184178ALHAZEN
ſicut d k ad d s [eſt enim per 2 p 6, ut s t ad tr, ſic s k ad kd:
& per 18 p 5, ut s r ad rt, ſic s d ad d k, &
per conſectarium 4 p 5, utrtadrs, ſic d k ad d s. ] Igitur [per 11 p 5] ktadts, ſicut d k ad d s. Sed que
niam angulus ft o æqualis eſt angulo o d a: [perfabrica-
132[Figure 132]s g z k t e f d o b r a tionem] erit [per 13 p 1] angulus o d s ęqualis angulo fts
[& angulus ad s ęquatur ſibijpſi: itaq; per 32 p 1 trian gula
s t f, d s o ſunt æquiangula. ] Igitur [ք 4 p 6] stad t f, ſicut
d s ad d o: & eſt k t ad t s, ſicut d k ad d s: & ts ad t f, ſicut
d s ad d o: quare [ք 22 p 5] ktadtſ, ſicut k d ad d o. Quod
eſt propoſitũ. Sed quoniã k z æquidiſtat t f: [per fabrica-
tionem] erit [per 29 p 1] angulus k z e ęqualis angulo e t
f: & ita triangulũ k z e ſimile triangulo e t ſ. [Nam anguli
ad e æquãtur per 15 p 1; itaq; per 32 p 1. 4 p. 1 d 6 triangula
k z e, e t f ſunt ſimilia. ] Quare ꝓportio k e ad e ſ, ſicut k z
ad t f: ſed [per 3 p 6] k e ad e f, ſicut k t ad t f, propter angu-
lum ſuper t diuiſum ք æqualia. Igitur [ք 9 p 5] k z æqua-
lis eſt k t. Verùm quoniã k q eſt perpẽdicularis ſuper e z:
[per ſabricationẽ] erũt omnes eius anguli recti: ſed an-
gulus e t d eſt acutus: quoniã eſt medietas anguli [fto, ut
patuit. ] Igitur k q cõcurret cũ t d [ք 11 ax. ] Sit cõcurſus
h: & ducatur linea e h: & [per 31 p 1] à pũcto e ducature æ-
quidiſtans h k, ꝓducta uſq; ad d h: quæ ſit e x: & mutetur
figura propter intricationẽ linearũ: & [per 5 p 4] fiat cir-
culus, trãſiens per tria puncta x, t, e: & ꝓducatur k d uſq;
in circulũ, cadens in punctũ m: & educatur m t: erit [per
27 p 3] angulus t m e æqualis angulo t x e: quia cadunt in
eundẽ arcũ: [e f t] & [ք 29 p 1] angulus t x e æqualis an
gulo t h k: erit t m e æqualis angulo t h k. Secetur ab an-
gulo t m e, æqualis angulo d h e: [id uerò fieri poteſt: ꝗa
angulus t h k maior eſt angulo d h e per 9 ax: itaq; t m e
eodẽ maior eſt] ꝗ ſit ſ m d: & punctũ, in quo ſ m ſecat t x, ſit i. Palàm quòd triangulũ i m d ſimile eſt
triangulo e d h [quia enim angulus f m d æquatus eſt angulo d h e, & anguli ad d æquãtur per 15 p 1
ergo ք 32 p 1 triangula ſunt æquiangula, & ք 4 p. 1 d
133[Figure 133]t f i k e d m q z x h 6 ſimilia. ] Quare proportio h d ad d m, ſicut e h ad i
m. Et ſimiliter triangulũ t m d ſimile triangulo k h d:
[Nã angulus t m d æqualis cõcluſus eſt angulo th k:
& anguli ad d ęquãtur ք 1 5 p 1. Quare ut prius trian-
gula ſunt ſimilia] & ꝓportio k d ad d t, ſicut h d ad d
m: & ita [ք 11 p 5] k d ad d t, ſicut e h ad im. Sed pro-
portio k d ad d t nota: quoniã ſemք una & eadẽ per-
manet, quodcũq; punctũ reflexionis ſit t in arcu b g:
quia ſemper linea t d eſt una: [quia eſt ſemidiameter
circuli, qui eſt cõmunis ſectio ſuperſicierũ reflexio-
nis & ſpeculi] & k d ſimiliter [quia eſt diſtãtia pũcti
reflexi à cẽtro ſpeculi. ] Linea etiam e h unà in qua-
cunq; reflexione permanet, & nõ mutatur eius quã-
titas [quia angulus o d a idẽ ſemper քmanet: eiusq́;
dimidius eſt angulus e t d: ꝗ a, ut patuit, dimidius eſt
angulifto, æquati angulo o d a. ] Quare linea im
ſemper erit una: quare punctũ ſnotũ & determina-
tum [quia per lineam i m longitudine ſemper eandẽ, continuatam in peripheriam oſtenditur. ] Si
ergo à tribus punctis arcus b g fieri poſſet reflexio: eſſet ducere à puncto fad circulum x t e tres li-
neas æquales: quarum cuiuslibet pars interiacens diametrum tx & circumferentiam circuli eſſet
æqualis lineæ i m: quia ſemper erit proportio k d ad d t, ſicut e h ad quamlibet illarum. Et patet ex
ſuperioribus [34 n] quòd non, niſi duæ æquales poſſunt. Quare à duobus tantùm punctis fiet re-
flexio. Quod eſt propoſitum.
per conſectarium 4 p 5, utrtadrs, ſic d k ad d s. ] Igitur [per 11 p 5] ktadts, ſicut d k ad d s. Sed que
niam angulus ft o æqualis eſt angulo o d a: [perfabrica-
132[Figure 132]s g z k t e f d o b r a tionem] erit [per 13 p 1] angulus o d s ęqualis angulo fts
[& angulus ad s ęquatur ſibijpſi: itaq; per 32 p 1 trian gula
s t f, d s o ſunt æquiangula. ] Igitur [ք 4 p 6] stad t f, ſicut
d s ad d o: & eſt k t ad t s, ſicut d k ad d s: & ts ad t f, ſicut
d s ad d o: quare [ք 22 p 5] ktadtſ, ſicut k d ad d o. Quod
eſt propoſitũ. Sed quoniã k z æquidiſtat t f: [per fabrica-
tionem] erit [per 29 p 1] angulus k z e ęqualis angulo e t
f: & ita triangulũ k z e ſimile triangulo e t ſ. [Nam anguli
ad e æquãtur per 15 p 1; itaq; per 32 p 1. 4 p. 1 d 6 triangula
k z e, e t f ſunt ſimilia. ] Quare ꝓportio k e ad e ſ, ſicut k z
ad t f: ſed [per 3 p 6] k e ad e f, ſicut k t ad t f, propter angu-
lum ſuper t diuiſum ք æqualia. Igitur [ք 9 p 5] k z æqua-
lis eſt k t. Verùm quoniã k q eſt perpẽdicularis ſuper e z:
[per ſabricationẽ] erũt omnes eius anguli recti: ſed an-
gulus e t d eſt acutus: quoniã eſt medietas anguli [fto, ut
patuit. ] Igitur k q cõcurret cũ t d [ք 11 ax. ] Sit cõcurſus
h: & ducatur linea e h: & [per 31 p 1] à pũcto e ducature æ-
quidiſtans h k, ꝓducta uſq; ad d h: quæ ſit e x: & mutetur
figura propter intricationẽ linearũ: & [per 5 p 4] fiat cir-
culus, trãſiens per tria puncta x, t, e: & ꝓducatur k d uſq;
in circulũ, cadens in punctũ m: & educatur m t: erit [per
27 p 3] angulus t m e æqualis angulo t x e: quia cadunt in
eundẽ arcũ: [e f t] & [ք 29 p 1] angulus t x e æqualis an
gulo t h k: erit t m e æqualis angulo t h k. Secetur ab an-
gulo t m e, æqualis angulo d h e: [id uerò fieri poteſt: ꝗa
angulus t h k maior eſt angulo d h e per 9 ax: itaq; t m e
eodẽ maior eſt] ꝗ ſit ſ m d: & punctũ, in quo ſ m ſecat t x, ſit i. Palàm quòd triangulũ i m d ſimile eſt
triangulo e d h [quia enim angulus f m d æquatus eſt angulo d h e, & anguli ad d æquãtur per 15 p 1
ergo ք 32 p 1 triangula ſunt æquiangula, & ք 4 p. 1 d
133[Figure 133]t f i k e d m q z x h 6 ſimilia. ] Quare proportio h d ad d m, ſicut e h ad i
m. Et ſimiliter triangulũ t m d ſimile triangulo k h d:
[Nã angulus t m d æqualis cõcluſus eſt angulo th k:
& anguli ad d ęquãtur ք 1 5 p 1. Quare ut prius trian-
gula ſunt ſimilia] & ꝓportio k d ad d t, ſicut h d ad d
m: & ita [ք 11 p 5] k d ad d t, ſicut e h ad im. Sed pro-
portio k d ad d t nota: quoniã ſemք una & eadẽ per-
manet, quodcũq; punctũ reflexionis ſit t in arcu b g:
quia ſemper linea t d eſt una: [quia eſt ſemidiameter
circuli, qui eſt cõmunis ſectio ſuperſicierũ reflexio-
nis & ſpeculi] & k d ſimiliter [quia eſt diſtãtia pũcti
reflexi à cẽtro ſpeculi. ] Linea etiam e h unà in qua-
cunq; reflexione permanet, & nõ mutatur eius quã-
titas [quia angulus o d a idẽ ſemper քmanet: eiusq́;
dimidius eſt angulus e t d: ꝗ a, ut patuit, dimidius eſt
angulifto, æquati angulo o d a. ] Quare linea im
ſemper erit una: quare punctũ ſnotũ & determina-
tum [quia per lineam i m longitudine ſemper eandẽ, continuatam in peripheriam oſtenditur. ] Si
ergo à tribus punctis arcus b g fieri poſſet reflexio: eſſet ducere à puncto fad circulum x t e tres li-
neas æquales: quarum cuiuslibet pars interiacens diametrum tx & circumferentiam circuli eſſet
æqualis lineæ i m: quia ſemper erit proportio k d ad d t, ſicut e h ad quamlibet illarum. Et patet ex
ſuperioribus [34 n] quòd non, niſi duæ æquales poſſunt. Quare à duobus tantùm punctis fiet re-
flexio. Quod eſt propoſitum.
83. Datis duobus punctis in diuerſis diametris circuli (quieſt cõmunis ſectio ſuperficierum,
reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) à centro inæquabiliter diſtantibus: inuenire in peripberia
comprebenſa inter ſemidiametros, in quibus ipſa ſunt, duo reflexionis puncta. 37 p 8.
reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) à centro inæquabiliter diſtantibus: inuenire in peripberia
comprebenſa inter ſemidiametros, in quibus ipſa ſunt, duo reflexionis puncta. 37 p 8.
AMplius:
datis duobus punctis k, o in diuerſis diametris, inæ qualiter diſtantibus à centro:
eſt
inuenire punctum reflexionis. Verbi gratia: ſumatur linea z t: & [per 10 p 6] diuidatur in
puncto e, ut ſit proportio z e ad et, ſicut k d ad d o [in primo diagrammate præcedentis
numeri. ] Quoniam k d maior d o [extheſi præcedẽtis numeri] erit z e maior e t: diuidatur z t per
æqualia in puncto q: [per 10 p 1] & à puncto q ducatur perpendicularis ſuper z t: [per 11 p 1] & fiat
inuenire punctum reflexionis. Verbi gratia: ſumatur linea z t: & [per 10 p 6] diuidatur in
puncto e, ut ſit proportio z e ad et, ſicut k d ad d o [in primo diagrammate præcedentis
numeri. ] Quoniam k d maior d o [extheſi præcedẽtis numeri] erit z e maior e t: diuidatur z t per
æqualia in puncto q: [per 10 p 1] & à puncto q ducatur perpendicularis ſuper z t: [per 11 p 1] & fiat
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib