45. Si cõmunis ſectio ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculi cylindracei cõuexi fuerit ellipſis: imago
uiſibilis obliquè reflexi, aliâs in ſuքficie ſpeculi: aliâs intra: aliâs extra ſpeculũ uidebitur. 49 p 7.
uiſibilis obliquè reflexi, aliâs in ſuքficie ſpeculi: aliâs intra: aliâs extra ſpeculũ uidebitur. 49 p 7.
AMplius:
ſumatur ſectio columnaris:
& ſumatur in ea punctũ a:
& ducatur contingens ſectio-
nẽ: quæ ſit e a t: & ſumatur perpendicularis ſuper a tintra ſpeculũ: quę ſit d a. Palàm, quòd d
a diuidit ſectionẽ in duas partes, in quarũ utraq; eſt punctũ unicũ, cuius puncti linea cõtin-
gens, erit æ quidiſtans a d. Sit ergo aliud punctũ g, cuius cõtingens cõcurrat cũ linea a d in puncto
h: & ducatur perpendicularis ſuper hãc cõtingentẽ: quæ ſit q g: & hæc quidẽ neceſſariò cõcurret cũ
h d, ſicut oſtenſum eſt in præcedente figura [eſt enim angulus q g h per fabricationẽ rectus: ergo q
g a maior eſt recto: & ob id h a g recto maior eſt. Itaq; per 13 p 1 d g a, d a g ſunt minores duobus re-
ctis. Quare per 11 ax. q g, h a cotinuatæ cõcurrent. ] Sit concurſus in puncto d: & ducatur linea g a
uſq; ad p: & ducatur linea q a. Igitur angulus q a h aut eſt æqualis angulo h a p: aut maior: aut mi-
nor. Sit ęqualis. Procedet igitur forma puncti q ad
86[Figure 86]s f h q n x r p l z u t m a b o e g k d a, & reflectetur ad p [per 12 n 4] quod uiſus ſit: &
locus imaginis erit punctũ ſectionis columnaris,
ſcilicet g [per 4 n. ] Si uerò ſupra punctum q ſuma
tur aliquod punctũ, ut punctũ f: erit quidẽ angulus
f a h minor angulo h a p [quia angulus h a p æqua-
tur h a q, qui per 9 ax. maior eſtangulo h a f. ] Fiat ei
æqualis n a h: cõcurret quidẽ n a cũg q [per 11 ax.
ut antea] intra columnã. [quia punctũ n ſublimi-
us eſt puncto p. ] Sit in puncto k. Palã ergo, quòd
imago puncti f erit in puncto k [per 4 n] & imagi-
nes omniũ punctorũ lineæ q fultra punctũ q, intra
columnã. Si uerò inter q & t ſumatur punctum ali-
quod: ut punctũ r: erit angulus r a h maior angulo
h a p [quia h a p æquatur h a q, quo angulus h a r
maior eſt per 9 ax. ] Fiat ei ęqualis h a m. Palàm, qđ
m a cadet ſupra lineã g q, & extra ſectionem [cũ e-
nim linea p a (quæ cũ h a cõtinet angulũ æqualem
h a q) cõcurrat cũ ſectione in puncto g: & punctũ m ſit inferius puncto p: linea igitur m a cõtinua-
ta cõcurret cũ g q extra ſectionẽ. ] Sit in pũcto o. Erit igitur imago r in pũcto o [per 4 n. ] Et omniũ
punctorũ inter t, q interiacentiũ imagines, erũt extra ſectionẽ inter o & g. Siuerò angulus q a h fue
rit minor angulo h a p: ſecetur ex eo æqualis: & ſit h a n. Palàm, quòd imago q erit in puncto k: & o-
mniũ punctorũ ſuperiorũ imagines erũt intra ſectionẽ. Si uerò inferius ſumatur r punctũ, ut angu-
lus r a h ſit ęqualis angulo h a p: erit imago r in ſectione: & oẽs inter r & q intra: oẽs inter r & t extra.
Si uerò angulus q a h fuerit maior angulo h a p: fiat ei æqualis h a m. Palàm, quòd m a ſecabit ſectio
nẽ: [quia e a t tangit] & ſecet in puncto b: & ducatur cõtingẽs ſuper punctũ b: quę cõcurret cũ d h,
utin puncto l [ducta enim recta d b: erit angulus d b l rectus, & b d lacutus: itaq; tãgens ſectionẽ in
pũcto b cõcurret cũ d h per 11 ax. ] eritq́; [per 17 p 1] angulus d l b acutus, & angulus h l b obtuſus:
[per 13 p 1] & l b cõcurrẽs cũ h g faciet cũ ea acutũ [per 32 p 1: quia angulus h l b eſt obtuſus. ] Duca
tur perpẽdicularis à pũcto b ſuper l b: quę ſit s b: ſecabit quidẽ h g, utin pũcto x: & faciet angulũ a-
cutũ cũ ea [per 15 p 1] quoniã angulus cõtrapoſitus ſimiliter erit acutus [ք 32 p 1: quia angulus ad b
rectus eſt] & h g ſecat q a: ſit punctũ ſectionis u: & facit acutũ angulũ cũ ea ſuper punctum u [cum
enim h g cõcurrat cum q a: & q a cum fd, & angulus h g q ſit rectus: erit per 32 p 1 angulus q u g acu-
tus. ] Quare s b & q u concurrunt [quia enim angulis s x h, qu g acutis cõcluſis æquãtur anguli ad
uerticẽ per 15 p 1. Ergo per 11 ax. q u & s b cõcurrũt. ] Sit cõcurſus in z. Palàm ergo, quòd forma pun
cti z mouebitur ad ſpeculũ per z a, & reflectetur per a m: & locus imaginis, b: & imagines punctorũ
lineæ z s ultra z, erunt intra ſectionẽ: & punctorũ citra z, extra ſectionem. Quod fuit propoſitum.
nẽ: quæ ſit e a t: & ſumatur perpendicularis ſuper a tintra ſpeculũ: quę ſit d a. Palàm, quòd d
a diuidit ſectionẽ in duas partes, in quarũ utraq; eſt punctũ unicũ, cuius puncti linea cõtin-
gens, erit æ quidiſtans a d. Sit ergo aliud punctũ g, cuius cõtingens cõcurrat cũ linea a d in puncto
h: & ducatur perpendicularis ſuper hãc cõtingentẽ: quæ ſit q g: & hæc quidẽ neceſſariò cõcurret cũ
h d, ſicut oſtenſum eſt in præcedente figura [eſt enim angulus q g h per fabricationẽ rectus: ergo q
g a maior eſt recto: & ob id h a g recto maior eſt. Itaq; per 13 p 1 d g a, d a g ſunt minores duobus re-
ctis. Quare per 11 ax. q g, h a cotinuatæ cõcurrent. ] Sit concurſus in puncto d: & ducatur linea g a
uſq; ad p: & ducatur linea q a. Igitur angulus q a h aut eſt æqualis angulo h a p: aut maior: aut mi-
nor. Sit ęqualis. Procedet igitur forma puncti q ad
86[Figure 86]s f h q n x r p l z u t m a b o e g k d a, & reflectetur ad p [per 12 n 4] quod uiſus ſit: &
locus imaginis erit punctũ ſectionis columnaris,
ſcilicet g [per 4 n. ] Si uerò ſupra punctum q ſuma
tur aliquod punctũ, ut punctũ f: erit quidẽ angulus
f a h minor angulo h a p [quia angulus h a p æqua-
tur h a q, qui per 9 ax. maior eſtangulo h a f. ] Fiat ei
æqualis n a h: cõcurret quidẽ n a cũg q [per 11 ax.
ut antea] intra columnã. [quia punctũ n ſublimi-
us eſt puncto p. ] Sit in puncto k. Palã ergo, quòd
imago puncti f erit in puncto k [per 4 n] & imagi-
nes omniũ punctorũ lineæ q fultra punctũ q, intra
columnã. Si uerò inter q & t ſumatur punctum ali-
quod: ut punctũ r: erit angulus r a h maior angulo
h a p [quia h a p æquatur h a q, quo angulus h a r
maior eſt per 9 ax. ] Fiat ei ęqualis h a m. Palàm, qđ
m a cadet ſupra lineã g q, & extra ſectionem [cũ e-
nim linea p a (quæ cũ h a cõtinet angulũ æqualem
h a q) cõcurrat cũ ſectione in puncto g: & punctũ m ſit inferius puncto p: linea igitur m a cõtinua-
ta cõcurret cũ g q extra ſectionẽ. ] Sit in pũcto o. Erit igitur imago r in pũcto o [per 4 n. ] Et omniũ
punctorũ inter t, q interiacentiũ imagines, erũt extra ſectionẽ inter o & g. Siuerò angulus q a h fue
rit minor angulo h a p: ſecetur ex eo æqualis: & ſit h a n. Palàm, quòd imago q erit in puncto k: & o-
mniũ punctorũ ſuperiorũ imagines erũt intra ſectionẽ. Si uerò inferius ſumatur r punctũ, ut angu-
lus r a h ſit ęqualis angulo h a p: erit imago r in ſectione: & oẽs inter r & q intra: oẽs inter r & t extra.
Si uerò angulus q a h fuerit maior angulo h a p: fiat ei æqualis h a m. Palàm, quòd m a ſecabit ſectio
nẽ: [quia e a t tangit] & ſecet in puncto b: & ducatur cõtingẽs ſuper punctũ b: quę cõcurret cũ d h,
utin puncto l [ducta enim recta d b: erit angulus d b l rectus, & b d lacutus: itaq; tãgens ſectionẽ in
pũcto b cõcurret cũ d h per 11 ax. ] eritq́; [per 17 p 1] angulus d l b acutus, & angulus h l b obtuſus:
[per 13 p 1] & l b cõcurrẽs cũ h g faciet cũ ea acutũ [per 32 p 1: quia angulus h l b eſt obtuſus. ] Duca
tur perpẽdicularis à pũcto b ſuper l b: quę ſit s b: ſecabit quidẽ h g, utin pũcto x: & faciet angulũ a-
cutũ cũ ea [per 15 p 1] quoniã angulus cõtrapoſitus ſimiliter erit acutus [ք 32 p 1: quia angulus ad b
rectus eſt] & h g ſecat q a: ſit punctũ ſectionis u: & facit acutũ angulũ cũ ea ſuper punctum u [cum
enim h g cõcurrat cum q a: & q a cum fd, & angulus h g q ſit rectus: erit per 32 p 1 angulus q u g acu-
tus. ] Quare s b & q u concurrunt [quia enim angulis s x h, qu g acutis cõcluſis æquãtur anguli ad
uerticẽ per 15 p 1. Ergo per 11 ax. q u & s b cõcurrũt. ] Sit cõcurſus in z. Palàm ergo, quòd forma pun
cti z mouebitur ad ſpeculũ per z a, & reflectetur per a m: & locus imaginis, b: & imagines punctorũ
lineæ z s ultra z, erunt intra ſectionẽ: & punctorũ citra z, extra ſectionem. Quod fuit propoſitum.
46. Si cõmunis ſectio ſuperficierũ, reflexiõis & ſpeculi cylindracei conuexi, fuerit lat{us} cylindri,
uel circul{us} baſib. parallel9: ab uno pũcto unũ uiſibilis pũctũ ad unũ uisũ reflectetur. 26. 27 p 7.
uel circul{us} baſib. parallel9: ab uno pũcto unũ uiſibilis pũctũ ad unũ uisũ reflectetur. 26. 27 p 7.
AMplius:
ab uno ſolo pũcto ſpeculi colũnaris fit reflexio ad cẽtrũ uiſus:
utpote pũctũ b refle-
ctatur ad a à pũcto g. Dico, quòd nõ reflectetur ad ipſum ab alio puncto ſpeculi, quã à pũcto
g. Quoniã, ſi in ſuperficie reflexionis, quæ eſt a b g, ſit totus axis ſpeculi: erit linea cõmunis
ſuperficiei ſpeculi & ſuperficiei reflexionis linea lõgitudinis ſpeculi [per 29 n 4. ] Et cũ in ſuperfi-
cie reflexionis ſit cẽtrũ uiſus, pũctũ uiſum, punctũ reflexiõis, & punctũ axis, in qđ cadit perpẽdicu
laris: [per 23. 34 n 4] una ſola ſuperficies ſumi poteſt, in qua ſit linea illa longitudinis, axis, & pun-
cta a, b, g. Quare non poteſt ſieri reflexio ad a, niſi ab aliquo puncto lineę longitudinis: ſed iam pro-
batũ eſt [51 n 4 generatim de quolibet ſpeculo, & 14 n ſpeciatim de ſpeculo plano] quòd nõ poteſt
fieri reflexio ad a ab alio puncto, quã à puncto g. Quare in hoc ſitu ab uno ſolo pũcto ſpeculi fit ad
a reflexio. Si uerò ſuperficies a b g ſit æquidiſtans baſi colũnæ: erit linea cõmunis, circulus æquidi-
ctatur ad a à pũcto g. Dico, quòd nõ reflectetur ad ipſum ab alio puncto ſpeculi, quã à pũcto
g. Quoniã, ſi in ſuperficie reflexionis, quæ eſt a b g, ſit totus axis ſpeculi: erit linea cõmunis
ſuperficiei ſpeculi & ſuperficiei reflexionis linea lõgitudinis ſpeculi [per 29 n 4. ] Et cũ in ſuperfi-
cie reflexionis ſit cẽtrũ uiſus, pũctũ uiſum, punctũ reflexiõis, & punctũ axis, in qđ cadit perpẽdicu
laris: [per 23. 34 n 4] una ſola ſuperficies ſumi poteſt, in qua ſit linea illa longitudinis, axis, & pun-
cta a, b, g. Quare non poteſt ſieri reflexio ad a, niſi ab aliquo puncto lineę longitudinis: ſed iam pro-
batũ eſt [51 n 4 generatim de quolibet ſpeculo, & 14 n ſpeciatim de ſpeculo plano] quòd nõ poteſt
fieri reflexio ad a ab alio puncto, quã à puncto g. Quare in hoc ſitu ab uno ſolo pũcto ſpeculi fit ad
a reflexio. Si uerò ſuperficies a b g ſit æquidiſtans baſi colũnæ: erit linea cõmunis, circulus æquidi-