcurret in pũcto a. Palã [per 18 p 3] quòd angulus g d n rectus, eſt ęqualis duo
bus angulis o c k & o k c: [quia ęqualis eſt angulo m o c recto, ęquali eiſdẽ angulis per 32 p 1] & an-
gulus o k c ęqualis angulo g d q: per fabricationem] reſtat [per 3 ax. ] angulus q d n ęqualis angu-