158431ET HYPERBOLÆ QUADRATURA.
æqualibus quantitatibus addendo, ſubtrahendo, multiplican-
do, dividendo, & c: ſicut ſuperius dictum eſt, ſemper ma-
net poteſtas ipſius a in ultimo producto ex termino a3 + a2 b
altior poteſtate ulla ipſius a in ultimo producto termini
ba2 + b2 a, quoniam illos cum æqualibus quantitatibus ad-
dendo, ſubſtrahendo, & c, ſemper manent in factis eædem
poteſtates, & illos in ſe eodem modo multiplicando ſemper
magis elevatur altior poteſtas in termino a3 + a2 b quam ele-
vatur depreſſior poteſtas in termino ba2 + b2 a, & ex illis
eaſdem radices extrahendo, ubi a fuerat elevatior in poteſta-
te erit etiam elevatior in radice: & quoniam eadem reperitur
altiſſima poteſtas ipſius a in termino ab2 + b3 quæ reperitur
in termino 2b2 a, demonſtratur ut antè altiſſimam poteſta-
tem ipſius a in ultimo producto ex termino ab2 + b3 eandem
eſſe cum altiſſima poteſtate ipſius a in ultimo producto ex
termino 2b2 a: in ultimo igitur producto termini a3 + a2 b
reperitur altior poteſtas ipſius a quam in ultimo producto
termini ba2 + b2a, & in ultimo producto termini ab2 + b3
altiſſima poteſtas ipſius a eadem eſt cum altiſſima poteſtate
ipſius a in ultimo producto termini 2b2 a; & igitur ultima
producta ex terminis a3 + a2b, ab2 + b3, eodem modo inter
ſe addita, ſubducta, multiplicata, diviſa, & c. ſemper effi-
cient quantitatem, in qua reperitur altior poteſtas ipſius a
quam ulla quæ reperiri poteſt in quantitate facta ex eadem
prorſus additione, ſubductione, multiplicatione, diviſione,
& c, productorum à terminis ba2 + b2 a, 2b2 a; quoniam al-
tior poteſtas cum altera poteſtate ſemper altiorem facit po-
teſtatem quam depreſſior poteſtas cum eadem altera poteſta-
te; & igitur iſtæ duæ quantitates non poſſunt eſſe indefini-
tè æquales, cum reperiatur altior poteſtas ipſius a in una
quam in altera: atque hinc evidens eſt quod ſector circuli,
ellipſeos vel hyperbolæ A B I P non poſſit componi analy-
ticè à triangulo A B P & trapezio A B F P, quod demon-
ſtrandum erat.
do, dividendo, & c: ſicut ſuperius dictum eſt, ſemper ma-
net poteſtas ipſius a in ultimo producto ex termino a3 + a2 b
altior poteſtate ulla ipſius a in ultimo producto termini
ba2 + b2 a, quoniam illos cum æqualibus quantitatibus ad-
dendo, ſubſtrahendo, & c, ſemper manent in factis eædem
poteſtates, & illos in ſe eodem modo multiplicando ſemper
magis elevatur altior poteſtas in termino a3 + a2 b quam ele-
vatur depreſſior poteſtas in termino ba2 + b2 a, & ex illis
eaſdem radices extrahendo, ubi a fuerat elevatior in poteſta-
te erit etiam elevatior in radice: & quoniam eadem reperitur
altiſſima poteſtas ipſius a in termino ab2 + b3 quæ reperitur
in termino 2b2 a, demonſtratur ut antè altiſſimam poteſta-
tem ipſius a in ultimo producto ex termino ab2 + b3 eandem
eſſe cum altiſſima poteſtate ipſius a in ultimo producto ex
termino 2b2 a: in ultimo igitur producto termini a3 + a2 b
reperitur altior poteſtas ipſius a quam in ultimo producto
termini ba2 + b2a, & in ultimo producto termini ab2 + b3
altiſſima poteſtas ipſius a eadem eſt cum altiſſima poteſtate
ipſius a in ultimo producto termini 2b2 a; & igitur ultima
producta ex terminis a3 + a2b, ab2 + b3, eodem modo inter
ſe addita, ſubducta, multiplicata, diviſa, & c. ſemper effi-
cient quantitatem, in qua reperitur altior poteſtas ipſius a
quam ulla quæ reperiri poteſt in quantitate facta ex eadem
prorſus additione, ſubductione, multiplicatione, diviſione,
& c, productorum à terminis ba2 + b2 a, 2b2 a; quoniam al-
tior poteſtas cum altera poteſtate ſemper altiorem facit po-
teſtatem quam depreſſior poteſtas cum eadem altera poteſta-
te; & igitur iſtæ duæ quantitates non poſſunt eſſe indefini-
tè æquales, cum reperiatur altior poteſtas ipſius a in una
quam in altera: atque hinc evidens eſt quod ſector circuli,
ellipſeos vel hyperbolæ A B I P non poſſit componi analy-
ticè à triangulo A B P & trapezio A B F P, quod demon-
ſtrandum erat.
Ut autem evidentius fiat propoſitum, aliam demonſtratio-
nem treviorem faciliorem & ex alio medio petitam hic
nem treviorem faciliorem & ex alio medio petitam hic