180174ALHAZEN
ctis a, b ad idẽ pũctũ illius circuli extrà:
fiet [per 21 p 1] angulus minor angulo a t b:
& probabitur eſſe
æqualis. Quoniã [per 22 p 3] cũ angulo a g b ualebit duos rectos, & anguli a g b & a g d ualent duos
rectos: [per 13 p 1] & angulus a t b eſt æqualis angulo a g d ex hypotheſi: ergo angulus a t b cum angu
lo a g b ualet duos rectos. Et ita impoſsibile [cõtra 21 p 1. ] Similiter ſi circulus citra t ceciderit, eadẽ
erit improbatio. Reſtat ergo, ut tranſeat per punctum t. Cum igitur [per 12 n 4] angulus a t g ſit æqua
lis angulo b t g: erit [per 26 p 3] arcus a g æqualis arcui b g: & ita [per 29 p 3] a g erit æqualis b g: & po-
ſitum eſt eſſe eas inæquales. Et ita eſt propoſitum.
æqualis. Quoniã [per 22 p 3] cũ angulo a g b ualebit duos rectos, & anguli a g b & a g d ualent duos
rectos: [per 13 p 1] & angulus a t b eſt æqualis angulo a g d ex hypotheſi: ergo angulus a t b cum angu
lo a g b ualet duos rectos. Et ita impoſsibile [cõtra 21 p 1. ] Similiter ſi circulus citra t ceciderit, eadẽ
erit improbatio. Reſtat ergo, ut tranſeat per punctum t. Cum igitur [per 12 n 4] angulus a t g ſit æqua
lis angulo b t g: erit [per 26 p 3] arcus a g æqualis arcui b g: & ita [per 29 p 3] a g erit æqualis b g: & po-
ſitum eſt eſſe eas inæquales. Et ita eſt propoſitum.
80. Si uiſus & uiſibile in diuerſis diametris circuli (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficierũ, refle-
xionis & ſpeculi ſphærici caui) à centro inæquabiliter diſtantia inter ſe reflectãtur à duobus pun
ctis peripheriæ, cõprehenſæ inter ſemidiametros, in quibus ipſa ſunt: nõ erit uter angulus cõpo
ſit us ex angulo incidẽtiæ & reflexionis, minor angulo exteriore à dictis diametris facto. 34 p 8.
xionis & ſpeculi ſphærici caui) à centro inæquabiliter diſtantia inter ſe reflectãtur à duobus pun
ctis peripheriæ, cõprehenſæ inter ſemidiametros, in quibus ipſa ſunt: nõ erit uter angulus cõpo
ſit us ex angulo incidẽtiæ & reflexionis, minor angulo exteriore à dictis diametris facto. 34 p 8.
AMplius:
ſumptis in duabus diametris e g h, z g d, duobus pũctis a, b, ut b g ſit maior a g.
Dico,
quòd ſi punctũ a reflectatur ad b à duobus punctis arcus e z: nõ erit uterq; angulus conſtans
ex angulo incidentię & reflexiõis, minor angulo a g d. Sumãtur enim duo puncta t, q ιn arcu
e z, à quib. a reflectatur ad b: & ducãtur lineę b t, g t, a t, b q, g q, a q: & ſi angulus a t b minor eſt angu
lo a g d: dico, quòd angulus a q b nõ erit minor a g d. Sit enim minor: & ducatur linea g n, diuidẽs an
gulũ diametrorũ per ęqualia: [per 9 p 1] & ducatur linea a b, quã diuidat g n per punctũ f. Palàm [per
3 p 6] quòd proportio b g ad g a, ſicut b f ad f a: ſed cũ b g maior ſit g a: [ex theſi] erit b f maior f a. Diui
datur a b per mediũ in puncto k: [per 10 p 1] & fiat [per 5 p 4] circulus tranſiens per tria puncta a, b, t:
qui quidẽ circulus nõ tranſibit per g: quoniã anguli a g b, b t a eſſent æquales duobus rectis [per 22 p
3] & palàm, quòd ſunt minores: cũ [per theſin] angu
125[Figure 125]z t n q p i b k f e l a n m g h d lus b t a ſit minor angulo a g d [qui cũ angulo a g b ę-
quatur duobus rectis per 13 p 1. ] Igitur trãſibit ſupra
g. Similiter nõ trãſibit per q: quoniã ſumpto puncto
circuli, in quo linea g q ſecat ipſũ, ſcilicet m: eſſet ar-
cus a m æqualis arcui b m [per 26 p 3] cũ reſpiciãt æ-
quales angulos ſuper q: [per theſin & 12 n 4: quia q
eſt reflexiõis punctũ] quod manet impoſsibile. Quo
niam ſumpto puncto o, in quo linea g t ſecat hũc cir.
culũ: erit arcus a o ęqualis arcui o b: [per 26 p 3] quia
reſpiciũt ęquales angulos ſuք t [per theſin & 12 n 4:
& ſic peripheria b o maior eſſet peripheria b m, pars
ſuo toto cõtra 9 ax: ] Reſtat, ut hic circulus tranſeat
ſupra q: ſi enim infra: eadẽ erit improbatio. Ducatur
aũt linea à puncto o ad punctũ k: quæ quidẽ cum di-
uidat chordã a b per ęqualia: [per fabricationẽ] & ſi-
militer arcũ a b: [quia peripheria a o æqualis oſtenſa
eſt ipſi b o] erit perpendicularis ſuper a b. [rectæ e-
nim lineæ ſubtendentes peripherias a o, b o, æquales ſunt per 29 p 3, & b k æquatur ipſi k a, & cõmu
ne latus eſt k o. Quare per 8 p. 10 d 1, o k perpendicularis eſt ipſi a b. ] Verùm angulus b a g maior an-
gulo a b g: [per 18 p 1] cũ b g ſit maior g a: [ex theli] & angulus b f g ualet duos angulos fa g, f g a [per
32 p 1] & angulus a f g ualet duos angulos f b g, f g b: ſed a g f ęqualis eſt f g b: [per fabricationẽ] & f a g
maior f b g. Igitur angulus b f g maior eſt angulo a f g: igitur b f g maior eſt recto: [per 13 p 1] quare n f
b minor eſt recto. [per 13 p 1. ] Sed o k ſuper f b facit angulũ rectũ: ergo producta cõcurret cũ g n [per
11 ax: ] ſupra b f, & inferius nunꝗ̃. [ſecus per 3 p 6 b k
126[Figure 126]z t n q b k f a e o g h d fieret maior k a, cui eſt æquata. ] Facto autem circulo
trãſeunte per tria pũcta a, q, b: trãſibit ſupra g. [Quia
ſi trãſiret per punctũ g: eſſent anguli a q b, a g b æqua
les duob. rectis per 22 p 3: & anguli a g b, a g d æquan
tur duob. rectis per 13 p 1. Quare per 3 ax. a q b æqua-
retur a g d: cõtra præcedentẽ numerũ] & g q diuidet
arcũ eius a b per æqualia [quia enim q ex theſi eſt re-
flexiõis punctũ: æquãtur anguli g q a, g q b per 12 n 4
& per 26 p 3 peripheria a b bifariã ſecabitur à recta g
q] ſed k o diuidit chordã a b per æqualia [per fabrica
tionẽ. ] Ergo k o cõcurret cũ g n infra b f, & ſupra pũ-
ctũ g. Igitur k o cõcurrens cũ b a, prius cõcurret cum
g n infra b f: & iam improbatũ eſt. Reſtat ergo, ut an-
gulus a q b nõ ſit minor angulo a g d: aut quòd a nõ
reflectetur ad b à pũcto q [cõtra theſin. ] Similis erit
improbatio, ſumpto quolibet puncto arcus e n. Sũ-
pto aũt puncto in arcu n z: qui ſit p: fiat reflexio puncti a ad b à puncto p, ut angulus cõſtans ex angu
lo incidẽtię & reflexiõis ſuprap, ſit minor angulo a g d, ſicut angulus cõſtãs ex angulo incidẽtię & re
flexionis ſuprat, minor eſt eodẽ. Improbabitur aũt hoc modo, Ducãtur a p, b p, g p: oportet ergo ne-
quòd ſi punctũ a reflectatur ad b à duobus punctis arcus e z: nõ erit uterq; angulus conſtans
ex angulo incidentię & reflexiõis, minor angulo a g d. Sumãtur enim duo puncta t, q ιn arcu
e z, à quib. a reflectatur ad b: & ducãtur lineę b t, g t, a t, b q, g q, a q: & ſi angulus a t b minor eſt angu
lo a g d: dico, quòd angulus a q b nõ erit minor a g d. Sit enim minor: & ducatur linea g n, diuidẽs an
gulũ diametrorũ per ęqualia: [per 9 p 1] & ducatur linea a b, quã diuidat g n per punctũ f. Palàm [per
3 p 6] quòd proportio b g ad g a, ſicut b f ad f a: ſed cũ b g maior ſit g a: [ex theſi] erit b f maior f a. Diui
datur a b per mediũ in puncto k: [per 10 p 1] & fiat [per 5 p 4] circulus tranſiens per tria puncta a, b, t:
qui quidẽ circulus nõ tranſibit per g: quoniã anguli a g b, b t a eſſent æquales duobus rectis [per 22 p
3] & palàm, quòd ſunt minores: cũ [per theſin] angu
125[Figure 125]z t n q p i b k f e l a n m g h d lus b t a ſit minor angulo a g d [qui cũ angulo a g b ę-
quatur duobus rectis per 13 p 1. ] Igitur trãſibit ſupra
g. Similiter nõ trãſibit per q: quoniã ſumpto puncto
circuli, in quo linea g q ſecat ipſũ, ſcilicet m: eſſet ar-
cus a m æqualis arcui b m [per 26 p 3] cũ reſpiciãt æ-
quales angulos ſuper q: [per theſin & 12 n 4: quia q
eſt reflexiõis punctũ] quod manet impoſsibile. Quo
niam ſumpto puncto o, in quo linea g t ſecat hũc cir.
culũ: erit arcus a o ęqualis arcui o b: [per 26 p 3] quia
reſpiciũt ęquales angulos ſuք t [per theſin & 12 n 4:
& ſic peripheria b o maior eſſet peripheria b m, pars
ſuo toto cõtra 9 ax: ] Reſtat, ut hic circulus tranſeat
ſupra q: ſi enim infra: eadẽ erit improbatio. Ducatur
aũt linea à puncto o ad punctũ k: quæ quidẽ cum di-
uidat chordã a b per ęqualia: [per fabricationẽ] & ſi-
militer arcũ a b: [quia peripheria a o æqualis oſtenſa
eſt ipſi b o] erit perpendicularis ſuper a b. [rectæ e-
nim lineæ ſubtendentes peripherias a o, b o, æquales ſunt per 29 p 3, & b k æquatur ipſi k a, & cõmu
ne latus eſt k o. Quare per 8 p. 10 d 1, o k perpendicularis eſt ipſi a b. ] Verùm angulus b a g maior an-
gulo a b g: [per 18 p 1] cũ b g ſit maior g a: [ex theli] & angulus b f g ualet duos angulos fa g, f g a [per
32 p 1] & angulus a f g ualet duos angulos f b g, f g b: ſed a g f ęqualis eſt f g b: [per fabricationẽ] & f a g
maior f b g. Igitur angulus b f g maior eſt angulo a f g: igitur b f g maior eſt recto: [per 13 p 1] quare n f
b minor eſt recto. [per 13 p 1. ] Sed o k ſuper f b facit angulũ rectũ: ergo producta cõcurret cũ g n [per
11 ax: ] ſupra b f, & inferius nunꝗ̃. [ſecus per 3 p 6 b k
126[Figure 126]z t n q b k f a e o g h d fieret maior k a, cui eſt æquata. ] Facto autem circulo
trãſeunte per tria pũcta a, q, b: trãſibit ſupra g. [Quia
ſi trãſiret per punctũ g: eſſent anguli a q b, a g b æqua
les duob. rectis per 22 p 3: & anguli a g b, a g d æquan
tur duob. rectis per 13 p 1. Quare per 3 ax. a q b æqua-
retur a g d: cõtra præcedentẽ numerũ] & g q diuidet
arcũ eius a b per æqualia [quia enim q ex theſi eſt re-
flexiõis punctũ: æquãtur anguli g q a, g q b per 12 n 4
& per 26 p 3 peripheria a b bifariã ſecabitur à recta g
q] ſed k o diuidit chordã a b per æqualia [per fabrica
tionẽ. ] Ergo k o cõcurret cũ g n infra b f, & ſupra pũ-
ctũ g. Igitur k o cõcurrens cũ b a, prius cõcurret cum
g n infra b f: & iam improbatũ eſt. Reſtat ergo, ut an-
gulus a q b nõ ſit minor angulo a g d: aut quòd a nõ
reflectetur ad b à pũcto q [cõtra theſin. ] Similis erit
improbatio, ſumpto quolibet puncto arcus e n. Sũ-
pto aũt puncto in arcu n z: qui ſit p: fiat reflexio puncti a ad b à puncto p, ut angulus cõſtans ex angu
lo incidẽtię & reflexiõis ſuprap, ſit minor angulo a g d, ſicut angulus cõſtãs ex angulo incidẽtię & re
flexionis ſuprat, minor eſt eodẽ. Improbabitur aũt hoc modo, Ducãtur a p, b p, g p: oportet ergo ne-