171165OPTICAE LIBER V.
66. Viſ{us} & uiſibile in diuerſis dimetris circuli (qui eſt commu nis ſectio ſuperficierum refle-
xionis & ſpeculi ſphærici caui) inter ſe reflectuntur, tum à perip heria inter ſemidiametros, in
quibus ſunt: tum ab alia huic oppoſita: à reliquis uerò duab{us} minimè. 20 p 8.
xionis & ſpeculi ſphærici caui) inter ſe reflectuntur, tum à perip heria inter ſemidiametros, in
quibus ſunt: tum ab alia huic oppoſita: à reliquis uerò duab{us} minimè. 20 p 8.
SI uerò b punctũ uiſum fuerit extra diametrum d a g, ducatur diameter tranſiens per b:
quæ fit
t q. Dico, quòd b poteſt reflecti ad uiſum a per arcum interiacentẽ diametros, in quibus ſunt a
& b, & ſimiliter per eius oppoſitum, id eſt, per arcum t d, & per arcum g q: & non poterit refle-
cti ab aliquo puncto arcus g t uelarcus q d. Verbi gratia: ſumatur punctum in arcu g t, propet, quod
ſit k: & du cantur lineæ a k, k b: donec cadat k b ſuper diametrum d g in puncto o. Cum igitur o & a
ſint ex eadẽ parte centri circuli, quod eſt e: perpẽdicularis ducta à puncto k ad e, nõ diuidet angulũ
o k a. Et ita b non reflectetur ad a à puncto k. Simili-
105[Figure 105]t k m b f d a o e g c h q ter ſumpto alio pũcto, quod ſit f: patebit, quòd per-
pendicularis e f non diuidet angulum a fb. Et ita nõ
reflectetur b ad a à puncto f. Quòd autem à puncto
arcus t d, uel arcus g q poſsit fieri reflexio: palàm per
hoc. Sit m punctum arcus t d: & ducantur lineę a m,
m b: fiet quadrangulum a m b e. Igitur perpendicu-
laris e m diuidet angulum a m b. Simili modo ſit h
punctum arcus g q: Linea a h ſecabit diametrum t q
in puncto c: & linea h b eundem in puncto b. Et ſunt
hæc etiam duo puncta ex diuerſis partibus centri.
Quare linea e h diuidet illum angulum. Pari modo,
ſi fuerit b in ſuperficie ſpeculi: aut extra ſpeculum,
dum a ſit intra ſpeculum: idem erit probãdi modus,
qui prius. Similiter ſi a fuerit in ſuperficie ſpeculi, b
interius, aut exterius. Si uerò a fuerit extra ſpecu-
lum, b intra: patebit, quod diximus. Ducantur enim lineæ à puncto a contingentes circulum d t g
[per 17 p 1] quæ ſint a h, a z: & ducantur duę diametri
106[Figure 106]a z m d h f b t b e q q g a e g, t e q: & b in diametro t e q: reflectetur b ad a ab
aliquo puncto arcus t d: [ut conftat è iam demonſtra
tis. ] Sed palàm, quòd non ab aliquo puncto arcus z
d. [ductis enim duabus rectis e z, b z: erit angulus e z
a rectus per 18 p 3, & e z b acutus, ut oſtenſum eſt 60
n. Quare ob angulorum inæquabilitatem, à puncto
z, ad uiſum a nulla fiet reflexio: multò igitur minus à
punctis inter z & d intermedijs: quia angulorum ad
lineã z a factorũ, unius quidẽ acuti, alterius uerò ob-
tuſi per 16 p 1, multò maior futura eſt inęquabilitas. ]
Igitur ab aliquo pũcto arcus t z: & ſimiliter ab aliquo
pũcto arcus oppoſiti ipſi t d, ſcilicet arcus g q refle-
xio fiet. Sed ab arcu t g, uel d q nõ fiet reflexio ſecun-
dũ ſuprà dictũ modũ. Si uerò b fuerit extra hanc dia
metrũ, & ſuper aliã, quæ ſimiliter ſit t e q: fiet reflexio
ab arcu t d: & à ſola parte eiust z, & ab arcu oppoſito,
qui eſt g q: ſed ab arcu t g, uel d q non fiet reflexio.
t q. Dico, quòd b poteſt reflecti ad uiſum a per arcum interiacentẽ diametros, in quibus ſunt a
& b, & ſimiliter per eius oppoſitum, id eſt, per arcum t d, & per arcum g q: & non poterit refle-
cti ab aliquo puncto arcus g t uelarcus q d. Verbi gratia: ſumatur punctum in arcu g t, propet, quod
ſit k: & du cantur lineæ a k, k b: donec cadat k b ſuper diametrum d g in puncto o. Cum igitur o & a
ſint ex eadẽ parte centri circuli, quod eſt e: perpẽdicularis ducta à puncto k ad e, nõ diuidet angulũ
o k a. Et ita b non reflectetur ad a à puncto k. Simili-
105[Figure 105]t k m b f d a o e g c h q ter ſumpto alio pũcto, quod ſit f: patebit, quòd per-
pendicularis e f non diuidet angulum a fb. Et ita nõ
reflectetur b ad a à puncto f. Quòd autem à puncto
arcus t d, uel arcus g q poſsit fieri reflexio: palàm per
hoc. Sit m punctum arcus t d: & ducantur lineę a m,
m b: fiet quadrangulum a m b e. Igitur perpendicu-
laris e m diuidet angulum a m b. Simili modo ſit h
punctum arcus g q: Linea a h ſecabit diametrum t q
in puncto c: & linea h b eundem in puncto b. Et ſunt
hæc etiam duo puncta ex diuerſis partibus centri.
Quare linea e h diuidet illum angulum. Pari modo,
ſi fuerit b in ſuperficie ſpeculi: aut extra ſpeculum,
dum a ſit intra ſpeculum: idem erit probãdi modus,
qui prius. Similiter ſi a fuerit in ſuperficie ſpeculi, b
interius, aut exterius. Si uerò a fuerit extra ſpecu-
lum, b intra: patebit, quod diximus. Ducantur enim lineæ à puncto a contingentes circulum d t g
[per 17 p 1] quæ ſint a h, a z: & ducantur duę diametri
106[Figure 106]a z m d h f b t b e q q g a e g, t e q: & b in diametro t e q: reflectetur b ad a ab
aliquo puncto arcus t d: [ut conftat è iam demonſtra
tis. ] Sed palàm, quòd non ab aliquo puncto arcus z
d. [ductis enim duabus rectis e z, b z: erit angulus e z
a rectus per 18 p 3, & e z b acutus, ut oſtenſum eſt 60
n. Quare ob angulorum inæquabilitatem, à puncto
z, ad uiſum a nulla fiet reflexio: multò igitur minus à
punctis inter z & d intermedijs: quia angulorum ad
lineã z a factorũ, unius quidẽ acuti, alterius uerò ob-
tuſi per 16 p 1, multò maior futura eſt inęquabilitas. ]
Igitur ab aliquo pũcto arcus t z: & ſimiliter ab aliquo
pũcto arcus oppoſiti ipſi t d, ſcilicet arcus g q refle-
xio fiet. Sed ab arcu t g, uel d q nõ fiet reflexio ſecun-
dũ ſuprà dictũ modũ. Si uerò b fuerit extra hanc dia
metrũ, & ſuper aliã, quæ ſimiliter ſit t e q: fiet reflexio
ab arcu t d: & à ſola parte eiust z, & ab arcu oppoſito,
qui eſt g q: ſed ab arcu t g, uel d q non fiet reflexio.
107[Figure 107]l p m t n b d a c g x s u q
67. Si uiſu & uiſibili in diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, re-
flexionis & ſpeculi ſphærici caui) ſitis: linea à uiſu parallela dia-
metro uiſibilis, ſecet dicti circuli peripheriam. Imago reflexa à peripheria inter parallelam & uiſibilis diametrum, uidebitur extra ſpeculum: à peripheria inter par allelam & diametrum ui- ſ{us}, ultra uiſum: à peripheria uerò oppoſita, inter uiſum & ſpe- culum. 21 p 8.
flexionis & ſpeculi ſphærici caui) ſitis: linea à uiſu parallela dia-
metro uiſibilis, ſecet dicti circuli peripheriam. Imago reflexa à peripheria inter parallelam & uiſibilis diametrum, uidebitur extra ſpeculum: à peripheria inter par allelam & diametrum ui- ſ{us}, ultra uiſum: à peripheria uerò oppoſita, inter uiſum & ſpe- culum. 21 p 8.
VErũ ſi â puncto a ducatur æquidiſtans t e:
quæ ſit a p:
loca ima
ginũ reflexarũ à punctis arcus t p, erunt extra ſpeculũ: loca au
tẽ imaginũ arcus p d, ultra centrũ uiſus, quod eſt a: loca au-
tem imaginum arcus q g ſunt inter centrum uiſus & ſpeculum. Et
quod ſuprà [60. 61 n] dictum eſt de locis imaginum: idem intelligẽ-
dum, ducta a m æquidiſtante lineæ t q.
ginũ reflexarũ à punctis arcus t p, erunt extra ſpeculũ: loca au
tẽ imaginũ arcus p d, ultra centrũ uiſus, quod eſt a: loca au-
tem imaginum arcus q g ſunt inter centrum uiſus & ſpeculum. Et
quod ſuprà [60. 61 n] dictum eſt de locis imaginum: idem intelligẽ-
dum, ducta a m æquidiſtante lineæ t q.
68. In quolibet puncto diametri circuli (qui eſt com-
munis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphæri-
ci caui) quantumlibet continuatæ, poteſt imago uideri.
22 p 8.
munis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphæri-
ci caui) quantumlibet continuatæ, poteſt imago uideri.
22 p 8.
AMplius:
ſumpta diametro circuli in ſphærico ſpeculo cõcau:
quodlibet punctũ illius diametri,