165159OPTICAE LIBER V.
18 d 11 & 32 p 1 angulus ab axe & latere e g cõprehẽſus, eſt acutus] & à pũcto a ducatur ęquidiſtãs li-
n e æ r t: quę ſit a s: & ducatur à pũcto e linea, cõmunis ſuperficiei reflexionis a e h & ſuperficiei, con
tingẽti pyra midẽ in linea g e: quæ ſit e o. Cadet quidẽ orthogonaliter ſuper a s: cũ ſit orthogonalis
ſuper e t: [quia enim e o tãgit peripheriã circuli in e: erit
91[Figure 91]g m n b f q k l e p o h r a ք 18 p 3 perpẽdicularis ipſi r e t, cui a s parallela eſt ք fabri
cationẽ. Quare ք 29 p 1 e o perpendicularis eſt ipſi a s] &
ducatur linea b q: quæ ꝓ ducta, neceſſariò cõcurret cũ li-
nea a l: [ք lẽma Procli ad 29 p 1] ſit pũctũ cõcurſus l: &
ducatur à pũcto q linea, cõmunis ſuperficiei cõtingenti,
[ſpeculũ in latere conico e g] & ſuperficiei a b l: quæ ſit
o p: & ducãtur l s, p o. Palàm, quoniam ſuperficies a l s eſt
ęquidiſtãs ſuperficiei g e k: [Nã quia e t ſemidiameter cir
culi, eſt perpẽdicularis axi ք 18. 3 d 11: & angulus g q k re-
ctus ք fabricationẽ: ergo ք 32 p 1 angulus g k q eſt acutus,
& reliquus t k q obtuſus. Quare e t, f k ultra axẽ cõtinua-
tæ efficient angulos duob. rectis minores ք 13 p 1, & ք 11
ax. cõcurrent: His uerò parallelæ a l, a s cõcurrũt in pun-
cto a: ſuntq́; binę in diuerſis planis. Ergo ք 15 p 11 ipſarũ
plana ſunt parallela] & lineæ q e, p o ſunt in ſuքficie con
tingẽte: quę ſuքficies ſecat illas ſuperficies ęquidiſtãtes,
ſuper duas lineas q e, p o: Igitur [ք 16 p 11] q e æquidiſtat
p o. Ducatur aũt linea h e, donec cõcurrat cũ h s in pũcto
s [cõcurret aũt ք lẽma Procli ad 29 p 1. ] Palã [ք 1 p 11] q đ
linea e s eſt in ſuperficie h e g: & in eadẽ eſt linea b l: [ք 2
p 11] & hęc ſuperficies ſecat prædictas ſuperficies æquidi
ſtãtes, in duabus lineis e q, l s. Igitur [ք 16 p 11] e q eſt æ-
diſtãs l s: erit igitur [ք 30 p 1] p o ęquidiſtãs l s. Quare [ք
2 p 6] a o ad o s, ſicut a p ad p l: ſed palã [per 12 n 4] quod
angulus h e r æ qualis eſt angulo r e a: erit angulus e s a ę-
qualis angulo e a s: [Nã cũ r t ſit parallela ipſi a s per fabri
cationẽ: æquabitur tũ angulus h e r exterior, angulo e s a interiori & oppoſito, tũ e a s alterno r e a
per 29 p 1. Quare ք 1 ax. angulus e s a æquabitur angulo e a s] & e o eſt perpẽdicularis ſuper a s: [ut
oſtẽſum eſt] erit ergo [per 26 p 1] a o æqualis o s: erit ergo a p æqualis p l [demõſtratũ enim eſt, ut a o
ad o s, ſic a p ad p l] & q p perpẽdicularis eſt ſuper a l. cũ ſit perpẽdicularis ſuper f k. [Quia enim f k
քpẽdicularis eſt plano tãgẽti, ut patuit, in quo eſt q p: cũ ſit illius, & plani a b l cõmunis ſectio: ergo
ք 3 d 11 f k eſt քpẽdicularis ipſi p q, & ք 29 p 1 ipſi a l parallelę. ] Igitur [ք 4 p 1] q l ęqualis a q: & angul9
q l a æqualis angulo l a q. Erit ergo angulus b q f æqualis angulo a q f: [Quia enim q f parallela eſt
ipſi a l: ęquabitur exterior angulus b q finteriori & oppoſito q l a: & q a l alterno a q f ք 29 p 1. Qua-
re b q f æquabitur a q f. ] Igitur a reflectetur ad b à puncto q [per 12 n 4. ] Quod eſt propoſitum.
n e æ r t: quę ſit a s: & ducatur à pũcto e linea, cõmunis ſuperficiei reflexionis a e h & ſuperficiei, con
tingẽti pyra midẽ in linea g e: quæ ſit e o. Cadet quidẽ orthogonaliter ſuper a s: cũ ſit orthogonalis
ſuper e t: [quia enim e o tãgit peripheriã circuli in e: erit
91[Figure 91]g m n b f q k l e p o h r a ք 18 p 3 perpẽdicularis ipſi r e t, cui a s parallela eſt ք fabri
cationẽ. Quare ք 29 p 1 e o perpendicularis eſt ipſi a s] &
ducatur linea b q: quæ ꝓ ducta, neceſſariò cõcurret cũ li-
nea a l: [ք lẽma Procli ad 29 p 1] ſit pũctũ cõcurſus l: &
ducatur à pũcto q linea, cõmunis ſuperficiei cõtingenti,
[ſpeculũ in latere conico e g] & ſuperficiei a b l: quæ ſit
o p: & ducãtur l s, p o. Palàm, quoniam ſuperficies a l s eſt
ęquidiſtãs ſuperficiei g e k: [Nã quia e t ſemidiameter cir
culi, eſt perpẽdicularis axi ք 18. 3 d 11: & angulus g q k re-
ctus ք fabricationẽ: ergo ք 32 p 1 angulus g k q eſt acutus,
& reliquus t k q obtuſus. Quare e t, f k ultra axẽ cõtinua-
tæ efficient angulos duob. rectis minores ք 13 p 1, & ք 11
ax. cõcurrent: His uerò parallelæ a l, a s cõcurrũt in pun-
cto a: ſuntq́; binę in diuerſis planis. Ergo ք 15 p 11 ipſarũ
plana ſunt parallela] & lineæ q e, p o ſunt in ſuքficie con
tingẽte: quę ſuքficies ſecat illas ſuperficies ęquidiſtãtes,
ſuper duas lineas q e, p o: Igitur [ք 16 p 11] q e æquidiſtat
p o. Ducatur aũt linea h e, donec cõcurrat cũ h s in pũcto
s [cõcurret aũt ք lẽma Procli ad 29 p 1. ] Palã [ք 1 p 11] q đ
linea e s eſt in ſuperficie h e g: & in eadẽ eſt linea b l: [ք 2
p 11] & hęc ſuperficies ſecat prædictas ſuperficies æquidi
ſtãtes, in duabus lineis e q, l s. Igitur [ք 16 p 11] e q eſt æ-
diſtãs l s: erit igitur [ք 30 p 1] p o ęquidiſtãs l s. Quare [ք
2 p 6] a o ad o s, ſicut a p ad p l: ſed palã [per 12 n 4] quod
angulus h e r æ qualis eſt angulo r e a: erit angulus e s a ę-
qualis angulo e a s: [Nã cũ r t ſit parallela ipſi a s per fabri
cationẽ: æquabitur tũ angulus h e r exterior, angulo e s a interiori & oppoſito, tũ e a s alterno r e a
per 29 p 1. Quare ք 1 ax. angulus e s a æquabitur angulo e a s] & e o eſt perpẽdicularis ſuper a s: [ut
oſtẽſum eſt] erit ergo [per 26 p 1] a o æqualis o s: erit ergo a p æqualis p l [demõſtratũ enim eſt, ut a o
ad o s, ſic a p ad p l] & q p perpẽdicularis eſt ſuper a l. cũ ſit perpẽdicularis ſuper f k. [Quia enim f k
քpẽdicularis eſt plano tãgẽti, ut patuit, in quo eſt q p: cũ ſit illius, & plani a b l cõmunis ſectio: ergo
ք 3 d 11 f k eſt քpẽdicularis ipſi p q, & ք 29 p 1 ipſi a l parallelę. ] Igitur [ք 4 p 1] q l ęqualis a q: & angul9
q l a æqualis angulo l a q. Erit ergo angulus b q f æqualis angulo a q f: [Quia enim q f parallela eſt
ipſi a l: ęquabitur exterior angulus b q finteriori & oppoſito q l a: & q a l alterno a q f ք 29 p 1. Qua-
re b q f æquabitur a q f. ] Igitur a reflectetur ad b à puncto q [per 12 n 4. ] Quod eſt propoſitum.
55. Viſu & uiſibili in plano per uerticem ſpeculi conici
conuexi ducto, baſí par allelo, poſitis: punctũ reflexio-
nis inuenire. 36 p 7.
92[Figure 92]g m q n t e b r aconuexi ducto, baſí par allelo, poſitis: punctũ reflexio-
nis inuenire. 36 p 7.
SI uerò cẽtrũ uiſus & punctũ uiſum fuerint in ſuperfi
cie m g n: ſit unũ in puncto m, aliud in pũcto n: & du
cãtur lineæ m g, n g, m n: & diuidatur angulus m g n
per æqualia, per lineã q g [per 9 p 1. ] Palã [per 12 n 4] qđ
n à puncto g reflectitur ad m. Palã etiã, quòd linea q g &
axis pyramidis ſunt in ſuperficie, ſecãte pyramidẽ ſuper
lineã longitudinis: [ſunt enim axis & latus in uno plano,
ut è 18 d 11 intelligitur, & in eodẽ plano eſt recta linea q g
per 2 p 11] à pũcto q ducatur orthogonalis ſuper hãc lineã
lõgitudinis g e: quę ſit q e: & ſuper pũctũ e fiat ſuperficies
æquidiſtãs baſi: [ut dictũ eſt 52 n] quæ ſecabit pyramidẽ
ſuper circulũ [per 4 th 1 coni. Apol. ] linea cõmunis ſuք-
ficiei q e g, & huic circulo ſit e t. Palã, quoniã cadet ſuper
axem & ſuper cẽtrũ circuli. [Quia enim conus ſectus eſt
duplici plano: uno per axem, altero ad baſim parallelo: &
illius quidẽ & coni cõmunis ſectio eſt triágulũ, per 3 th 1
coni. Apol. huius uerò circulus per 4 th eiuſdẽ: ergo per
cõſectariũ 4 th comunis ſectio circuli & trianguli eſt dia
meter circuli, cuius cẽtrum eſt in axe. ] Deinde à pũcto m
ducatur ęquidiſtãs lineę e g: quę quidẽ in ſuperficie illius
circuli cadat in pũctũ b: [cadet aũt, ꝗa eſt interplana pa-
rallela. ] Similiter à pũcto n ducatur æquidiſtans g e: quæ
cadat in pũctũ a: & ducatur a b: & e t ſecet eá in punctor.
cie m g n: ſit unũ in puncto m, aliud in pũcto n: & du
cãtur lineæ m g, n g, m n: & diuidatur angulus m g n
per æqualia, per lineã q g [per 9 p 1. ] Palã [per 12 n 4] qđ
n à puncto g reflectitur ad m. Palã etiã, quòd linea q g &
axis pyramidis ſunt in ſuperficie, ſecãte pyramidẽ ſuper
lineã longitudinis: [ſunt enim axis & latus in uno plano,
ut è 18 d 11 intelligitur, & in eodẽ plano eſt recta linea q g
per 2 p 11] à pũcto q ducatur orthogonalis ſuper hãc lineã
lõgitudinis g e: quę ſit q e: & ſuper pũctũ e fiat ſuperficies
æquidiſtãs baſi: [ut dictũ eſt 52 n] quæ ſecabit pyramidẽ
ſuper circulũ [per 4 th 1 coni. Apol. ] linea cõmunis ſuք-
ficiei q e g, & huic circulo ſit e t. Palã, quoniã cadet ſuper
axem & ſuper cẽtrũ circuli. [Quia enim conus ſectus eſt
duplici plano: uno per axem, altero ad baſim parallelo: &
illius quidẽ & coni cõmunis ſectio eſt triágulũ, per 3 th 1
coni. Apol. huius uerò circulus per 4 th eiuſdẽ: ergo per
cõſectariũ 4 th comunis ſectio circuli & trianguli eſt dia
meter circuli, cuius cẽtrum eſt in axe. ] Deinde à pũcto m
ducatur ęquidiſtãs lineę e g: quę quidẽ in ſuperficie illius
circuli cadat in pũctũ b: [cadet aũt, ꝗa eſt interplana pa-
rallela. ] Similiter à pũcto n ducatur æquidiſtans g e: quæ
cadat in pũctũ a: & ducatur a b: & e t ſecet eá in punctor.