157151OPTICAE LIBER V.
lo o c k:
& ita q d n medietas anguli b g a, & ita medietas anguli h d l [æquati angulo b g a.
] Sed [ք
3 p 6] angulus q d b eſt medietas anguli b d l: quoniã ꝓportio b q ad q l, ſicut b d ad d l: cũ triangulũ
d l q ſit ſimile triangulo b q i [ex cõcluſo] & b d æqualis b i, [ut patuit. ] Reſtat ergo, ut angulus n d
b ſit medietas anguli h d b: & ita b d n æqualis n d h. Producatur g d ultra d a d punctũ f. Quia igitur
[per 18 p 3] anguli f d n, g d n ſunt recti: ergo [ք 3 ax. ] reſtat b d f æqualis angulo h d g: Sed angulus
h d g æqualis angulo f d a contrà poſito [per 15 p 1. ] Quare b d f æqualis f d a. Et ita d eſt punctũ re-
flexionis [per 12 n 4. ] Ita dico: ſi a d cõcurrat cũ a g in pũcto a: quod quidẽ ſic patebit. Ducatur [per
31 p 1] linea h t æquidiſtãs b d. Palàm [è proximè demõſtratis] quòd angulus b d f æqualis eſt an-
gulo h d g: ſed [per 29 p 1] b d f eſt æqualis angulo h t d [ergo per 1 ax. h d g, h t d æquãtur. ] Quare
[per 6 p 1] h t erit æqualis h d. Sed proportio b d ad h t, ſicut b g ad g h. [ſunt enim triangula b d g, h
t g æquiangula: quãdoquidẽ angulus ad g cõmunis eſt, & g h t æquatur g b d per 29 p 1: ideoq́; per
32 p 1 tertius tertio. Quare per 4 p 6 habẽt latera æqualib. angulis oppoſita homologa. ] Igitur [per
7 p 5] proportio b d ad d h, ſicut b g ad g h. Sed h d producta cõcurret cũ g a [ut mõſtratũ eſt] & fiet
triangulũ ſimile triangulo h d l: cũ habeant angulũ l h d cõmunẽ, & angulus h d l ſit æqualis angulo
h g a [per fabricationẽ: & per 32 p 1 reliquus reliquo. ] Igitur [per 4 p 6] proportio h d ad d l, ſicut h
g ad lineã, ꝗ̃ ſecat h d ex g a: & ꝓportio b d ad d l cõſtat ex ꝓportiõe b d ad d h, & d h ad d l [ratio. n.
extremorũ cõponitur ex omnib. ratiõib. intermedijs, ut oſtẽdit Theon ad 5 d 6. ] Igitur cõſtat ex b g
ad g h, & g h ad lineã, ꝗ̃ ſecath d ex g a: ſed b d ad d l, ſicut b g ad g a [ut patuit. ] Igitur ꝓportio b g ad
g a cõſtat ex ꝓportionib. b g ad g h & g h ad lineã, ꝗ̃ ſecat h d ex g a: ſed cõſtat ex ꝓportionib. b g ad
g h, & g h ad g a. Igitur g a eſt linea ꝗ̃ ſecat h d ex g a: & ita cõcurret cũ ea in pũcto a. Qđ eſt ꝓpoſitũ.
3 p 6] angulus q d b eſt medietas anguli b d l: quoniã ꝓportio b q ad q l, ſicut b d ad d l: cũ triangulũ
d l q ſit ſimile triangulo b q i [ex cõcluſo] & b d æqualis b i, [ut patuit. ] Reſtat ergo, ut angulus n d
b ſit medietas anguli h d b: & ita b d n æqualis n d h. Producatur g d ultra d a d punctũ f. Quia igitur
[per 18 p 3] anguli f d n, g d n ſunt recti: ergo [ք 3 ax. ] reſtat b d f æqualis angulo h d g: Sed angulus
h d g æqualis angulo f d a contrà poſito [per 15 p 1. ] Quare b d f æqualis f d a. Et ita d eſt punctũ re-
flexionis [per 12 n 4. ] Ita dico: ſi a d cõcurrat cũ a g in pũcto a: quod quidẽ ſic patebit. Ducatur [per
31 p 1] linea h t æquidiſtãs b d. Palàm [è proximè demõſtratis] quòd angulus b d f æqualis eſt an-
gulo h d g: ſed [per 29 p 1] b d f eſt æqualis angulo h t d [ergo per 1 ax. h d g, h t d æquãtur. ] Quare
[per 6 p 1] h t erit æqualis h d. Sed proportio b d ad h t, ſicut b g ad g h. [ſunt enim triangula b d g, h
t g æquiangula: quãdoquidẽ angulus ad g cõmunis eſt, & g h t æquatur g b d per 29 p 1: ideoq́; per
32 p 1 tertius tertio. Quare per 4 p 6 habẽt latera æqualib. angulis oppoſita homologa. ] Igitur [per
7 p 5] proportio b d ad d h, ſicut b g ad g h. Sed h d producta cõcurret cũ g a [ut mõſtratũ eſt] & fiet
triangulũ ſimile triangulo h d l: cũ habeant angulũ l h d cõmunẽ, & angulus h d l ſit æqualis angulo
h g a [per fabricationẽ: & per 32 p 1 reliquus reliquo. ] Igitur [per 4 p 6] proportio h d ad d l, ſicut h
g ad lineã, ꝗ̃ ſecat h d ex g a: & ꝓportio b d ad d l cõſtat ex ꝓportiõe b d ad d h, & d h ad d l [ratio. n.
extremorũ cõponitur ex omnib. ratiõib. intermedijs, ut oſtẽdit Theon ad 5 d 6. ] Igitur cõſtat ex b g
ad g h, & g h ad lineã, ꝗ̃ ſecath d ex g a: ſed b d ad d l, ſicut b g ad g a [ut patuit. ] Igitur ꝓportio b g ad
g a cõſtat ex ꝓportionib. b g ad g h & g h ad lineã, ꝗ̃ ſecat h d ex g a: ſed cõſtat ex ꝓportionib. b g ad
g h, & g h ad g a. Igitur g a eſt linea ꝗ̃ ſecat h d ex g a: & ita cõcurret cũ ea in pũcto a. Qđ eſt ꝓpoſitũ.
40. Si radi{us} à uiſibili ſpeculo ſphærico cõuexo obliquè incidens, cum ſemidiametro eiuſdem an-
gulũ nõ maiorẽ recto coprehendat: non reflectetur ad uiſum ab illo incidẽtiæ puncto. 21. 22 p 6.
gulũ nõ maiorẽ recto coprehendat: non reflectetur ad uiſum ab illo incidẽtiæ puncto. 21. 22 p 6.
SI uerò angulus c k s nõ fuerit maior recto.
Dico, qđ nõ fiet reflexio ab aliquo pũcto ſpeculi ad
uiſum. Si enim dicatur, quòd poteſt: Sit d punctũ reflexionis: & producatur linea a d uſq; ad h
punctũ in diametro b g. Et [per 23 p 1] fiat angulus l d h æqualis angulo a g b: & producatur
cõtingens n d y: & fiat angu
82[Figure 82]c p p m o f k s s83[Figure 83]b e n h d a i z q u t y g ſ x lus q d n æqualis medietati
anguli a g b. Palàm, quòd
triangulũ h d l ſimile eſt tri-
angulo h g a [quia enim an-
gulus h d l æquatus eſt an-
gulo h g a: & d h g eſt com-
munis: æquabitur per 32 p 1
tertius tertio: & per 4 p. 1 d
6 triangula erunt ſimilia. ]
Quare proportio d h ad d l,
ſicut h g ad g a: ſed b d ad d
h, ſicut b g ad g h: qđ pate-
bit per æquidiſtantẽ h t ipſi
b d. [ſic enim triangula b g
d, h g t fient æquiangula. Et
h d ęquatur ipſi h t. Nam quia d per theſin eſt punctum reflexionis, & e g perpendicularis plano ſpe
culũ in reflexionis puncto tãgenti per 25 n 4: ęquabitur angulus b d e angulo a d e per 12 n 4: & per
29 p 1 b d e, id eſt a d e, id eſt ք 15 p 1 h d t ęquatur ipſi h t d: Itaq; per 6 p 1 latus h d æquatur lateri h t. ]
Igitur b d ad d l, ſicut b g ad g a [quia enim ex cõcluſo eſt, ut b d ad d h, ſic b g ad g h: itẽ ut d h ad d l,
ſic g h ad g a: erit per 22 p 5, ut b d ad d l, ſic b g ad g a. ] Sed cũ angulus b d e ſit æqualis angulo h d g:
[ex cõcluſo] erit angulus b d n medietas anguli b d h [nã angulι n d e, n d g recti per 18 p 3, æquãtur
per 10 ax: & b d e ipſi h d g: ergo per 3 ax. reliquus b d n reliquo h d n æquatur. Itaq; b d n dimidius
eſt ipſius b d h. ] Sed n d q eſt medietas anguli h d l [eſt enim per fabricationẽ dimidius anguli a g b,
cui æquatus eſt h d l. ] Igitur b d q medietas anguli b d l. Quare [per 3 p 6] proportio b q ad q l, ſicut
b d ad d l. Ducatur [ք 31 p 1] à pũcto b ęquidiſtãs d l: & ſit b i: & cõcurrat d q cũ e a in pũcto i: [cõcur-
ret aũt per lẽma Procli ad 29 p 1] & [ք 10 p 1] diuidatur d i in æqualia in pũcto z: & ducatur b z: e-
rit [ք 29. 15. 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulũ b q i ſimile triangulo q d l. Igitur ut b q ad q l, ſic b i ad d l [at
oſtẽſum eſt, ut b q ad q l, ſic b d ad d l: ergo per 11 p 5 ut b i ad d l, ſic b d ad d l] & ita [per 9 p 5] b i ę-
qualis b d: & i q ad q d, ſicut m f ad f k: [eſt enim ob triangulorum b q i, q d l ſimilitudinem, ut i q ad
q d, ſic b q ad q l: & ut b q ad q l, ſic b i, id eſt, b d ad d l: & ut b d ad d l, ſic b g ad g a ex cõcluſo: & ut b g
ad g a, ſic m f ad f k per fabricationẽ: ergo per 11 p 5, ut i q ad q d, ſic m f ad f k] & ita [per 18 p 5] i d ad
q d, ſicut m k ad f k: & ita [ſumendo antecedentiũ dimidia per 15 p 5] d z ad q d, ſicut o k ad f k: & ita
[per 17 p 5] z q ad q d, ſicut o f ad fk. Palàm, quòd b z eſt perpendicularis: [quia enim b i æquatur
b d ex concluſo, & i z ipſi z d per fabricationem, & b z communis eſt: erũt triangula i b z, d b z æqui-
angula ք 8 p 1: & angulus b z i æquabitur angulo b z d: ſuntq́; deinceps: Quare per 10 d 1 b z perpẽdi
cularis eſt i d] ꝓducatur, donec cõcurrat cũ d g in pũcto x: qđ quidẽ poſsibile eſt [per 11 ax. ] cũ an-
gulus d z x ſit rectus, z d x minor recto. Et palã, qđ ꝓportio b g ad g d, ſicut s p ad p k: [ք fabricatio-
nẽ. ] Cũ ergo angulus c k s dicatur nõ eſſe maior recto: dico, qđ ſuք pũctũ k fiet maior recto, ք lineã
uiſum. Si enim dicatur, quòd poteſt: Sit d punctũ reflexionis: & producatur linea a d uſq; ad h
punctũ in diametro b g. Et [per 23 p 1] fiat angulus l d h æqualis angulo a g b: & producatur
cõtingens n d y: & fiat angu
82[Figure 82]c p p m o f k s s83[Figure 83]b e n h d a i z q u t y g ſ x lus q d n æqualis medietati
anguli a g b. Palàm, quòd
triangulũ h d l ſimile eſt tri-
angulo h g a [quia enim an-
gulus h d l æquatus eſt an-
gulo h g a: & d h g eſt com-
munis: æquabitur per 32 p 1
tertius tertio: & per 4 p. 1 d
6 triangula erunt ſimilia. ]
Quare proportio d h ad d l,
ſicut h g ad g a: ſed b d ad d
h, ſicut b g ad g h: qđ pate-
bit per æquidiſtantẽ h t ipſi
b d. [ſic enim triangula b g
d, h g t fient æquiangula. Et
h d ęquatur ipſi h t. Nam quia d per theſin eſt punctum reflexionis, & e g perpendicularis plano ſpe
culũ in reflexionis puncto tãgenti per 25 n 4: ęquabitur angulus b d e angulo a d e per 12 n 4: & per
29 p 1 b d e, id eſt a d e, id eſt ք 15 p 1 h d t ęquatur ipſi h t d: Itaq; per 6 p 1 latus h d æquatur lateri h t. ]
Igitur b d ad d l, ſicut b g ad g a [quia enim ex cõcluſo eſt, ut b d ad d h, ſic b g ad g h: itẽ ut d h ad d l,
ſic g h ad g a: erit per 22 p 5, ut b d ad d l, ſic b g ad g a. ] Sed cũ angulus b d e ſit æqualis angulo h d g:
[ex cõcluſo] erit angulus b d n medietas anguli b d h [nã angulι n d e, n d g recti per 18 p 3, æquãtur
per 10 ax: & b d e ipſi h d g: ergo per 3 ax. reliquus b d n reliquo h d n æquatur. Itaq; b d n dimidius
eſt ipſius b d h. ] Sed n d q eſt medietas anguli h d l [eſt enim per fabricationẽ dimidius anguli a g b,
cui æquatus eſt h d l. ] Igitur b d q medietas anguli b d l. Quare [per 3 p 6] proportio b q ad q l, ſicut
b d ad d l. Ducatur [ք 31 p 1] à pũcto b ęquidiſtãs d l: & ſit b i: & cõcurrat d q cũ e a in pũcto i: [cõcur-
ret aũt per lẽma Procli ad 29 p 1] & [ք 10 p 1] diuidatur d i in æqualia in pũcto z: & ducatur b z: e-
rit [ք 29. 15. 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulũ b q i ſimile triangulo q d l. Igitur ut b q ad q l, ſic b i ad d l [at
oſtẽſum eſt, ut b q ad q l, ſic b d ad d l: ergo per 11 p 5 ut b i ad d l, ſic b d ad d l] & ita [per 9 p 5] b i ę-
qualis b d: & i q ad q d, ſicut m f ad f k: [eſt enim ob triangulorum b q i, q d l ſimilitudinem, ut i q ad
q d, ſic b q ad q l: & ut b q ad q l, ſic b i, id eſt, b d ad d l: & ut b d ad d l, ſic b g ad g a ex cõcluſo: & ut b g
ad g a, ſic m f ad f k per fabricationẽ: ergo per 11 p 5, ut i q ad q d, ſic m f ad f k] & ita [per 18 p 5] i d ad
q d, ſicut m k ad f k: & ita [ſumendo antecedentiũ dimidia per 15 p 5] d z ad q d, ſicut o k ad f k: & ita
[per 17 p 5] z q ad q d, ſicut o f ad fk. Palàm, quòd b z eſt perpendicularis: [quia enim b i æquatur
b d ex concluſo, & i z ipſi z d per fabricationem, & b z communis eſt: erũt triangula i b z, d b z æqui-
angula ք 8 p 1: & angulus b z i æquabitur angulo b z d: ſuntq́; deinceps: Quare per 10 d 1 b z perpẽdi
cularis eſt i d] ꝓducatur, donec cõcurrat cũ d g in pũcto x: qđ quidẽ poſsibile eſt [per 11 ax. ] cũ an-
gulus d z x ſit rectus, z d x minor recto. Et palã, qđ ꝓportio b g ad g d, ſicut s p ad p k: [ք fabricatio-
nẽ. ] Cũ ergo angulus c k s dicatur nõ eſſe maior recto: dico, qđ ſuք pũctũ k fiet maior recto, ք lineã
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib