174168ALHAZEN
maior, ꝗ̃ h l ad l t, ut cõſtat ex 8 p 5.
] Palã igitur, quòd ſit & h ęqualiter diſtẽt à cẽtro, & fuerint ſuper
contingentẽ: non reflectetur t ad h, niſi ab uno ſpeculi puncto tãtùm: & unicus erit eius imaginis lo
cus. Si uerò t d, h d ſunt inæquales: ſecentur ad æqualitatẽ [per 3 p 1] & fiat demonſtratio, ut antea.
contingentẽ: non reflectetur t ad h, niſi ab uno ſpeculi puncto tãtùm: & unicus erit eius imaginis lo
cus. Si uerò t d, h d ſunt inæquales: ſecentur ad æqualitatẽ [per 3 p 1] & fiat demonſtratio, ut antea.
71. Si angulum comprebẽſum à duab{us} diametris, in centro circuli (qui eſt communis ſectio
ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) tertia bifariã ſecet: & ab eius termino in pe-
ripheria dicto angulo ſubtenſa, ſint perpendiculares ſuper dictas diametros: puncta diametro-
rum, tum in quæ perpendiculares cadunt: tũ citr a hæc, à ſpeculi centro æquabiliter diſtãtia, à
ſecantis diametri terminis tantùm inter ſe mutuò reflectẽtur: duaś babebũt imagines. 25 p 8.
ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) tertia bifariã ſecet: & ab eius termino in pe-
ripheria dicto angulo ſubtenſa, ſint perpendiculares ſuper dictas diametros: puncta diametro-
rum, tum in quæ perpendiculares cadunt: tũ citr a hæc, à ſpeculi centro æquabiliter diſtãtia, à
ſecantis diametri terminis tantùm inter ſe mutuò reflectẽtur: duaś babebũt imagines. 25 p 8.
AMplius:
b d q, a d g ſint duæ diametri ſphæræ:
& diameter e d z diuidat angulũ b d g per ęqua-
lia: & à puncto e ducãtur duæ perpendiculares, ſuper duas diametros b d, d g: [per 12 p 1] quę
ſint e t, e h. Palàm [per 26 p 1] quòd triangulũ e t d æquale eſt triangulo e h d, & angulus t e d
angulo h e d, latusq́; t d lateri h d, & latus e t lateri e h: cũ e d ſit cõmunis utriq; . tigitur reflectetur ad
h à puncto e. [per 12 n 4. ] Eodẽ modo à puncto z [Quia enim angulus b d g bifariã ſectus eſt per li-
neã e d: erit angulus t d z æqualis angulo h d z per 13 p 1, & t d æquatur ex cõcluſo ipſi h d, latusq́; d z
cõmune: angulus igitur t z d æquatur angulo h z d per 4 p 1. Quare per 12 n 4 t & h reflectẽtur inter
ſe à puncto z. ] Et palã [per 66 n] quòd t non reflectetur ad h, ab aliquo puncto arcus a b, uel arcus g
q: nec reflectetur ab alio puncto arcus a q, ꝗ̃ à puncto z ſecundũ ſupradictam probationẽ: [numero
præcedẽte. ] Verũ quòd ab alio puncto arcus b g, ꝗ̃ à puncto e, nõ poſsit reflecti: patebit ſic. Detur o
punctũ: & ducantur lineę o d, h o, t o: fiatq́; circulus ad quantitatẽ lineæ d e, trãſiens per tria puncta,
t, d, h: [tranſibit aũt per conuerſionẽ 31 p 3 demonſtratã à Theone in cõm entarijs in 3 librũ magnę cõ
ſtructionis Ptolemęi, & à Cãpano ad 31 p 13: ] cuius quidẽ circuli linea d e erit diameter: cũ angulus e
t d, quẽ reſpicit, ſit rectus Igitur circulus ille tranſibit per punctũ e. Cum igitur e ſit cõmunis utriq;
circulo, & ſit ſuper eandẽ diametrum: continget circulus minor maiorem in puncto e: ſicut probat
Euclidis [13 p 3. ] Igitur circulus iſte ſecabit lineam d o, [ſecus tangeret maiorem circulũ in puncto
o: ſicq́; in duobus punctis e & o tangeret contra 13 p 3] ſecet in puncto l: & ducantur lineæ t l, h l. Iam
patet [è ſuperioribus] quod t d eſt ęqualis h d [ergo per 28 p 3 peripheria t d æquatur peripheriæ h
d. ] Igitur angulus t l d æqualis angulo d l h [per 27 p
112[Figure 112]e p o l g h n d m t b q a z 3] quia ſuper æquales arcus. Reſtat [per 13 p 1] t l o æ-
qualis angulo h l o: & angulus l o t ęqualis angulo l o
h ex hypotheſi: [quia ſunt anguli incidentiæ & refle-
xionis] & l o commune latus: erit [per 26 p 1] triangu
lum t l o æquale triangulo h l o: & erit t o ęqualis h o:
quod eſt impoſsibile: quoniam [per 7 p 3] h o maior
h e, & t o minor t e: & t e, ſicut prius probatum eſt, æ-
qualis eſt h e: [linea igitur h o maior eſt linea t o. ] Re
ſtat ergo, ut t nõ reflectatur ad h, ab alio puncto, quã
ab e uel à z. Item à puncto e ducatur linea ſuper dia-
metrum t d: quæ ſit e m: & ſecetur à linea h d pars, æ-
qualis m d: quæ fit n d: & ducantur e m, e n. Palàm
[per 16 p 1] quòd e m d maior eſt recto: [quia angu-
lus e t d rectus eſt per fabricationem] ſecetur ex eo
æqualis recto per lineam p m [per 23 p 1] quæ cõcur-
ret cum d e: [per lemma Procli ad 29 p 1] ſit concur-
ſus punctum p: & ducatur n p: & fiat circulus ad quantitatem p d, tranſiens per tria puncta m, d, n.
Cum p m d ſit rectus [ex fabricatione] erit p d diameter [per conſectarium 5 p 4] & tranſibit circu
lus per p, [ut oſtenſum eſt. ] Palàm ergo, quòd m reflectetur ad n à puncto e: [cum en: m per 4 p 1 tri
angulum d m p ſit æquilaterum & æquiangulum triangulo d n p: æquabitur m p ipſi n p, & angulus
d p m angulo d p n: ergo per 13 p 1. 3 ax. angulus m p e æquatur angulo n p e, latusq́ue p e commune
eſt: angulus igitur m e p æquatur angulo n e p per 4 p 1. Quare per 12 n 4 m & n à puncto e inter ſe
mutuò reflectuntur] & ſimiliter à puncto z: & non ab aliquo puncto arcus a b, uel g q: [per 66 n. ]
Et palàm, quòd non ab alio puncto arcus a q, quã à puncto z: & quòd non ab alio puncto arcus b g,
quàm à puncto e ſecundum modum prædictum. Sumpto enim puncto, & ductis lineis à punctis t,
d, h: & ſumpto puncto, in quo circulus ultimus ſecabit diametrum: & à punctis ſectionis ductis li-
neis ad puncta t, h: eadem erit improbatio, quæ prius. Palàm ergo ex prædictis: quòd ſi angulum
contentum duabus diametris, per æqualia diuidat tertia diameter: & à termino illius diametri du-
cantur perpendiculares ad illas diametros: puncta diametrorum, in quæ cadunt, ad ſe inuicem re-
flectuntur à duobus punctis ſpeculi tantùm. P unctorum aũt diametrorum citra hos terminos per-
pen dicularium ſumptorum, id eſt uerſus centrum: reflectitur quodlibet à duobus punctis tantùm:
& unũ reflectitur ad illud, quod æqualiter diſtat à cẽtro: & omniũ talium duplex eſt imaginis locus.
lia: & à puncto e ducãtur duæ perpendiculares, ſuper duas diametros b d, d g: [per 12 p 1] quę
ſint e t, e h. Palàm [per 26 p 1] quòd triangulũ e t d æquale eſt triangulo e h d, & angulus t e d
angulo h e d, latusq́; t d lateri h d, & latus e t lateri e h: cũ e d ſit cõmunis utriq; . tigitur reflectetur ad
h à puncto e. [per 12 n 4. ] Eodẽ modo à puncto z [Quia enim angulus b d g bifariã ſectus eſt per li-
neã e d: erit angulus t d z æqualis angulo h d z per 13 p 1, & t d æquatur ex cõcluſo ipſi h d, latusq́; d z
cõmune: angulus igitur t z d æquatur angulo h z d per 4 p 1. Quare per 12 n 4 t & h reflectẽtur inter
ſe à puncto z. ] Et palã [per 66 n] quòd t non reflectetur ad h, ab aliquo puncto arcus a b, uel arcus g
q: nec reflectetur ab alio puncto arcus a q, ꝗ̃ à puncto z ſecundũ ſupradictam probationẽ: [numero
præcedẽte. ] Verũ quòd ab alio puncto arcus b g, ꝗ̃ à puncto e, nõ poſsit reflecti: patebit ſic. Detur o
punctũ: & ducantur lineę o d, h o, t o: fiatq́; circulus ad quantitatẽ lineæ d e, trãſiens per tria puncta,
t, d, h: [tranſibit aũt per conuerſionẽ 31 p 3 demonſtratã à Theone in cõm entarijs in 3 librũ magnę cõ
ſtructionis Ptolemęi, & à Cãpano ad 31 p 13: ] cuius quidẽ circuli linea d e erit diameter: cũ angulus e
t d, quẽ reſpicit, ſit rectus Igitur circulus ille tranſibit per punctũ e. Cum igitur e ſit cõmunis utriq;
circulo, & ſit ſuper eandẽ diametrum: continget circulus minor maiorem in puncto e: ſicut probat
Euclidis [13 p 3. ] Igitur circulus iſte ſecabit lineam d o, [ſecus tangeret maiorem circulũ in puncto
o: ſicq́; in duobus punctis e & o tangeret contra 13 p 3] ſecet in puncto l: & ducantur lineæ t l, h l. Iam
patet [è ſuperioribus] quod t d eſt ęqualis h d [ergo per 28 p 3 peripheria t d æquatur peripheriæ h
d. ] Igitur angulus t l d æqualis angulo d l h [per 27 p
112[Figure 112]e p o l g h n d m t b q a z 3] quia ſuper æquales arcus. Reſtat [per 13 p 1] t l o æ-
qualis angulo h l o: & angulus l o t ęqualis angulo l o
h ex hypotheſi: [quia ſunt anguli incidentiæ & refle-
xionis] & l o commune latus: erit [per 26 p 1] triangu
lum t l o æquale triangulo h l o: & erit t o ęqualis h o:
quod eſt impoſsibile: quoniam [per 7 p 3] h o maior
h e, & t o minor t e: & t e, ſicut prius probatum eſt, æ-
qualis eſt h e: [linea igitur h o maior eſt linea t o. ] Re
ſtat ergo, ut t nõ reflectatur ad h, ab alio puncto, quã
ab e uel à z. Item à puncto e ducatur linea ſuper dia-
metrum t d: quæ ſit e m: & ſecetur à linea h d pars, æ-
qualis m d: quæ fit n d: & ducantur e m, e n. Palàm
[per 16 p 1] quòd e m d maior eſt recto: [quia angu-
lus e t d rectus eſt per fabricationem] ſecetur ex eo
æqualis recto per lineam p m [per 23 p 1] quæ cõcur-
ret cum d e: [per lemma Procli ad 29 p 1] ſit concur-
ſus punctum p: & ducatur n p: & fiat circulus ad quantitatem p d, tranſiens per tria puncta m, d, n.
Cum p m d ſit rectus [ex fabricatione] erit p d diameter [per conſectarium 5 p 4] & tranſibit circu
lus per p, [ut oſtenſum eſt. ] Palàm ergo, quòd m reflectetur ad n à puncto e: [cum en: m per 4 p 1 tri
angulum d m p ſit æquilaterum & æquiangulum triangulo d n p: æquabitur m p ipſi n p, & angulus
d p m angulo d p n: ergo per 13 p 1. 3 ax. angulus m p e æquatur angulo n p e, latusq́ue p e commune
eſt: angulus igitur m e p æquatur angulo n e p per 4 p 1. Quare per 12 n 4 m & n à puncto e inter ſe
mutuò reflectuntur] & ſimiliter à puncto z: & non ab aliquo puncto arcus a b, uel g q: [per 66 n. ]
Et palàm, quòd non ab alio puncto arcus a q, quã à puncto z: & quòd non ab alio puncto arcus b g,
quàm à puncto e ſecundum modum prædictum. Sumpto enim puncto, & ductis lineis à punctis t,
d, h: & ſumpto puncto, in quo circulus ultimus ſecabit diametrum: & à punctis ſectionis ductis li-
neis ad puncta t, h: eadem erit improbatio, quæ prius. Palàm ergo ex prædictis: quòd ſi angulum
contentum duabus diametris, per æqualia diuidat tertia diameter: & à termino illius diametri du-
cantur perpendiculares ad illas diametros: puncta diametrorum, in quæ cadunt, ad ſe inuicem re-
flectuntur à duobus punctis ſpeculi tantùm. P unctorum aũt diametrorum citra hos terminos per-
pen dicularium ſumptorum, id eſt uerſus centrum: reflectitur quodlibet à duobus punctis tantùm:
& unũ reflectitur ad illud, quod æqualiter diſtat à cẽtro: & omniũ talium duplex eſt imaginis locus.