183177OPTICAE LIBER V.
æqualis eſt angulo o d a [per ſabricationem:
] igitur e t d medietas anguli o d a:
ſed angulus o d a cũ
angulo o d f ualet duos rectos [per 13 p 1] & [per 32 p 1] tres anguli trianguli e t d duos rectos: ab-
lato e d t cõmuni: reſtat angulus t e d æqualis medietati anguli o d a, & angulo o d n [nam poſt ſub-
ductionem communis anguli t d e, relinquũtur anguli d t e, t e d æquales angulis o d t, o d a: ſed d t e
æquatur dimidiato angulo o d a, ut patuit: reliquus igitur t e d ęquatur dimidiato angulo o d a & an
gulo o d n ſimul utriq; .] Sed angulus o d p cũ medietate anguli o d a eſt rectus: [ꝗ a enim anguli o d
k, o d a æquãtur duobus rectis per 13 p 1: & angulus o d u eſt dimidius anguli o d k per fabricationẽ:
duo igitur dimidiati anguli duorũ rectorũ æquãtur uni recto] igitur angulus t e d eſt acutus: [quia
enim angulus o d p cum dimidiato angulo o d a æquatur unirecto ex concluſo: & maior eſt angulo
o d n: quia, ut patuit, n cadit inter p & o: ergo angulus t e d æqualis angulo o d n, & dimidiato o d a,
erit minor recto: ideoq́; acutus] quare ei contrapoſitus eſt acutus [per 15 p 1. ] Igitur ſi à puncto k
ducatur perpendicularis ad t z: [per 12 p 1] cadet inter e & z. Si enim ſupra e ceciderit, cum angulus
t e k ſit obtuſus: [per 13 p 1: acutus enim concluſus eſt t e d] accidet triangulũ habere duos angulos
rectum & obtuſum [contra 32 p 1. ] Sit ergo perpendicularis k q. Dico, quo d k t ſe habet ad t f, ſicut
k d ad d o, t o enim aut eſt æquidiſtans k d: aut concurrit cum ea. Sit æquidiſtans: erit ergo [per 29
129[Figure 129]b t o u p n g k e f d a q z m130[Figure 130]b u t o p n g k e f d a q z m p 1] angulus o d a æqualis angulo t o d: & ita t o d æqualis angulo o t f [æquatus enim eſt o t f ipſi
o d a. ] Et o d, t ſaut ſunt æquidiſtãtes: aut cõcurrunt. Si æquidiſtantes, cũ cadant inter æquidiſtan-
tes [k d, t o] erũt [per 34 p 1] æquales. Si uerò cõcurrunt: faciẽt triangulũ, cuius latera æqualia [per
6 p 1] quia reſpiciunt æquales angulos: [f t o, & d o t] & f d ſecat illa latera æquidiſtanter baſi. Erit
ergo [per 2 p 6. 18 p 5] proportio unius laterum ad d o, ſicut alterius ad f t: & ita t f æqualis d o [per
9 p 5. ] Ethoc dico, ſilineæ illæ concurrant ſub k d. Et ſi cõcurrant ſub t o: eadem erit probatio: quia
ſiet triangulum, cuius unũ latus eſt t o, & alia duo latera æqualia: [per 6 p 1] & erit [per 2 p 6. 18 p 5]
proportio unius laterum ad d o, ſicut alterius a d t f: & ita [per 9 p 5] t ſ æqualis d o. Item angulus t d
k eſt æqualis angulo d t o [per 29 p 1] quia d tinter æquidiſtantes: [ex theſi: nempe k d, t o] igitur
eſt æqualis angulo d t k: [qui ex theſi & 12 n 4 æquatur angulo d t o] quare [per 6 p 1] d k æqualis
eſt t k. Igitur [per 7 p 5] proportio tkad t f, ſicut k d ad d o. Siuero to concurrit cum k d: concurrat
ex parte a in puncto l. Scimus [è demõſtratis à Theo
131[Figure 131]u t b p n o g k e f d l a q m z ne ad 5 d 6] quòd proportio k t ad t ſ compacta eſt ex
proportione k t ad tl, & tl ad t f: ſed [per 3 p 6] k t ad
tleſt, ſicut k d ad d l: quoniam d t diuidit angulum k
to per æqualia: & proportio tladtf, ſicut d l ad d o:
quoniã angulus o d leſt æqualis angulo l t f [perſa-
bricationem] & angulus ſuperl communis: [trian-
gulis l t f, o d l] erit partiale triangulum ſimile totali
[per 32 p 1. 4 p. 1 d 6. ] Igitur proportio k t ad t f cõſtat
ex proportione k d ad d l, & proportione dl ad d o:
ſed proportio k d ad d o conſtat exijſdem [aſſumpta
dlmedia interk d & d o. ] Quare proportio k t ad t f,
ſicut k d ad d o. Si uerò to concurrat cum k d ex par-
te g: ſit concurſus s. Et à puncto d ducatur æquidi-
ſtans lineæ k t: [per 31 p 1] quæ ſit d r, cõcurrens cum
to in puncto r: igitur [per 29 p 1] angulus k t d eſt
æqualis angulo t d r: ſed idẽ eſt æqualis angulo d t o
[pertheſin & 12 n 4. ] Quare [ք 6 p 1] d r eſt æqualis
tr. Sed quia triangulũ s t k ſimile eſt triangulo s r d: [per 29. 32 p 1. 4 p. 1 d 6] erit proportio d rad sr,
ſicut k t ad t s: & ita r t ad r s, ſicut kt ad ts: [ք 7 p 5: æqualis enim cõcluſa eſt tripſi d r] ſed r t ad r s,
angulo o d f ualet duos rectos [per 13 p 1] & [per 32 p 1] tres anguli trianguli e t d duos rectos: ab-
lato e d t cõmuni: reſtat angulus t e d æqualis medietati anguli o d a, & angulo o d n [nam poſt ſub-
ductionem communis anguli t d e, relinquũtur anguli d t e, t e d æquales angulis o d t, o d a: ſed d t e
æquatur dimidiato angulo o d a, ut patuit: reliquus igitur t e d ęquatur dimidiato angulo o d a & an
gulo o d n ſimul utriq; .] Sed angulus o d p cũ medietate anguli o d a eſt rectus: [ꝗ a enim anguli o d
k, o d a æquãtur duobus rectis per 13 p 1: & angulus o d u eſt dimidius anguli o d k per fabricationẽ:
duo igitur dimidiati anguli duorũ rectorũ æquãtur uni recto] igitur angulus t e d eſt acutus: [quia
enim angulus o d p cum dimidiato angulo o d a æquatur unirecto ex concluſo: & maior eſt angulo
o d n: quia, ut patuit, n cadit inter p & o: ergo angulus t e d æqualis angulo o d n, & dimidiato o d a,
erit minor recto: ideoq́; acutus] quare ei contrapoſitus eſt acutus [per 15 p 1. ] Igitur ſi à puncto k
ducatur perpendicularis ad t z: [per 12 p 1] cadet inter e & z. Si enim ſupra e ceciderit, cum angulus
t e k ſit obtuſus: [per 13 p 1: acutus enim concluſus eſt t e d] accidet triangulũ habere duos angulos
rectum & obtuſum [contra 32 p 1. ] Sit ergo perpendicularis k q. Dico, quo d k t ſe habet ad t f, ſicut
k d ad d o, t o enim aut eſt æquidiſtans k d: aut concurrit cum ea. Sit æquidiſtans: erit ergo [per 29
129[Figure 129]b t o u p n g k e f d a q z m130[Figure 130]b u t o p n g k e f d a q z m p 1] angulus o d a æqualis angulo t o d: & ita t o d æqualis angulo o t f [æquatus enim eſt o t f ipſi
o d a. ] Et o d, t ſaut ſunt æquidiſtãtes: aut cõcurrunt. Si æquidiſtantes, cũ cadant inter æquidiſtan-
tes [k d, t o] erũt [per 34 p 1] æquales. Si uerò cõcurrunt: faciẽt triangulũ, cuius latera æqualia [per
6 p 1] quia reſpiciunt æquales angulos: [f t o, & d o t] & f d ſecat illa latera æquidiſtanter baſi. Erit
ergo [per 2 p 6. 18 p 5] proportio unius laterum ad d o, ſicut alterius ad f t: & ita t f æqualis d o [per
9 p 5. ] Ethoc dico, ſilineæ illæ concurrant ſub k d. Et ſi cõcurrant ſub t o: eadem erit probatio: quia
ſiet triangulum, cuius unũ latus eſt t o, & alia duo latera æqualia: [per 6 p 1] & erit [per 2 p 6. 18 p 5]
proportio unius laterum ad d o, ſicut alterius a d t f: & ita [per 9 p 5] t ſ æqualis d o. Item angulus t d
k eſt æqualis angulo d t o [per 29 p 1] quia d tinter æquidiſtantes: [ex theſi: nempe k d, t o] igitur
eſt æqualis angulo d t k: [qui ex theſi & 12 n 4 æquatur angulo d t o] quare [per 6 p 1] d k æqualis
eſt t k. Igitur [per 7 p 5] proportio tkad t f, ſicut k d ad d o. Siuero to concurrit cum k d: concurrat
ex parte a in puncto l. Scimus [è demõſtratis à Theo
131[Figure 131]u t b p n o g k e f d l a q m z ne ad 5 d 6] quòd proportio k t ad t ſ compacta eſt ex
proportione k t ad tl, & tl ad t f: ſed [per 3 p 6] k t ad
tleſt, ſicut k d ad d l: quoniam d t diuidit angulum k
to per æqualia: & proportio tladtf, ſicut d l ad d o:
quoniã angulus o d leſt æqualis angulo l t f [perſa-
bricationem] & angulus ſuperl communis: [trian-
gulis l t f, o d l] erit partiale triangulum ſimile totali
[per 32 p 1. 4 p. 1 d 6. ] Igitur proportio k t ad t f cõſtat
ex proportione k d ad d l, & proportione dl ad d o:
ſed proportio k d ad d o conſtat exijſdem [aſſumpta
dlmedia interk d & d o. ] Quare proportio k t ad t f,
ſicut k d ad d o. Si uerò to concurrat cum k d ex par-
te g: ſit concurſus s. Et à puncto d ducatur æquidi-
ſtans lineæ k t: [per 31 p 1] quæ ſit d r, cõcurrens cum
to in puncto r: igitur [per 29 p 1] angulus k t d eſt
æqualis angulo t d r: ſed idẽ eſt æqualis angulo d t o
[pertheſin & 12 n 4. ] Quare [ք 6 p 1] d r eſt æqualis
tr. Sed quia triangulũ s t k ſimile eſt triangulo s r d: [per 29. 32 p 1. 4 p. 1 d 6] erit proportio d rad sr,
ſicut k t ad t s: & ita r t ad r s, ſicut kt ad ts: [ք 7 p 5: æqualis enim cõcluſa eſt tripſi d r] ſed r t ad r s,