165127DE MATHÉMATIQUE. Liv. II.
quieme terme de la progreſſion croiſſante, dont a &
b ſeroient
les deux premiers termes: je multiplie a par la quatrieme puiſ-
ſance de {b/a}, qui eſt {b4/a4}, & appellant x ce cinquieme terme, j’ai
x = {ab4/a4} ou {b4/a3}. D’où il ſuit encore qu’un terme quelconque
d’une progreſſion géométrique croiſſante eſt égal au ſecond
terme, élevé à une puiſſance moindre d’un degré que le nu-
méro de ce terme, diviſé par le premier terme, élevé à une
puiſſance moindre de deux degrés que le même numéro.
les deux premiers termes: je multiplie a par la quatrieme puiſ-
ſance de {b/a}, qui eſt {b4/a4}, & appellant x ce cinquieme terme, j’ai
x = {ab4/a4} ou {b4/a3}. D’où il ſuit encore qu’un terme quelconque
d’une progreſſion géométrique croiſſante eſt égal au ſecond
terme, élevé à une puiſſance moindre d’un degré que le nu-
méro de ce terme, diviſé par le premier terme, élevé à une
puiſſance moindre de deux degrés que le même numéro.
Corollaire III.
249.
Si l’on ſuppoſe a égal à l’unité la ſuite ou progreſſion
{: /: } a. aq. aq2, & c. deviendra {: /: } q1. q2. q3. q4. q5. q6, & c. D’où
il ſuit que toutes les puiſſances d’un nombre forment une pro-
greſſion géométrique; ce qui eſt d’ailleurs évident par l’idée
que l’on doit avoir des puiſſances ſucceſſives d’un nombre.
{: /: } a. aq. aq2, & c. deviendra {: /: } q1. q2. q3. q4. q5. q6, & c. D’où
il ſuit que toutes les puiſſances d’un nombre forment une pro-
greſſion géométrique; ce qui eſt d’ailleurs évident par l’idée
que l’on doit avoir des puiſſances ſucceſſives d’un nombre.
PROPOSITION XV.
Theoreme.
250.
Dans une progreſſion quelconque, la ſomme des antécé-
dens eſt à la ſomme des conſéquens, comme un ſeul antécédent eſt
à ſon conſéquent; c’eſt-à-dire que ſi les grandeurs a, b, c, d, f,
font une progreſſion géométrique, on aura cette proportion, a + b
+ c + d + f. b + c + d + f: : a. b.
dens eſt à la ſomme des conſéquens, comme un ſeul antécédent eſt
à ſon conſéquent; c’eſt-à-dire que ſi les grandeurs a, b, c, d, f,
font une progreſſion géométrique, on aura cette proportion, a + b
+ c + d + f. b + c + d + f: : a. b.
Demonstration.
Il faut démontrer que le produit des extrêmes ab + bb + bc
+ bd eſt égal au produit des moyens. ab + ac + ad + af.
1°. ab = ab. 2°. Puiſque par la nature de la progreſſion a. b: :
b. c, bb = ac. 3°. Par la même raiſon, puiſque a. b: : b. c, &
que b. c : : c. d, on aura a. b: : c. d; donc ad = bc. 4°. Puiſque
a. b : : c. d: : d. f, on aura a. b : : d. f; donc af = bd. Ainſi
toutes les parties du produit des extrêmes ſont égales à toutes
les parties du produit des moyens; d’où il ſuit que la pro-
portion a lieu.
+ bd eſt égal au produit des moyens. ab + ac + ad + af.
1°. ab = ab. 2°. Puiſque par la nature de la progreſſion a. b: :
b. c, bb = ac. 3°. Par la même raiſon, puiſque a. b: : b. c, &
que b. c : : c. d, on aura a. b: : c. d; donc ad = bc. 4°. Puiſque
a. b : : c. d: : d. f, on aura a. b : : d. f; donc af = bd. Ainſi
toutes les parties du produit des extrêmes ſont égales à toutes
les parties du produit des moyens; d’où il ſuit que la pro-
portion a lieu.
Corollaire.
251.
Si la progreſſion eſt décroiſſante, &
décroît juſqu’à
l’infini, le dernier terme pourra être regardé comme zero:
ainſi la ſomme des antécédens, qui eſt tous les termes,
l’infini, le dernier terme pourra être regardé comme zero:
ainſi la ſomme des antécédens, qui eſt tous les termes,