175169OPTICAE LIBER V.
perpendicularium terminos à centro ſpeculi æquabiliter diſtantia, à quatuor peripheriæ pũctis
inter ſe mutuo reflectentur, & quatuor habebunt imagines. 26 p 8.
inter ſe mutuo reflectentur, & quatuor habebunt imagines. 26 p 8.
AMplius:
ſumptis duabus diametris b q, a g:
& e z diuidente angulum earum per æqualia:
ſu-
matur in b d punctum t ſupra punctum, in quod cadit perpendicularis, ducta à puncto e: &
in d g ſumatur d h æqualis d t: [per 3 p 1] & ducanturte, h e. Reflectetur quidem t ad h à pun-
cto e, & ſimiliter à puncto z, non ab alio puncto arcus a q: nec ab aliquo puncto arcus a b uel g q [per
66 n. ] Deinde à puncto t ducatur perpẽdicularis ſuper t d: [per 11 p 1] quæ quidem concurret cũ d e
extra circulum ſphærę, cũ angulus b d e ſit acutus [ut oſtenſum eſt 36 n: quare d e & perpẽdicularis
ſuper t d per 11 ax: concurrent: & quidem extra circulum b z g. Quia cum hæc perpẽdicularis, & ea,
quæ à puncto e ſuper eandem ſemidiametrum d b ducitur, ſint parallelę per 28 p 1: nunquã cõcurrẽt
per 35 d 1. Quare perpendicularis à puncto t continuata, cadet extra circulũ ultra punctũ e. Itaq; cõ-
curret cum ſemidiametro e d extra circulum b z g. ] Cõcurrat ergo in puncto o: & ducãtur lineę to,
h o. Et fiat circulus tranſiens per tria puncta t, d, h: qui neceſſariò tranſibit per punctum o [ut pręce-
dente numero demonſtratum eſt] & erit d o diameter eius: [per conſectarium 5 p 4] & ducatur li-
nea cõtingens circulũ b z g, in puncto e [per 17 p 3] quę ſit k e. Palàm, quòd ultimus circulus ſecabit
primum, ſcilicet b z g in duobus punctis: [per 10 p 3] ſint illa puncta l, m: & ducantur lineæ t l, h l,
l d, t m, d m, h m. Cũ ergo arcus t d ſit æqualis arcui h
113[Figure 113]o e k m f l g h d t b q a zd: [per 28 p 3: quia rectę d t, d h ſunt ęquales per fa-
bricationem] erit [per 27 p 3] angulus t l d æqualis
angulo d l h. Et ita t reflectetur ad h à puncto l [per
12 n 4. ] Similiter angulus t m d æqualis angulo d m
h [per 27 p 3. ] Et ita t reflectetur ad h à puncto m. Pa
làm igitur, quòd t reflectitur à quatuor pũctis a d h:
ſcilicet e, z, l, m: & quadruplex erit locus imaginis e-
ius. Et non poteſt t reflecti ad h ab alio puncto, quã
ab aliquo iſtorum. Detur enim f punctum: & ducan
tur lineæ t f, h f, d f: & producatur d f, quouſque cõ-
currat cum contingente k e: [concurret autem per
11 ax: quia angulus k e d rectus eſt per 18 p 3, & f d e
acutus, quia pars acuti b d e] & ſit concurſus k: & du
cantur lineæ t k, h k. Igitur angulus t f d æqualis an-
gulo d f h ex hypotheſi: [& 12 n 4] reſtat [per 13 p 1]
angulus t f k æqualis angulo k fh. Sed angulus t k f
eſt æqualis angulo f k h [per 27 p. 3] quia ſuper ęqua
les arcus: & f k communis: erit [per 26 p 1] triangulum æquale triangulo: & ita t k æqualis k h: quod
eſt impoſsibile: quoniam h k maior h o, & t k minor to [per 7 p 3] & t o ęqualis h o. [Nam quia recta
d t æquatur ipſi d h per fabricationem, & angulus t d o ipſi h d o per theſim, & latus o d commune:
ergo per 4 p 1 latus t o æquatur lateri h o: ideoq́; t k minor eſt h k. ] Palàm igitur, quòd non eſt refle-
xio ab aliquo puncto, quam à punctis quatuor. Igitur ſi in diuerſis diametris ſumantur duo puncta,
ſcilicet t, h, ęqualiter à centro diſtantia: ſi fuerint ſuper punctis diametrorum, in quę cadunt perpen
diculares, ductę à termino diametri diuidentis per æqualia angulum duarum diametrorũ: aut fue-
rint inter centrum & puncta illa, id eſt citra perpendiculares, dum æqualiter diſtent à centro: refle-
ctetur quidem t ad h à duobus punctis tantùm. Si uerò fuerint t & h à locis perpendicularium uſq;
ad circulum: reflectetur quidem t ad h à quatuor punctis. Si uerò fuerint in circulo, uel extra: tamẽ
citra contingentem k e: reflectetur quidem t ad h à duobus punctis tantùm. Si uerò ſupra contingẽ
tem fuerint: reflectetur quidem t ad h ab uno puncto tantùm. Et hæc quidem accidunt, dum t ęqua-
liter diſtat à centro cum puncto h.
matur in b d punctum t ſupra punctum, in quod cadit perpendicularis, ducta à puncto e: &
in d g ſumatur d h æqualis d t: [per 3 p 1] & ducanturte, h e. Reflectetur quidem t ad h à pun-
cto e, & ſimiliter à puncto z, non ab alio puncto arcus a q: nec ab aliquo puncto arcus a b uel g q [per
66 n. ] Deinde à puncto t ducatur perpẽdicularis ſuper t d: [per 11 p 1] quæ quidem concurret cũ d e
extra circulum ſphærę, cũ angulus b d e ſit acutus [ut oſtenſum eſt 36 n: quare d e & perpẽdicularis
ſuper t d per 11 ax: concurrent: & quidem extra circulum b z g. Quia cum hæc perpẽdicularis, & ea,
quæ à puncto e ſuper eandem ſemidiametrum d b ducitur, ſint parallelę per 28 p 1: nunquã cõcurrẽt
per 35 d 1. Quare perpendicularis à puncto t continuata, cadet extra circulũ ultra punctũ e. Itaq; cõ-
curret cum ſemidiametro e d extra circulum b z g. ] Cõcurrat ergo in puncto o: & ducãtur lineę to,
h o. Et fiat circulus tranſiens per tria puncta t, d, h: qui neceſſariò tranſibit per punctum o [ut pręce-
dente numero demonſtratum eſt] & erit d o diameter eius: [per conſectarium 5 p 4] & ducatur li-
nea cõtingens circulũ b z g, in puncto e [per 17 p 3] quę ſit k e. Palàm, quòd ultimus circulus ſecabit
primum, ſcilicet b z g in duobus punctis: [per 10 p 3] ſint illa puncta l, m: & ducantur lineæ t l, h l,
l d, t m, d m, h m. Cũ ergo arcus t d ſit æqualis arcui h
113[Figure 113]o e k m f l g h d t b q a zd: [per 28 p 3: quia rectę d t, d h ſunt ęquales per fa-
bricationem] erit [per 27 p 3] angulus t l d æqualis
angulo d l h. Et ita t reflectetur ad h à puncto l [per
12 n 4. ] Similiter angulus t m d æqualis angulo d m
h [per 27 p 3. ] Et ita t reflectetur ad h à puncto m. Pa
làm igitur, quòd t reflectitur à quatuor pũctis a d h:
ſcilicet e, z, l, m: & quadruplex erit locus imaginis e-
ius. Et non poteſt t reflecti ad h ab alio puncto, quã
ab aliquo iſtorum. Detur enim f punctum: & ducan
tur lineæ t f, h f, d f: & producatur d f, quouſque cõ-
currat cum contingente k e: [concurret autem per
11 ax: quia angulus k e d rectus eſt per 18 p 3, & f d e
acutus, quia pars acuti b d e] & ſit concurſus k: & du
cantur lineæ t k, h k. Igitur angulus t f d æqualis an-
gulo d f h ex hypotheſi: [& 12 n 4] reſtat [per 13 p 1]
angulus t f k æqualis angulo k fh. Sed angulus t k f
eſt æqualis angulo f k h [per 27 p. 3] quia ſuper ęqua
les arcus: & f k communis: erit [per 26 p 1] triangulum æquale triangulo: & ita t k æqualis k h: quod
eſt impoſsibile: quoniam h k maior h o, & t k minor to [per 7 p 3] & t o ęqualis h o. [Nam quia recta
d t æquatur ipſi d h per fabricationem, & angulus t d o ipſi h d o per theſim, & latus o d commune:
ergo per 4 p 1 latus t o æquatur lateri h o: ideoq́; t k minor eſt h k. ] Palàm igitur, quòd non eſt refle-
xio ab aliquo puncto, quam à punctis quatuor. Igitur ſi in diuerſis diametris ſumantur duo puncta,
ſcilicet t, h, ęqualiter à centro diſtantia: ſi fuerint ſuper punctis diametrorum, in quę cadunt perpen
diculares, ductę à termino diametri diuidentis per æqualia angulum duarum diametrorũ: aut fue-
rint inter centrum & puncta illa, id eſt citra perpendiculares, dum æqualiter diſtent à centro: refle-
ctetur quidem t ad h à duobus punctis tantùm. Si uerò fuerint t & h à locis perpendicularium uſq;
ad circulum: reflectetur quidem t ad h à quatuor punctis. Si uerò fuerint in circulo, uel extra: tamẽ
citra contingentem k e: reflectetur quidem t ad h à duobus punctis tantùm. Si uerò ſupra contingẽ
tem fuerint: reflectetur quidem t ad h ab uno puncto tantùm. Et hæc quidem accidunt, dum t ęqua-
liter diſtat à centro cum puncto h.
73. Viſu & uiſibili in diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum refle-
xionis & ſpeculi ſphæricicaui) à centro inæquabiliter diſtantibus: ab uno puncto peripheriæ in-
ter ſemidiametros, extra quas ſunt uiſus & uiſibile, reflexio fieripoteſt. 27 p 8. 120 p 1.
xionis & ſpeculi ſphæricicaui) à centro inæquabiliter diſtantibus: ab uno puncto peripheriæ in-
ter ſemidiametros, extra quas ſunt uiſus & uiſibile, reflexio fieripoteſt. 27 p 8. 120 p 1.
AMplius:
t, h ſi fuerint in diuerſis diametris:
& longitudo eorum à centro fuerit inęqualis:
re-
flexio fiet ab uno puncto. Verbi gratia: ducantur diametri a d g, b d q: & e z diuidat angulum
eorum per æqualia: & t propinquius ſit centro d, quàm h. Et ſumatur linea l y: & [per 10 p 6]
diuidatur in puncto m, ut ſit proportio y m ad m l, ſicut h d ad d t: & diuidatur l y in æqualia in pun-
cto n [per 10 p 1] & à puncto n ducatur perpendicularis n k: [per 11 p 1] & ſuper punctum l fiat angu
lus ęqualis medietati a d t per lineã f l: erit quidẽ angulus f l y acutus: [quia æquatus eſt dimidiato
angulo a d t acuto, ut oſtenſum eſt 36 n. ] Quare [per 11 ax] fl cõcurret cum n k: [quia l n k rectus eſt
per fabricationem] concurrant in puncto f: & [per 35 n] à puncto m ducatur linea ad latus fl, cõcur
rens cum latere n k in puncto, quod ſit k: & ſecet linea illa latus fl in puncto c, ut ſit proportio k c ad
c l, ſicut h d ad d z. Deinde ſuper pũctum d fiat angulus æqualis angulo l c m: [per 23 p 1] qui ſit i d a:
& ſit i punctum circuli ſupra z, aut infra: & ſuper i punctũ fiat angulus ęqualis c l m: qui ſit o i d: & ſu
per hanc lineam o i [continuatã] ducatur perpendicularis à puncto h [per 12 p 1] quæ ſit h r: & pro-
flexio fiet ab uno puncto. Verbi gratia: ducantur diametri a d g, b d q: & e z diuidat angulum
eorum per æqualia: & t propinquius ſit centro d, quàm h. Et ſumatur linea l y: & [per 10 p 6]
diuidatur in puncto m, ut ſit proportio y m ad m l, ſicut h d ad d t: & diuidatur l y in æqualia in pun-
cto n [per 10 p 1] & à puncto n ducatur perpendicularis n k: [per 11 p 1] & ſuper punctum l fiat angu
lus ęqualis medietati a d t per lineã f l: erit quidẽ angulus f l y acutus: [quia æquatus eſt dimidiato
angulo a d t acuto, ut oſtenſum eſt 36 n. ] Quare [per 11 ax] fl cõcurret cum n k: [quia l n k rectus eſt
per fabricationem] concurrant in puncto f: & [per 35 n] à puncto m ducatur linea ad latus fl, cõcur
rens cum latere n k in puncto, quod ſit k: & ſecet linea illa latus fl in puncto c, ut ſit proportio k c ad
c l, ſicut h d ad d z. Deinde ſuper pũctum d fiat angulus æqualis angulo l c m: [per 23 p 1] qui ſit i d a:
& ſit i punctum circuli ſupra z, aut infra: & ſuper i punctũ fiat angulus ęqualis c l m: qui ſit o i d: & ſu
per hanc lineam o i [continuatã] ducatur perpendicularis à puncto h [per 12 p 1] quæ ſit h r: & pro-