164158ALHAZENal:
ſed ſecãt ſe ſuper pũctũ b:
[quia uiſibile eſt in qualibet reflexionis ſuperficie ք 23 n 4] qđ eſt im-
poſsibile. Quoniã b nõ eſt in linea a l: qđ patet ք hoc: quoniã fl æquidiſtat b m. [ut patu it proximo
numero per fabricationẽ & 30 p 1. ] Reſtat ergo, ut à nullo pũcto lineæ e g, pręterquã à g, poſsit re-
flecti b a d a. Si aũt ab aliquo pũcto extra lineã e g: ſit illud u: & ducatur linea lõgitudinis e u o: & ſu-
matur ſuperficies æquidiſtãs baſi, trãſiẽs ք pũctũ u. [ut dictũ eſt proximo numero. ] Palã, quòd a n
ſecabit hãc ſuperficiẽ: [quia e g parallela ipſi a n, eandẽ ſecat] ſit punctũ ſectionis y. Similiter b m ſe-
cabit eandẽ: ſit punctũ ſectionis k: & ducãtur lineæ k u, y
90[Figure 90]l d a e f x u y t k p r c z o h g M n q m i b s u, y k. Et cũ ſuperficies illa ſecet pyramidẽ ſuper circulũ,
trãſeuntẽ per u [per 4 th 1 coni. Apol. ] ducatur à pũcto u
linea ad cẽtrũ huius circuli, quę extra circulũ ꝓducta, ſit
r u: & ducãtur lineę e k, e y: quę quidẽ ſecabũt ſuperficiẽ
circuli p g: [quia ſecãt circulũ ipſi parallelũ, per u trãſeun
tẽ] & ſint pũcta ſectionũ s, i: & ducãtur lineæ i c, s c. Sicut
igitur probatũ eſt [proximo numero] de pũcto m: quòd,
nõ impediente pyramide, poteſt reflecti ad n à pũcto g:
ita ꝓbabitur de pũcto k: qđ poteſt reflecti à puncto u ad
punctũ y: & eadẽ eſt ꝓbatio: & ita angulus r u y erit ęqua
lis angulo r u k [per 12 n 4. ] Palàm, quoniã b k eſt æquidi
ſtãs e g: [Nã b m parallela ipſi e g ք fabricationẽ, cõtinua-
ta eſt in pũctũ k] & linea, cõmunis ſuքficiei b g e k, & ſuք-
ficiei circùli p g, eſt linea m g. Igitur linea e k cũ ſit in hac
ſuperficie, & ſecet ſuperficiẽ circuli p g: [in pũcto s, ut pa
tuit] cadet ſuper lineã cõmunẽ, quę eſt m g. Erit igitur s
m g linea recta. Eodẽ modo cũ ſuperficies n y e g ſecet ſu
perficiẽ circuli p g, ſuper lineã n g: linea e y cõcurret cũ li
nea n g. [in pũcto i, ut patuit. ] Igitur i n g linea eſt recta.
Palã etiã, quòd ſuքficies i e c ſecat ſuperficiẽ circuli p g,
ſuper lineã i c, & ſecat ſuperficiẽ huic æquidiſtãtem, quæ
trãſit ք u, ſuper lineã y u. Ergo [per 16 p 11] y u æquidiſtat
i c. Similiter ſuperficies s e c ſecat ſuperficies illas æqui-
diſtãtes, ſuper duas lineas s c, k u. Ergo [per 16 p 11] s c ę-
quidiſtat k u. Similiter ſi ſumatur ſuperficies, ſecãs ſpecu
lũ ſuper lineã lõgitudinis e c, in qua ſuքficie ſuntru, c M:
ſecabit illas ſuքficies æquidiſtãtes [nẽpe circulos ք u & c eductos] ſuք duas lineas M c, r u. Igitur [ք
16 p 11] hę duę lineæ ſunt æquidiſtãtes. Igitur angulus s c M æqualis eſt angulo k u r, & angulus M c
i æqualis angulo r u y. [ք 10 p 11. ] Sed iã patuit, qđ angulus k u r æqualis eſt r u y. Igitur [ք 1 ax. ] an-
gulus s c M æqualis eſt angulo M c i. Quare pũctũ s poteſt reflecti ad i à puncto c, nõ impediente py
ramide: ſed iã probatũ eſt [proximo numero] qđ punctũ m reflecti põt ad i à pũcto g. [cadunt. n.
pũcta i, n, g in eandẽ rectã lineã, ut mõſtratũ eſt. ] Igitur punctũ s reflectitur ad i à duob. punctis cir-
culi p g. [nimirũ g & c] qđ eſt impoſsibile [& cõtra 51 n 4. 29. 46 n. ] Reſtat ergo, ut primũ ſit impoſ
ſibile, ſcilicet, ut punctũ b reflectatur ad a ab aliquo puncto alio ſpeculi, ꝗ̃ à g. Quod eſt propoſitũ.
poſsibile. Quoniã b nõ eſt in linea a l: qđ patet ք hoc: quoniã fl æquidiſtat b m. [ut patu it proximo
numero per fabricationẽ & 30 p 1. ] Reſtat ergo, ut à nullo pũcto lineæ e g, pręterquã à g, poſsit re-
flecti b a d a. Si aũt ab aliquo pũcto extra lineã e g: ſit illud u: & ducatur linea lõgitudinis e u o: & ſu-
matur ſuperficies æquidiſtãs baſi, trãſiẽs ք pũctũ u. [ut dictũ eſt proximo numero. ] Palã, quòd a n
ſecabit hãc ſuperficiẽ: [quia e g parallela ipſi a n, eandẽ ſecat] ſit punctũ ſectionis y. Similiter b m ſe-
cabit eandẽ: ſit punctũ ſectionis k: & ducãtur lineæ k u, y
90[Figure 90]l d a e f x u y t k p r c z o h g M n q m i b s u, y k. Et cũ ſuperficies illa ſecet pyramidẽ ſuper circulũ,
trãſeuntẽ per u [per 4 th 1 coni. Apol. ] ducatur à pũcto u
linea ad cẽtrũ huius circuli, quę extra circulũ ꝓducta, ſit
r u: & ducãtur lineę e k, e y: quę quidẽ ſecabũt ſuperficiẽ
circuli p g: [quia ſecãt circulũ ipſi parallelũ, per u trãſeun
tẽ] & ſint pũcta ſectionũ s, i: & ducãtur lineæ i c, s c. Sicut
igitur probatũ eſt [proximo numero] de pũcto m: quòd,
nõ impediente pyramide, poteſt reflecti ad n à pũcto g:
ita ꝓbabitur de pũcto k: qđ poteſt reflecti à puncto u ad
punctũ y: & eadẽ eſt ꝓbatio: & ita angulus r u y erit ęqua
lis angulo r u k [per 12 n 4. ] Palàm, quoniã b k eſt æquidi
ſtãs e g: [Nã b m parallela ipſi e g ք fabricationẽ, cõtinua-
ta eſt in pũctũ k] & linea, cõmunis ſuքficiei b g e k, & ſuք-
ficiei circùli p g, eſt linea m g. Igitur linea e k cũ ſit in hac
ſuperficie, & ſecet ſuperficiẽ circuli p g: [in pũcto s, ut pa
tuit] cadet ſuper lineã cõmunẽ, quę eſt m g. Erit igitur s
m g linea recta. Eodẽ modo cũ ſuperficies n y e g ſecet ſu
perficiẽ circuli p g, ſuper lineã n g: linea e y cõcurret cũ li
nea n g. [in pũcto i, ut patuit. ] Igitur i n g linea eſt recta.
Palã etiã, quòd ſuքficies i e c ſecat ſuperficiẽ circuli p g,
ſuper lineã i c, & ſecat ſuperficiẽ huic æquidiſtãtem, quæ
trãſit ք u, ſuper lineã y u. Ergo [per 16 p 11] y u æquidiſtat
i c. Similiter ſuperficies s e c ſecat ſuperficies illas æqui-
diſtãtes, ſuper duas lineas s c, k u. Ergo [per 16 p 11] s c ę-
quidiſtat k u. Similiter ſi ſumatur ſuperficies, ſecãs ſpecu
lũ ſuper lineã lõgitudinis e c, in qua ſuքficie ſuntru, c M:
ſecabit illas ſuքficies æquidiſtãtes [nẽpe circulos ք u & c eductos] ſuք duas lineas M c, r u. Igitur [ք
16 p 11] hę duę lineæ ſunt æquidiſtãtes. Igitur angulus s c M æqualis eſt angulo k u r, & angulus M c
i æqualis angulo r u y. [ք 10 p 11. ] Sed iã patuit, qđ angulus k u r æqualis eſt r u y. Igitur [ք 1 ax. ] an-
gulus s c M æqualis eſt angulo M c i. Quare pũctũ s poteſt reflecti ad i à puncto c, nõ impediente py
ramide: ſed iã probatũ eſt [proximo numero] qđ punctũ m reflecti põt ad i à pũcto g. [cadunt. n.
pũcta i, n, g in eandẽ rectã lineã, ut mõſtratũ eſt. ] Igitur punctũ s reflectitur ad i à duob. punctis cir-
culi p g. [nimirũ g & c] qđ eſt impoſsibile [& cõtra 51 n 4. 29. 46 n. ] Reſtat ergo, ut primũ ſit impoſ
ſibile, ſcilicet, ut punctũ b reflectatur ad a ab aliquo puncto alio ſpeculi, ꝗ̃ à g. Quod eſt propoſitũ.
54. Viſu & uiſibili inter baſim ſpeculi conici conuexi, & planum per uerticem ductum, ba-
ſí parallelum poſitis: punctum reflexionis inuenire. 35 p 7.
ſí parallelum poſitis: punctum reflexionis inuenire. 35 p 7.
AMplius:
dato ſpeculo pyramidali:
eſt inuenire punctũ reflexionis.
Verbi gratia:
ſit g uertex
pyramidalis ſpeculi: & ſuper ipſum fiat ſuperficies æquidiſtãs baſi pyramidis: [ut oſtenfum
eſt 52 n] quę ſit m n g: a ſit pũctũ uiſum: b cẽtrũ uiſus. A & b aut erũt citra illã ſuperficiẽ: aut
ultra: aut in ipſa ſuperficie: aut unũ citra, aliud ultra: aut unũ in ſuperficie, aliud citra uel ultra. Sint
citra ſuperficiẽ: & à puncto a ducatur ſuperficies, ſecãs pyramidẽ ęquidiſtãter baſi: & ducatur à pun
cto g linea ad punctũ b: quę ꝓducta cadet in ſuperficiẽ ab a ductã, cũ ſit inter ſuperficies æquidiſtã-
tes: [quarũ una ք uerticẽ, altera ք uiſibile a ducitur] punctũ, in qđ cadit hęc linea, ſit h. Probatur
aũt modo ſuprà dicto [52 n] qđ a reflectitur ad h ab aliquo pũcto circuli, quẽ efficit ſuperficies, ſe-
cãs pyramidẽ, ducta à pũctis a, h: & inueniatur in circulo illo punctũ reflexionis: [ք 31 uel 39 n] &
ſit e: & ducatur linea a b: & linea lõgitudinis pyramidis g e: & axis pyramidis g t: & ducatur à pun-
cto e linea ad centrũ circuli: quę quidẽ cadet ſuper axem: [ք 4 th 1 coni. Apol. quia cẽtrũ circuli eſt
in axe] & ſit e t: & erit [ք 18 p 3] orthogonalis ſuper lineã, cõtingentẽ circulũ illũ in pũcto e: & du-
ctis lineis a e, h e: ſecabit angulũ earũ ք æqualia: [ut oſtẽſum eſt 13 n 4] & diuidet lineã a h: [քa ſecat
angulũ ipſi ſubtẽſum: ſunt enim e h, e a, h a in eadẽ reflexionis ſuperficie ք 23 n 4] ſit pũctũ diuiſio-
nis r. Palàm, quoniã g e, e t efficiũt ſuperficiẽ, ſecantẽ lineã a b: ſit pũctũ ſectionis f: & à pũcto f duca-
tur perpẽdicularis ſuper lineã g e [ք 12 p 1] & ſit f q: quę quidẽ erit orthogonalis ſuper ſuperficiẽ,
cõtingẽtẽ pyramidẽ ſuper lineã g e. [quia enim f q perpẽdicularis eſt duab. rectis interſectis, in cõ-
muni ipſarũ ſectione (qđ eſt punctũ q) lateri nẽpe conico e g ք fabricationẽ proximã, & rectę pe-
ripheriã circuli ք punctũ q deſcripti, in extrema diametro tãgenti ք 18 p 3: erit perpẽdicularis plano
ք ipſas ducto ք 4 p 11, id eſt plano in latere conũ tãgente per 35 n 4. ] Deinde à pũcto a ducatur ęqui
diſtãs lineæ f q: & ſit a l: f q aũt cõcurrat cũ axe in pũcto k: [qđ enim cõcurrat, patet ք 11 ax. quia per
pyramidalis ſpeculi: & ſuper ipſum fiat ſuperficies æquidiſtãs baſi pyramidis: [ut oſtenfum
eſt 52 n] quę ſit m n g: a ſit pũctũ uiſum: b cẽtrũ uiſus. A & b aut erũt citra illã ſuperficiẽ: aut
ultra: aut in ipſa ſuperficie: aut unũ citra, aliud ultra: aut unũ in ſuperficie, aliud citra uel ultra. Sint
citra ſuperficiẽ: & à puncto a ducatur ſuperficies, ſecãs pyramidẽ ęquidiſtãter baſi: & ducatur à pun
cto g linea ad punctũ b: quę ꝓducta cadet in ſuperficiẽ ab a ductã, cũ ſit inter ſuperficies æquidiſtã-
tes: [quarũ una ք uerticẽ, altera ք uiſibile a ducitur] punctũ, in qđ cadit hęc linea, ſit h. Probatur
aũt modo ſuprà dicto [52 n] qđ a reflectitur ad h ab aliquo pũcto circuli, quẽ efficit ſuperficies, ſe-
cãs pyramidẽ, ducta à pũctis a, h: & inueniatur in circulo illo punctũ reflexionis: [ք 31 uel 39 n] &
ſit e: & ducatur linea a b: & linea lõgitudinis pyramidis g e: & axis pyramidis g t: & ducatur à pun-
cto e linea ad centrũ circuli: quę quidẽ cadet ſuper axem: [ք 4 th 1 coni. Apol. quia cẽtrũ circuli eſt
in axe] & ſit e t: & erit [ք 18 p 3] orthogonalis ſuper lineã, cõtingentẽ circulũ illũ in pũcto e: & du-
ctis lineis a e, h e: ſecabit angulũ earũ ք æqualia: [ut oſtẽſum eſt 13 n 4] & diuidet lineã a h: [քa ſecat
angulũ ipſi ſubtẽſum: ſunt enim e h, e a, h a in eadẽ reflexionis ſuperficie ք 23 n 4] ſit pũctũ diuiſio-
nis r. Palàm, quoniã g e, e t efficiũt ſuperficiẽ, ſecantẽ lineã a b: ſit pũctũ ſectionis f: & à pũcto f duca-
tur perpẽdicularis ſuper lineã g e [ք 12 p 1] & ſit f q: quę quidẽ erit orthogonalis ſuper ſuperficiẽ,
cõtingẽtẽ pyramidẽ ſuper lineã g e. [quia enim f q perpẽdicularis eſt duab. rectis interſectis, in cõ-
muni ipſarũ ſectione (qđ eſt punctũ q) lateri nẽpe conico e g ք fabricationẽ proximã, & rectę pe-
ripheriã circuli ք punctũ q deſcripti, in extrema diametro tãgenti ք 18 p 3: erit perpẽdicularis plano
ք ipſas ducto ք 4 p 11, id eſt plano in latere conũ tãgente per 35 n 4. ] Deinde à pũcto a ducatur ęqui
diſtãs lineæ f q: & ſit a l: f q aũt cõcurrat cũ axe in pũcto k: [qđ enim cõcurrat, patet ք 11 ax. quia per
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib