161155OPTICAE LIBER V.
ſtans baſi [per 5 th Sereni de ſectione cylindri.
] Et iam patuit [29 n] quòd ab alio pũcto illius cir-
culi non poteſt fieri ad a reflexio. Et ſi ab alio
87[Figure 87]a q k b f l n g c e l d h puncto ſpeculi fiat reflexio perpẽdicularis du
cta à puncto illo, cadet orthogonaliter ſuper
axẽ. [Nã cũ per 34 n 4 perpẽdicularis illa in-
tus cõtinuata fiat diameter circuli baſibus pa
ralleli: erit per 21 d 11. 29 p 1 ad axem perpendi
cularis] & ſecabit lineã a b in puncto aliquo.
À pũcto illo ducatur linea ad axem in ſuper-
ficie, æquidiſtante baſi colũnæ: erit quidẽ or-
thogonalis ſuper axem [per 21 d 11. 29 p 1. ] Et
ita duæ perpẽdiculares efficient cũ axe trian-
gulum, cuius duo anguli ſunt recti: quod eſt
impoſsibile [& contra 32 p 1. ] Palàm ergo, quòd in hoc ſitu non reflectetur b ad a, niſi à puncto g.
culi non poteſt fieri ad a reflexio. Et ſi ab alio
87[Figure 87]a q k b f l n g c e l d h puncto ſpeculi fiat reflexio perpẽdicularis du
cta à puncto illo, cadet orthogonaliter ſuper
axẽ. [Nã cũ per 34 n 4 perpẽdicularis illa in-
tus cõtinuata fiat diameter circuli baſibus pa
ralleli: erit per 21 d 11. 29 p 1 ad axem perpendi
cularis] & ſecabit lineã a b in puncto aliquo.
À pũcto illo ducatur linea ad axem in ſuper-
ficie, æquidiſtante baſi colũnæ: erit quidẽ or-
thogonalis ſuper axem [per 21 d 11. 29 p 1. ] Et
ita duæ perpẽdiculares efficient cũ axe trian-
gulum, cuius duo anguli ſunt recti: quod eſt
impoſsibile [& contra 32 p 1. ] Palàm ergo, quòd in hoc ſitu non reflectetur b ad a, niſi à puncto g.
47. Si communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi cylindracei conuexi fuerit elli-
pſis: ab uno puncto unum uiſibilis punctum ad unum uiſum reflectetur. 28 p 7.
pſis: ab uno puncto unum uiſibilis punctum ad unum uiſum reflectetur. 28 p 7.
SIuerò ſuperficies a b g ſecet ſpeculũ ſectione columnari:
dico, quòd à ſolo pũcto g fit reflexio.
Ducatur à puncto a ſuperficies æquidiſtans baſi columnæ: [ductis nimirũ duabus perpen di-
cularibus ſuper axem ſe interſecãtibus: una quidẽ à puncto a per 12 p 1: altera uerò ab axis pun
cto, in quod illa cadit per 11 p 1. Sic enim axis, qui per 21 d 11 eſt perpendicularis baſi: erit per 4 p 11
perpendicularis plano ductarũ perpen diculariũ. Itaq; per 14 p 11 baſis & hoc planũ erũt parallela]
quæ ſit e z i: & à puncto g ſimiliter ſuperficies æquidiſtans baſi ſpeculi: in qua ducatur ab axe linea
ad pũctũ g: quæ ſit t g: erit quidẽ perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingẽtẽ ſpeculũ in pũcto g [per
34 n 4: quia eſt diameter circuli baſibus cylindri paralleli] & cõcurrat cũ a b in puncto k [cõcurret
aũt: quia diuidit angulũ a g b] & ducatur à puncto g linea lõgitudinis ſpeculi: [educto nẽpe plano
per axem & per rectã, cũ ipſo à puncto g utlibet cõcurrentẽ: erit enim huius plani & cylindraceæ ſu
perficiei cõmunis ſectio latus cylindri per 21 d 11] quæ ſit g z: & ſit axis t q: & à puncto b perpẽdicu
laris ducatur ad ſuperficiẽ e z i: quę ſit b h: & ducãtur lineę a z, h z: & ducatur à pũcto z in ſuperficie
illa ad axem linea, quæ ſit z q: erit quidẽ perpẽdicularis ſuper axem [per 3 d 11] cũ axis ſit perpẽdi-
cularis ſuper hãc ſuperficiẽ [per 21 d 11] & erit perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingentẽ ſpeculũ
in puncto z [ut paulò antè oſtẽſum eſt] & cõcurrat cũ linea a k in pũcto l. [cõcurret uerò, quia ſe-
cat angulũ a z h. ] Dico, quòd forma puncti h reflectetur ad a, à puncto z. Ducatur à pũcto a æ quidi-
ſtãs lineę k g: quę ſit a m: quę quidẽ cõcurret cũ b g. [per lẽma Procli ad 29 p 1. ] Sit cõcurſus in pun
cto m. Palàm [per 6 p 11] quòd g z eſt æquidiſtãs lineæ b h: cũ utraq; ſit orthogonalis ſuper ſuperfi
ciẽ æquidiſtantẽ baſibus colũnæ. Quare [per 7 p 11] linea b g m eſt in ſuperficie harũ linearũ. Igitur
tria pũcta m, z, h ſunt in hac
88[Figure 88]a ſ f K b h d z g e s n q o t m i pſuքficie. Sed iterũ a m eſt æ-
quidiſtans k g [per fabrica-
tionẽ] & l z æquidiſtãs k g:
quoniã g z æquidiſtãs t q &
inter ſuperficies æquidiſtan
tes. [nã per 21 d 11 latus z g &
axis q t paralleli & æquales,
circulis oppoſitis & paral-
lelis terminantur, in quibus
ſemidiametritg, q z ſunt pa
rallelę per 33 p 1: & t g conti-
nuata eſt in k. ] Igitur l z æ-
quidiſtãs a m [ք 30 p 1: ſunt
enim m a, z l eidẽ t g k paral-
lelæ. ] Quare ſunt in eadem
ſuperficie [per 35 d 1] & in ea eſt linea a h [per 7 p 11: quia cõnectit m a, z l parallelas. ] Igitur in hac
ſuperficie ſunt tria puncta, m, z, h: & iã patuit, quòd ſint in ſuperficie b m h: igitur ſunt in linea cõmu
ni his duabus ſuperficiebus. Igitur [per 3 p 11] h z m eſt linea recta. Palàm igitur, cum g ſit punctum
reflexionis: erit [per 12 n 4] angulus a g k æqualis angulo k g b: & ita [per 29 p 1. 1 ax. ] ęqualis an-
gulo a m g: ſed [per 29 p 1] eſt æqualis m a g: quia coalternus. Igitur [per 6 p 1] a g, m g ſunt æ qua
les. Sed quoniam g z eſt orthogonalis ſuper quãlibet lineã ſuperficiei z a h: [per 3 d 11] erit quadra
tũ m g æquale quadratis m z, g z [per 47 p 1] erit igitur a z æqualis m z [Nam propter eandẽ cauſ-
ſam quadratum a g æquatur quadratis a z, g z: at quadrata a g, m g æquãtur: quia ipſorum latera a g,
m g æquãtur: communi igitur quadrato g z ablato, reliquum quadratũ a z ęquabitur quadrato m z:
quare ipſorũ latera m z, a z ęquabuntur. ] Quare [per 5 p 1] angulus a m z eſt æqualis angulo m a z:
ſed [per 29 p 1] angulus a m z eſt æqualis angulo l z h: & angulus z a m eſt æqualis l z a: quia coal-
ternus. Igitur angulus a z l eſt æqualis angulo l z h. Quare forma puncti h accedẽs ad punctũ z, re-
Ducatur à puncto a ſuperficies æquidiſtans baſi columnæ: [ductis nimirũ duabus perpen di-
cularibus ſuper axem ſe interſecãtibus: una quidẽ à puncto a per 12 p 1: altera uerò ab axis pun
cto, in quod illa cadit per 11 p 1. Sic enim axis, qui per 21 d 11 eſt perpendicularis baſi: erit per 4 p 11
perpendicularis plano ductarũ perpen diculariũ. Itaq; per 14 p 11 baſis & hoc planũ erũt parallela]
quæ ſit e z i: & à puncto g ſimiliter ſuperficies æquidiſtans baſi ſpeculi: in qua ducatur ab axe linea
ad pũctũ g: quæ ſit t g: erit quidẽ perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingẽtẽ ſpeculũ in pũcto g [per
34 n 4: quia eſt diameter circuli baſibus cylindri paralleli] & cõcurrat cũ a b in puncto k [cõcurret
aũt: quia diuidit angulũ a g b] & ducatur à puncto g linea lõgitudinis ſpeculi: [educto nẽpe plano
per axem & per rectã, cũ ipſo à puncto g utlibet cõcurrentẽ: erit enim huius plani & cylindraceæ ſu
perficiei cõmunis ſectio latus cylindri per 21 d 11] quæ ſit g z: & ſit axis t q: & à puncto b perpẽdicu
laris ducatur ad ſuperficiẽ e z i: quę ſit b h: & ducãtur lineę a z, h z: & ducatur à pũcto z in ſuperficie
illa ad axem linea, quæ ſit z q: erit quidẽ perpẽdicularis ſuper axem [per 3 d 11] cũ axis ſit perpẽdi-
cularis ſuper hãc ſuperficiẽ [per 21 d 11] & erit perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingentẽ ſpeculũ
in puncto z [ut paulò antè oſtẽſum eſt] & cõcurrat cũ linea a k in pũcto l. [cõcurret uerò, quia ſe-
cat angulũ a z h. ] Dico, quòd forma puncti h reflectetur ad a, à puncto z. Ducatur à pũcto a æ quidi-
ſtãs lineę k g: quę ſit a m: quę quidẽ cõcurret cũ b g. [per lẽma Procli ad 29 p 1. ] Sit cõcurſus in pun
cto m. Palàm [per 6 p 11] quòd g z eſt æquidiſtãs lineæ b h: cũ utraq; ſit orthogonalis ſuper ſuperfi
ciẽ æquidiſtantẽ baſibus colũnæ. Quare [per 7 p 11] linea b g m eſt in ſuperficie harũ linearũ. Igitur
tria pũcta m, z, h ſunt in hac
88[Figure 88]a ſ f K b h d z g e s n q o t m i pſuքficie. Sed iterũ a m eſt æ-
quidiſtans k g [per fabrica-
tionẽ] & l z æquidiſtãs k g:
quoniã g z æquidiſtãs t q &
inter ſuperficies æquidiſtan
tes. [nã per 21 d 11 latus z g &
axis q t paralleli & æquales,
circulis oppoſitis & paral-
lelis terminantur, in quibus
ſemidiametritg, q z ſunt pa
rallelę per 33 p 1: & t g conti-
nuata eſt in k. ] Igitur l z æ-
quidiſtãs a m [ք 30 p 1: ſunt
enim m a, z l eidẽ t g k paral-
lelæ. ] Quare ſunt in eadem
ſuperficie [per 35 d 1] & in ea eſt linea a h [per 7 p 11: quia cõnectit m a, z l parallelas. ] Igitur in hac
ſuperficie ſunt tria puncta, m, z, h: & iã patuit, quòd ſint in ſuperficie b m h: igitur ſunt in linea cõmu
ni his duabus ſuperficiebus. Igitur [per 3 p 11] h z m eſt linea recta. Palàm igitur, cum g ſit punctum
reflexionis: erit [per 12 n 4] angulus a g k æqualis angulo k g b: & ita [per 29 p 1. 1 ax. ] ęqualis an-
gulo a m g: ſed [per 29 p 1] eſt æqualis m a g: quia coalternus. Igitur [per 6 p 1] a g, m g ſunt æ qua
les. Sed quoniam g z eſt orthogonalis ſuper quãlibet lineã ſuperficiei z a h: [per 3 d 11] erit quadra
tũ m g æquale quadratis m z, g z [per 47 p 1] erit igitur a z æqualis m z [Nam propter eandẽ cauſ-
ſam quadratum a g æquatur quadratis a z, g z: at quadrata a g, m g æquãtur: quia ipſorum latera a g,
m g æquãtur: communi igitur quadrato g z ablato, reliquum quadratũ a z ęquabitur quadrato m z:
quare ipſorũ latera m z, a z ęquabuntur. ] Quare [per 5 p 1] angulus a m z eſt æqualis angulo m a z:
ſed [per 29 p 1] angulus a m z eſt æqualis angulo l z h: & angulus z a m eſt æqualis l z a: quia coal-
ternus. Igitur angulus a z l eſt æqualis angulo l z h. Quare forma puncti h accedẽs ad punctũ z, re-