172166ALHAZEN
quantum cunq;
productæ, poteſt eſſe locus imaginum.
Verbi gratia:
ſit a g diameter circuli a m g:
cu-
ius d centrum. Sumatur in hac diametro punctum z: e cẽtrum uiſus.
108[Figure 108]z t a l m e d b p g Dico, quòd z poteſt eſſe locus imaginis. Ducatur linea e t z per t pun
ctum circuli: & ducatur linea d t: erit angulus e t d acutus: [ut demõ-
ſtratum eſt 60 n. ] Fiat aũt ei ęqualis [ք 23 p 1] ꝗ ſit d t l. Palã [per 12 n
4] quòd l reflectetur ad e à puncto t: & eius imago erit z [ք 6 n. ] Simi
liter ſumpto l puncto: patebit quod eſt locus imaginis. Ducatur. n. li-
neale uſq; in b punctũ circuli: & ducatur linea b d: erit [ut prius] an-
gulus e b d acutus. Fiat ei ęqualis: qui ſit d b p: reflectetur quidẽ pun-
ctum p ad e à puncto b: [per 12 n 4] & locus imaginis eius erit l: [per
6 n. ] Et ita ſumpto quocunq; alio puncto: erit eadem probatio.
ius d centrum. Sumatur in hac diametro punctum z: e cẽtrum uiſus.
108[Figure 108]z t a l m e d b p g Dico, quòd z poteſt eſſe locus imaginis. Ducatur linea e t z per t pun
ctum circuli: & ducatur linea d t: erit angulus e t d acutus: [ut demõ-
ſtratum eſt 60 n. ] Fiat aũt ei ęqualis [ք 23 p 1] ꝗ ſit d t l. Palã [per 12 n
4] quòd l reflectetur ad e à puncto t: & eius imago erit z [ք 6 n. ] Simi
liter ſumpto l puncto: patebit quod eſt locus imaginis. Ducatur. n. li-
neale uſq; in b punctũ circuli: & ducatur linea b d: erit [ut prius] an-
gulus e b d acutus. Fiat ei ęqualis: qui ſit d b p: reflectetur quidẽ pun-
ctum p ad e à puncto b: [per 12 n 4] & locus imaginis eius erit l: [per
6 n. ] Et ita ſumpto quocunq; alio puncto: erit eadem probatio.
69. Si uiſu et uiſibili in eadẽ diametro circuli (ꝗ eſt cõmunis ſectio
ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) ſitis: imago uidea
tur in ipſo uiſu: ab uno ſemicirculi, uel à quolibet alteri{us} definiti
circuli puncto poteſt ad uiſum reflexio fieri. 23 p 8.
ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) ſitis: imago uidea
tur in ipſo uiſu: ab uno ſemicirculi, uel à quolibet alteri{us} definiti
circuli puncto poteſt ad uiſum reflexio fieri. 23 p 8.
AMplius:
punctorum, quæ cõprehẽduntur in his ſpeculis:
quo-
rundã imagines quaturor loca ſortiuntur: quorundã tria: quo-
rundã duo: quorundã unum. Punctũ, cuius imago in quatuor
ceciderit loca: â quatuor pũctis determinatis reflectitur, nõ ab alijs,
uel plurib. Punctum, cuius imago tria ſibi uſurpat loca: à tribus pun-
ctis ſpeculi reflectitur, nõ à plurib. cuius duo: à duobus. Puncti aũt, cuius imago in unicum caditlo-
cũ: poterit eſſe: quòd ab uno tãtùm puncto ſit reflexio: & poterit eſſe: quòd à quolibet circuli deter-
minati puncto, non ab alio. Verbi gratia: ſit e cẽtrum uiſus: h ſit punctũ uiſum in eadẽ diametro: d ſit
centrum circuli. Ducatur diameter z e h a: aut e d eſt æqualis d h: aut nõ. Sit æqualis: & ſuper e h du
catur à puncto d perpendiculariter diameter g d b: & ducãtur lineę h g, g e, h b, b e. Palã [per 4 p 1]
quòd triangulũ h g d æquale triãgulo e d g, & ęqua-
109[Figure 109]g c z e d h a b le triãgulo h b d, & triãgulo e b d. Palàm, quòd, cum
angulus h g e diuiſus ſit per ęqualia, h à puncto g re
flectetur ad e: [per 12 n 4] & locus imaginis eius eſt
e [per 6 n. ] Similiter h à puncto b reflectetur ad e:
& locus imaginis eius e. Si igitur diametro z e h a
immota, moueatur ſemicirculus a g z per ſphæram
ſpeculi aut ſolũ triangulũ h g e: deſcribet quidẽ pun
ctum g motu ſuo circulũ: & à quolibet puncto circu
li reflectetur h ad e: & locus imaginis eius ſemper
erit punctũ e. Et ita patet propoſitum. Quòd aũt ab
alio puncto, ꝗ̃ aliquo illius circuli, nõ poſsit fieri re-
flexio puncti h ad e: palã per hoc. Sumatur punctũ
c, & ducatur e c, c h: erit quidẽ [per 7 p 3] e c maior
linea e g, & linea h c minor linea h g. Quare non erit
proportio e c ad c h, ſicut e d ad d h. [Quia. n. ex the
ſi punctum h reflectitur ad e à puncto g: erit per 12
n 4. 3 p 6 e g ad g h, ſicut e d ad d h. Itaq; cum e c, h c
ſint inęquales ipſis e g, g h: nõ erunt proportionales ipſis e d, d h. ] Igitur [per 3 p 6] linea d c nõ diui-
det angulum e c h per æqualia. Quare h à puncto c non põtreflecti ad e. [Idẽ breuius cõcludetur ք
4 ꝓ. geometrię Iordani. Quia. n. triãguli e c h latera e c, h c ſuntinęqualia: & recta c d ab ipſorũ angu
lo eſt in mediũ baſis e h ex theſi: erit ք allegatã 4 ꝓpoſitionẽ angulus e c d minorangulo h c d. Qua
re h à puncto c ad uiſum e nõ reflectetur. Quòd aũt e c, h c latera ſint inæqualia, patet: quia per 7 p 3 e
c maior eſt e g, id eſt, h g (ęquales. n. ſunt è cõcluſo) & h g maior h c: erit e c multò maior h c. ] Eadem
erit probatio, ſi ſumatur c inter g & z. Si uerò e d fuerit maior d h: mutetur figura: & addatur lineæ
d h, linea h q, ut productum ex e q in q h, ſit æquale quadrato d q. Erit igitur proportio e q ad d q, ſi-
cut d q ad h q, ſicut probat Euclides [17 p 6. ] Fiat circulus ad quãtitatẽ ſemidiametri q d: cuius q cẽ
trum: g, b loca ſectionis duorũ circulorum: & ducãtur lineę e g, e b, q g, q b, d g, d b, h g, h b. Palã ergo,
quòd erit proportio e q ad q g, ſicut q g ad q h: [ęquales enim ſunt q g, d q ք 15 d 1: itaq; e q ad d q & q
g eãdẽ habet rationẽ ք 7 p 5: & iã patuit, ut e q ad d q, ſic d q ad h q: ergo per 7 p 5, ute q ad g q, ſic g q
ad h q] & angulus g q h cõmunis utriq; triãgulo e q g, h q g. Igitur illa duo triãgula ſunt ſimilia. [ք 6.
4 p. 1 d 6. ] Erit igitur proportio e q ad q g, ſicute e g ad g h. Erit igitur e d ad d h, ſicut e g ad g h. [oſten
ſũ. n. eſt, ut tota e q ad totã d q, ſic ablata d q ad ablatã h q: ergo ք 19 p 5, uttota e q ad totã d q, id eſt q
g. ſic reliqua e d ad reliquã d h: ſed ut e q ad q g, ſic e g ad g h: ergo ք 11 p 5 ut e d ad d h, ſice g ad g h. ]
Quare [ք 3 p 6] linea d g diuidet angulũ e g h ք ęqualia. Vnde punctũ h à pũcto g reflectetur ad e: [ք
12 n 4] & locus imaginis eius pũctũ e [ք 6 n. ] Similiter h à pũcto b reflectetur ad e: & locus imaginis
eſt pũctũ e. Si ergo moueatur triãgulũ e g h, pũctis e, h immotis: pũctũ g deſcribet in ſphęra circulũ,
à cuius quolibet pũcto reflectetur h ad e: & ſemք erit locus imaginis e. Et qđ ab alio pũcto, ꝗ̃ aliquo
illius circuli, nõ poſsit h reflecti ad e: palã, ut prius. Si. n. ſumatur c inter g & a: erit e c maior e g, & h c
rundã imagines quaturor loca ſortiuntur: quorundã tria: quo-
rundã duo: quorundã unum. Punctũ, cuius imago in quatuor
ceciderit loca: â quatuor pũctis determinatis reflectitur, nõ ab alijs,
uel plurib. Punctum, cuius imago tria ſibi uſurpat loca: à tribus pun-
ctis ſpeculi reflectitur, nõ à plurib. cuius duo: à duobus. Puncti aũt, cuius imago in unicum caditlo-
cũ: poterit eſſe: quòd ab uno tãtùm puncto ſit reflexio: & poterit eſſe: quòd à quolibet circuli deter-
minati puncto, non ab alio. Verbi gratia: ſit e cẽtrum uiſus: h ſit punctũ uiſum in eadẽ diametro: d ſit
centrum circuli. Ducatur diameter z e h a: aut e d eſt æqualis d h: aut nõ. Sit æqualis: & ſuper e h du
catur à puncto d perpendiculariter diameter g d b: & ducãtur lineę h g, g e, h b, b e. Palã [per 4 p 1]
quòd triangulũ h g d æquale triãgulo e d g, & ęqua-
109[Figure 109]g c z e d h a b le triãgulo h b d, & triãgulo e b d. Palàm, quòd, cum
angulus h g e diuiſus ſit per ęqualia, h à puncto g re
flectetur ad e: [per 12 n 4] & locus imaginis eius eſt
e [per 6 n. ] Similiter h à puncto b reflectetur ad e:
& locus imaginis eius e. Si igitur diametro z e h a
immota, moueatur ſemicirculus a g z per ſphæram
ſpeculi aut ſolũ triangulũ h g e: deſcribet quidẽ pun
ctum g motu ſuo circulũ: & à quolibet puncto circu
li reflectetur h ad e: & locus imaginis eius ſemper
erit punctũ e. Et ita patet propoſitum. Quòd aũt ab
alio puncto, ꝗ̃ aliquo illius circuli, nõ poſsit fieri re-
flexio puncti h ad e: palã per hoc. Sumatur punctũ
c, & ducatur e c, c h: erit quidẽ [per 7 p 3] e c maior
linea e g, & linea h c minor linea h g. Quare non erit
proportio e c ad c h, ſicut e d ad d h. [Quia. n. ex the
ſi punctum h reflectitur ad e à puncto g: erit per 12
n 4. 3 p 6 e g ad g h, ſicut e d ad d h. Itaq; cum e c, h c
ſint inęquales ipſis e g, g h: nõ erunt proportionales ipſis e d, d h. ] Igitur [per 3 p 6] linea d c nõ diui-
det angulum e c h per æqualia. Quare h à puncto c non põtreflecti ad e. [Idẽ breuius cõcludetur ք
4 ꝓ. geometrię Iordani. Quia. n. triãguli e c h latera e c, h c ſuntinęqualia: & recta c d ab ipſorũ angu
lo eſt in mediũ baſis e h ex theſi: erit ք allegatã 4 ꝓpoſitionẽ angulus e c d minorangulo h c d. Qua
re h à puncto c ad uiſum e nõ reflectetur. Quòd aũt e c, h c latera ſint inæqualia, patet: quia per 7 p 3 e
c maior eſt e g, id eſt, h g (ęquales. n. ſunt è cõcluſo) & h g maior h c: erit e c multò maior h c. ] Eadem
erit probatio, ſi ſumatur c inter g & z. Si uerò e d fuerit maior d h: mutetur figura: & addatur lineæ
d h, linea h q, ut productum ex e q in q h, ſit æquale quadrato d q. Erit igitur proportio e q ad d q, ſi-
cut d q ad h q, ſicut probat Euclides [17 p 6. ] Fiat circulus ad quãtitatẽ ſemidiametri q d: cuius q cẽ
trum: g, b loca ſectionis duorũ circulorum: & ducãtur lineę e g, e b, q g, q b, d g, d b, h g, h b. Palã ergo,
quòd erit proportio e q ad q g, ſicut q g ad q h: [ęquales enim ſunt q g, d q ք 15 d 1: itaq; e q ad d q & q
g eãdẽ habet rationẽ ք 7 p 5: & iã patuit, ut e q ad d q, ſic d q ad h q: ergo per 7 p 5, ute q ad g q, ſic g q
ad h q] & angulus g q h cõmunis utriq; triãgulo e q g, h q g. Igitur illa duo triãgula ſunt ſimilia. [ք 6.
4 p. 1 d 6. ] Erit igitur proportio e q ad q g, ſicute e g ad g h. Erit igitur e d ad d h, ſicut e g ad g h. [oſten
ſũ. n. eſt, ut tota e q ad totã d q, ſic ablata d q ad ablatã h q: ergo ք 19 p 5, uttota e q ad totã d q, id eſt q
g. ſic reliqua e d ad reliquã d h: ſed ut e q ad q g, ſic e g ad g h: ergo ք 11 p 5 ut e d ad d h, ſice g ad g h. ]
Quare [ք 3 p 6] linea d g diuidet angulũ e g h ք ęqualia. Vnde punctũ h à pũcto g reflectetur ad e: [ք
12 n 4] & locus imaginis eius pũctũ e [ք 6 n. ] Similiter h à pũcto b reflectetur ad e: & locus imaginis
eſt pũctũ e. Si ergo moueatur triãgulũ e g h, pũctis e, h immotis: pũctũ g deſcribet in ſphęra circulũ,
à cuius quolibet pũcto reflectetur h ad e: & ſemք erit locus imaginis e. Et qđ ab alio pũcto, ꝗ̃ aliquo
illius circuli, nõ poſsit h reflecti ad e: palã, ut prius. Si. n. ſumatur c inter g & a: erit e c maior e g, & h c