182176ALHAZEN
Totusigitur ſtr æquatur toti ft q] eſt acutus:
& k f perpendicularis ſupert d.
Quare [per 11 ax.
] k f
producta concurret cum t q: ſit concurſus s: & linea t s ducta à puncto t ad punctum concurſus, cu-
ius lineæ pars eſt t q: erit æqualis lineæ t r: [quia anguli ad ſſunt recti, & ft r, ft s æquantur, latusq́; t
fcommune: æquabitur r t ipſit s per 26 p 1] & ita t q minortz [quia minor eſt ipſatr, quæ pars eſt
ipſius t z. ] Quare [per 8 p 5] maior eſt proportio n t ad t q, quàm n t ad tz. Igitur maior eſt propor-
tio in ad m q, quàm in ad n z. Quare [per 10 p 5] m q minor eſt n z. Secetur igitur exn z æqualis ei
[per 3 p 1] quæ ſit n x. Quoniam [per 22 p 3] angulus l n d cum angulo l m d ualet duos rectos: erit
[per 13 p 1. 3 ax] angulus l n d æqualis q m d: & x n, n d, æqualia q m, m d. Igitur [per 4 p 1] q d æqua-
lis x d. Sed z d maior x d: quoniam angulus l n d cum angulo l m d ualet duos rectos: [per 22 p 3] ſed
angulus l m d acutus: cum angulus e m d ſit acutus [per 16 p. 12 d 1. ] Igitur angulus l n d maior eſt
recto: igitur z d maior x d [quia enim angulus l n d eſt obtuſus: erit per 32 p 1 n x d acutus, & per 13.
32 p 1 z x d obtuſus, x z d acutus: quare per 19 p 1 z d maior eſt x d. ] Quare z d maior q d. Igitur q re-
flectitur ad z à duobus punctis t, l: & q & z ſuntinęqualis longitudinis à centro, & in diuerſis dia-
metris. Et quòd non ſint in eadem diametro, palàm: quoniam angulus x d n æqualis eſt angulo q d
m: addito ergo communiangulo x d m, erit angulus n d m æqualis angulo x d q: & minor duobus
rectis. Quare magis angulus z d q [pars anguli x d q] minor duobus rectis. Quare q & z non ſunt in
eadem diametro, ſed in diuerſis.
producta concurret cum t q: ſit concurſus s: & linea t s ducta à puncto t ad punctum concurſus, cu-
ius lineæ pars eſt t q: erit æqualis lineæ t r: [quia anguli ad ſſunt recti, & ft r, ft s æquantur, latusq́; t
fcommune: æquabitur r t ipſit s per 26 p 1] & ita t q minortz [quia minor eſt ipſatr, quæ pars eſt
ipſius t z. ] Quare [per 8 p 5] maior eſt proportio n t ad t q, quàm n t ad tz. Igitur maior eſt propor-
tio in ad m q, quàm in ad n z. Quare [per 10 p 5] m q minor eſt n z. Secetur igitur exn z æqualis ei
[per 3 p 1] quæ ſit n x. Quoniam [per 22 p 3] angulus l n d cum angulo l m d ualet duos rectos: erit
[per 13 p 1. 3 ax] angulus l n d æqualis q m d: & x n, n d, æqualia q m, m d. Igitur [per 4 p 1] q d æqua-
lis x d. Sed z d maior x d: quoniam angulus l n d cum angulo l m d ualet duos rectos: [per 22 p 3] ſed
angulus l m d acutus: cum angulus e m d ſit acutus [per 16 p. 12 d 1. ] Igitur angulus l n d maior eſt
recto: igitur z d maior x d [quia enim angulus l n d eſt obtuſus: erit per 32 p 1 n x d acutus, & per 13.
32 p 1 z x d obtuſus, x z d acutus: quare per 19 p 1 z d maior eſt x d. ] Quare z d maior q d. Igitur q re-
flectitur ad z à duobus punctis t, l: & q & z ſuntinęqualis longitudinis à centro, & in diuerſis dia-
metris. Et quòd non ſint in eadem diametro, palàm: quoniam angulus x d n æqualis eſt angulo q d
m: addito ergo communiangulo x d m, erit angulus n d m æqualis angulo x d q: & minor duobus
rectis. Quare magis angulus z d q [pars anguli x d q] minor duobus rectis. Quare q & z non ſunt in
eadem diametro, ſed in diuerſis.
82. Siduo punctain diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, refle-
xionis & ſpeculi ſphærici caui) à centro inæquabiliter diſtantia, à duobus punctis peripheriæ
comprebenſæ inter ſemidiametros, in quibus ipſa ſunt, inter ſe mutuò reflect antur: à nullo alio
eiuſdem peripheriæ puncto reflecti poſſunt. 36 p 8.
xionis & ſpeculi ſphærici caui) à centro inæquabiliter diſtantia, à duobus punctis peripheriæ
comprebenſæ inter ſemidiametros, in quibus ipſa ſunt, inter ſe mutuò reflect antur: à nullo alio
eiuſdem peripheriæ puncto reflecti poſſunt. 36 p 8.
AMplius:
ſumptis duobus punctis, quæ ſint o, k, & inæqualiter diſtantibus à cẽtro:
reflectetur
quidẽ unum ad aliud à duob pũctis arcus, reſpiciẽtis ſemidiametros, in quib. ſunt: ſed nõ ab
alio pũcto illius arcus, quàm ab illis duob. Verbi gratia: d ſit centrũ: k remotius à d quàm o à
d: g d, b d ſemidiam etri: t punctũ unũ reflexionis. Palàm ex ſuperioribus, quod uterq; angulus con-
ſtans ex angulo incidẽtiæ & reflexionis, nõ erit min or angulo o d a: [ք 80 n] nec ęqualis [per 79 n]
alter ergo erit maior. Sit angulus cõſtans ex angulo incidẽtiæ & reflexionis, qui eſt ſuք t, maior an-
gulo o d a: & ducãtur lineæ o t, d t, k t: & ex angulo illo ſecetur angulus æqualis angulo o d a: [ք 23
p 1] quiſit o t ſ: & diuidatur angulus f t k per æqualia per lineã t e [per 9 p 1] & à puncto k ducatur
æquidiſtãs t f: [per 31 p 1] quæ quidẽ cõcurret cũ te: [per lemma Procli ad 29 p 1] cõcurrat in pũcto
z: & ducatur linea o k: & diuidatur angulus o d k peræqualia, per lineã d u, ſecantẽlineã o k in pun-
cto p: & eſt k d maior o d [extheſi. ] Cũ igitur [per 3 p 6] ſit ꝓportio k d ad d o, ſicut k p ad p o: erit
k p maior p o. Itẽlinead t ſecet lineã o k in puncton. Dico, quod p cadit inter n & k, nõ inter n & o,
quod ſic patebit. Angulus k p dualet duos angulos p d o, p o d: & angulus o p d ualet duos angulos
p k d & p d k [per 32 p 1. ] Sed angulus p d o æqualis eſt angulo p d k: [per fabricationem] & [per
the ſim & 18 p 1] angulus k o d maior angulo o k d: igitur angulus k p d maior angulo o p d: igitur
[ք 13 p 1] angulus k p d maior recto: & angulus k n d
128[Figure 128]b o p n g k e f d a q l macutus: quod ſic cõſtabit: ſi fiat circulus per tria pũcta
o, t, k: [per 5 p 4] tranſibit infra d. Quoniã ſi tranſeat
per d: cũ angulus o t k ſit maior angulo o d a: [ք the-
ſin] erũtduo anguli o t k, o d k maiores duobus rectis
[cõtra 22 p 3. ] Si tranſeat ſupra d: eadẽ eſt demõſtra-
tio. Et linea n d diuidet arcũ illius circuli, qui eſt o k, ք
æqualia infra d. [Quia cum t ſit reflexionis punctũ ex
theſi: æquabuntur anguli k t d, d t o per 12 n 4, & peri-
pheriæ illis ſubtenſæ per 26 p 3. ] Si autẽ à pũcto diui-
ſionis ducatur linea ad mediũ punctũ lineæ o k: quæ
eſt chorda illius arcus: erit linea illa perpendicularis
ſuper o k: [rectę enim lineæ à puncto medio periphe-
riæ k o, ductæ ad puncta k & o, æquantur per 29 p3: &
recta, quę ab eodem puncto connectit medium rectæ
k o, æquatur ſibijpſi. Quare per 8 p. 10 d 1 ipſa perpen
dicularis eſt ad k o] & cadet inter p & k: cũ p k ſit ma-
ior p o: [excõcluſo] & angulus ſuper n à parte illius perpẽdicularis & ex parte p erit acutus: [per
32 p 1] & angulus ſuper p ex parte o eſt acutus [per 13 p 1: oſtenſum enim eſt angulum k p d eſſe ob-
tuſum. ] Si ergo p cadit inter n & o: impoſsibile erit perpẽdicularem illam cadere inter n & p: quia
ſecatet d p, & fieret triangulũ, cuius unus angulus rectus, alius obtuſus [contra 32 p 1. ] Cadet ergo
intern & k: & erit angulus n ex parte perpendicularis acutus: igitur ex parte o obtuſus [per 13 p 1: ]
ergo p non cadit inter n & o: quia ita erit triangulum, cuius duo anguli obtuſi [eſt enim angulus k
p d obtuſus concluſus. ] Palàm, quòd angulus k t d eſt medietas anguli k t o: [per theſin & 12 n 4:
quia t eſt punctũ reflexionis: & d t perpendicularis eſt plano ſpeculum in puncto t tangenti per 25
n 4] ſed k t e eſtmedietas anguli k t f [per fabricationem. ] Reſtat e t d medietas angulift o: ſed fto
quidẽ unum ad aliud à duob pũctis arcus, reſpiciẽtis ſemidiametros, in quib. ſunt: ſed nõ ab
alio pũcto illius arcus, quàm ab illis duob. Verbi gratia: d ſit centrũ: k remotius à d quàm o à
d: g d, b d ſemidiam etri: t punctũ unũ reflexionis. Palàm ex ſuperioribus, quod uterq; angulus con-
ſtans ex angulo incidẽtiæ & reflexionis, nõ erit min or angulo o d a: [ք 80 n] nec ęqualis [per 79 n]
alter ergo erit maior. Sit angulus cõſtans ex angulo incidẽtiæ & reflexionis, qui eſt ſuք t, maior an-
gulo o d a: & ducãtur lineæ o t, d t, k t: & ex angulo illo ſecetur angulus æqualis angulo o d a: [ք 23
p 1] quiſit o t ſ: & diuidatur angulus f t k per æqualia per lineã t e [per 9 p 1] & à puncto k ducatur
æquidiſtãs t f: [per 31 p 1] quæ quidẽ cõcurret cũ te: [per lemma Procli ad 29 p 1] cõcurrat in pũcto
z: & ducatur linea o k: & diuidatur angulus o d k peræqualia, per lineã d u, ſecantẽlineã o k in pun-
cto p: & eſt k d maior o d [extheſi. ] Cũ igitur [per 3 p 6] ſit ꝓportio k d ad d o, ſicut k p ad p o: erit
k p maior p o. Itẽlinead t ſecet lineã o k in puncton. Dico, quod p cadit inter n & k, nõ inter n & o,
quod ſic patebit. Angulus k p dualet duos angulos p d o, p o d: & angulus o p d ualet duos angulos
p k d & p d k [per 32 p 1. ] Sed angulus p d o æqualis eſt angulo p d k: [per fabricationem] & [per
the ſim & 18 p 1] angulus k o d maior angulo o k d: igitur angulus k p d maior angulo o p d: igitur
[ք 13 p 1] angulus k p d maior recto: & angulus k n d
128[Figure 128]b o p n g k e f d a q l macutus: quod ſic cõſtabit: ſi fiat circulus per tria pũcta
o, t, k: [per 5 p 4] tranſibit infra d. Quoniã ſi tranſeat
per d: cũ angulus o t k ſit maior angulo o d a: [ք the-
ſin] erũtduo anguli o t k, o d k maiores duobus rectis
[cõtra 22 p 3. ] Si tranſeat ſupra d: eadẽ eſt demõſtra-
tio. Et linea n d diuidet arcũ illius circuli, qui eſt o k, ք
æqualia infra d. [Quia cum t ſit reflexionis punctũ ex
theſi: æquabuntur anguli k t d, d t o per 12 n 4, & peri-
pheriæ illis ſubtenſæ per 26 p 3. ] Si autẽ à pũcto diui-
ſionis ducatur linea ad mediũ punctũ lineæ o k: quæ
eſt chorda illius arcus: erit linea illa perpendicularis
ſuper o k: [rectę enim lineæ à puncto medio periphe-
riæ k o, ductæ ad puncta k & o, æquantur per 29 p3: &
recta, quę ab eodem puncto connectit medium rectæ
k o, æquatur ſibijpſi. Quare per 8 p. 10 d 1 ipſa perpen
dicularis eſt ad k o] & cadet inter p & k: cũ p k ſit ma-
ior p o: [excõcluſo] & angulus ſuper n à parte illius perpẽdicularis & ex parte p erit acutus: [per
32 p 1] & angulus ſuper p ex parte o eſt acutus [per 13 p 1: oſtenſum enim eſt angulum k p d eſſe ob-
tuſum. ] Si ergo p cadit inter n & o: impoſsibile erit perpẽdicularem illam cadere inter n & p: quia
ſecatet d p, & fieret triangulũ, cuius unus angulus rectus, alius obtuſus [contra 32 p 1. ] Cadet ergo
intern & k: & erit angulus n ex parte perpendicularis acutus: igitur ex parte o obtuſus [per 13 p 1: ]
ergo p non cadit inter n & o: quia ita erit triangulum, cuius duo anguli obtuſi [eſt enim angulus k
p d obtuſus concluſus. ] Palàm, quòd angulus k t d eſt medietas anguli k t o: [per theſin & 12 n 4:
quia t eſt punctũ reflexionis: & d t perpendicularis eſt plano ſpeculum in puncto t tangenti per 25
n 4] ſed k t e eſtmedietas anguli k t f [per fabricationem. ] Reſtat e t d medietas angulift o: ſed fto