185165LIBER SECVNDVS.
lo ante diximus.
Verum hoc arti ficium tunc minus neceſſarium eſt in horizontali horologio, quia
vtraque portio arcus C D, G D, vno labore deſcribitur ſecundum poſteriorem modum, qui per fi-
guram radiorum Zodiaci abſoluitur, vt ex ſuperioribus patet. Sed pro arcubus oppoſitis res erit
valde vtilis, & commoda. In declinantibus quoque horologijs, & inclinatis magnam commodita-
tem afferet hæc praxis, ſiue vtriuſque ſigni oppoſiti arcus deſcribi poſſit in horologio, ſiue vnius
tantum, vt ſuo loco perſpicuum erit.
vtraque portio arcus C D, G D, vno labore deſcribitur ſecundum poſteriorem modum, qui per fi-
guram radiorum Zodiaci abſoluitur, vt ex ſuperioribus patet. Sed pro arcubus oppoſitis res erit
valde vtilis, & commoda. In declinantibus quoque horologijs, & inclinatis magnam commodita-
tem afferet hæc praxis, ſiue vtriuſque ſigni oppoſiti arcus deſcribi poſſit in horologio, ſiue vnius
tantum, vt ſuo loco perſpicuum erit.
SED praxim hanc Geometrice demonſtremus.
Ductis rectis A k, A L, K L, D K, D L, F K,
F L, F M, F N, B M, B N, E M, E N, quarum k L, ſecet rectam A D, in O; quoniam duo latera F A,
F K, triãguli A F k, æqualia ſunt duobus lateribus F A, F L, trianguli A F L, & baſis A K, baſi A L,
æqualis, erunt anguli quoque A F k, A F L, æquales. Rurſus quia latera F O, F K, trianguli O F k,
1110228. primi. æqualia ſunt lateribus F O, F L, trianguli O F L, continentq́; angulos æquales, vt oſtendimus, erũt
& baſes O K, OL, & anguli ad O, æquales, ideoq́; recti. Et quoniam in cono recto, cuiuſmodi ſunt
334. primi. omnes, quorum baſes ſunt paralleli Solis, & communis vertex in centro mundi, diameter ſection-
nis cuiuſuis conicę ſecat omnes ordinatim applicatas bifariam, & ad angulos rectos, vt conſtat ex
propoſ. 7. lib. 1 Apollonij, fit vt k L, ſit ordinatim applicata ad diametrum A D, conicæ ſectionis
C D. Nulla enim alia recta ex K, ad A D, applicata ſecari poteſt ad angulos rectos, vt conſtat ex iis,
quę ad propoſ. 17. lib. 1. Eucl. demonſtrauimus ex Proclo. Tranſibit ergo ſectio conica C D, pro-
ducta per punctum L; & ſic de cæteris punctis. Rurſus quia A D, B E, æquales ſunt, ſi addantur
æquales D F, E F, erunt quoque totæ A F, B F, æquales. Cum ergo duo latera A F, F k, trianguli
A F K, æqualia ſint duobus lateribus B F, F N, trianguli B F N, & baſis A K, baſi B N, æqualis, erũt
4420& anguli A F K, B F N, æquales. Quare vt ex Proclo ad propoſ. 15. lib. 1. Euclidis demonſtraui-
558. primi. mus, rectę F K, F N, vnam rectam lineam conſtituent, ac proinde in F, centro ſectionis diuiſam bi-
fariam. Quocirca cum in hyperbolis oppoſitis, quarum diameter D E, recta ex k, per centrum F,
ducta ſecetur, per propoſ. 30. lib. 1. Apollonij, in centro F, bifariam, tranſibit neceſſario oppoſita
hyperbola per punctum N. Eodem pacto oſtendemus eandem tranſire per punctum M, & ſic de
reliquis punctis. Quoniam verò in triangulis D O K, D O L, latera O D, O k, lateribus O D, O L,
æqualia ſunt, angulosq́; comprehendunt ęquales, nempe rectos, vt demõſtra tum eſt, erunt & baſes
664. primi. D k, D L, æquales. Eademq́; ratione æquales inter ſe erunt E M, E N: Et rurſus D k, ipſi E N, &
D L, ipſi E M, æqualis erit, ſi conſiderentur triangula D F K, E F N, & D F L, E F M; Sunt enim la-
tera quoque F D, F K, lateribus F E, F N, æqualia, angulosq́; continent æquales, & c. Quare ſi inter-
7730 uallo D K, deſcribatur ex D, arcus verſus L, & alii duo ex E, hincinde, tranſibunt hi arcus per pun-
cta L, M, N; Eademq́; ratione arcus ex eiſdẽ punctis D, E, deſcripti ad interualla inter D, & reliqua
puncta conicæ ſectionis C D, tranſibunt per alia puncta ſectionum D L G, E M H, E N I. Vnde ſi
terni ſemper arcus ex A, F, D, Item ex B, F, E, deſcripti ſe mutuo interſecent, exquiſite valde inuen-
ta erunt puncta, per quæ duci debent ſectiones conicæ oppoſitæ; adeò vt hac ratione facile exami-
nari poſſit deſcriptio arcuum ſignorum. Quæ res magnam cõmoditatem prębet in arcubus ſigno-
rum delineandis in horologiis declinantibus, & inclinatis, vt infra manifeſtum erit.
F L, F M, F N, B M, B N, E M, E N, quarum k L, ſecet rectam A D, in O; quoniam duo latera F A,
F K, triãguli A F k, æqualia ſunt duobus lateribus F A, F L, trianguli A F L, & baſis A K, baſi A L,
æqualis, erunt anguli quoque A F k, A F L, æquales. Rurſus quia latera F O, F K, trianguli O F k,
1110228. primi. æqualia ſunt lateribus F O, F L, trianguli O F L, continentq́; angulos æquales, vt oſtendimus, erũt
& baſes O K, OL, & anguli ad O, æquales, ideoq́; recti. Et quoniam in cono recto, cuiuſmodi ſunt
334. primi. omnes, quorum baſes ſunt paralleli Solis, & communis vertex in centro mundi, diameter ſection-
nis cuiuſuis conicę ſecat omnes ordinatim applicatas bifariam, & ad angulos rectos, vt conſtat ex
propoſ. 7. lib. 1 Apollonij, fit vt k L, ſit ordinatim applicata ad diametrum A D, conicæ ſectionis
C D. Nulla enim alia recta ex K, ad A D, applicata ſecari poteſt ad angulos rectos, vt conſtat ex iis,
quę ad propoſ. 17. lib. 1. Eucl. demonſtrauimus ex Proclo. Tranſibit ergo ſectio conica C D, pro-
ducta per punctum L; & ſic de cæteris punctis. Rurſus quia A D, B E, æquales ſunt, ſi addantur
æquales D F, E F, erunt quoque totæ A F, B F, æquales. Cum ergo duo latera A F, F k, trianguli
A F K, æqualia ſint duobus lateribus B F, F N, trianguli B F N, & baſis A K, baſi B N, æqualis, erũt
4420& anguli A F K, B F N, æquales. Quare vt ex Proclo ad propoſ. 15. lib. 1. Euclidis demonſtraui-
558. primi. mus, rectę F K, F N, vnam rectam lineam conſtituent, ac proinde in F, centro ſectionis diuiſam bi-
fariam. Quocirca cum in hyperbolis oppoſitis, quarum diameter D E, recta ex k, per centrum F,
ducta ſecetur, per propoſ. 30. lib. 1. Apollonij, in centro F, bifariam, tranſibit neceſſario oppoſita
hyperbola per punctum N. Eodem pacto oſtendemus eandem tranſire per punctum M, & ſic de
reliquis punctis. Quoniam verò in triangulis D O K, D O L, latera O D, O k, lateribus O D, O L,
æqualia ſunt, angulosq́; comprehendunt ęquales, nempe rectos, vt demõſtra tum eſt, erunt & baſes
664. primi. D k, D L, æquales. Eademq́; ratione æquales inter ſe erunt E M, E N: Et rurſus D k, ipſi E N, &
D L, ipſi E M, æqualis erit, ſi conſiderentur triangula D F K, E F N, & D F L, E F M; Sunt enim la-
tera quoque F D, F K, lateribus F E, F N, æqualia, angulosq́; continent æquales, & c. Quare ſi inter-
7730 uallo D K, deſcribatur ex D, arcus verſus L, & alii duo ex E, hincinde, tranſibunt hi arcus per pun-
cta L, M, N; Eademq́; ratione arcus ex eiſdẽ punctis D, E, deſcripti ad interualla inter D, & reliqua
puncta conicæ ſectionis C D, tranſibunt per alia puncta ſectionum D L G, E M H, E N I. Vnde ſi
terni ſemper arcus ex A, F, D, Item ex B, F, E, deſcripti ſe mutuo interſecent, exquiſite valde inuen-
ta erunt puncta, per quæ duci debent ſectiones conicæ oppoſitæ; adeò vt hac ratione facile exami-
nari poſſit deſcriptio arcuum ſignorum. Quæ res magnam cõmoditatem prębet in arcubus ſigno-
rum delineandis in horologiis declinantibus, & inclinatis, vt infra manifeſtum erit.
POSSVNT quoque hyperbolæ ſignorum oppoſitorum, (quando nimirum recta H B, in fi-
88Qua ratione
hyperbolæ op-
poſitæ una ope-
ra in horologio
deſcribantur. gura radiorum radios oppoſitorum ſignorum ſecat) quæ quidem æquales inter ſe ſunt, & oppoſi-
tæ, vt ex propoſ. 14. lib. 1. Apollonij liquet, una opera commodiſſime deſcribi hoc modo. Inuẽtis,
9940 vt prius, in linea meridiana horologij duobus punctis, per quæ arcus ſignorum oppoſitorum du-
ci debent, ſumatur in eadem linea meridiana extenſa punctum φ, tantum à puncto hyperbolę vl-
tra lineam ęquinoctialem deſcribendæ diſtans, quantum centrum horologii H, à puncto hyperbo
læ inter lineam ęquinoctialem, & centrum H, deſcribendæ, quæ illi opponitur, abeſt, & ex puncto
φ, egrediantur occultæ lineæ horarię inſtar earum, quæ ex centro H, eductæ ſunt. Quod quidẽ fa-
cile fiet, ſi per punctum X, bifariam diuidens tranſuerſam diametrum hyperbolarum oppoſitarũ
ducatur linea æquinoctiali lineæ parallela, tanquam altera linea æquinoctialis reſpectu centri φ.
Vbi enim hęc ſecabit horarias lineas ex centro H, emiſſas, per ea puncta ducendæ ſunt occultę li-
neę horarię ex φ, vt patet: quia hac ratione ęquales erunt anguli ad centra H, φ, contenti ſub li-
10104. primi. neis horarijs, & linea meridiana. Vel etiam hoc modo, & forſitan commodius. Deſcripto ex H, ar-
111150 cu circuli occulto, deſcribatur ad idem interuallum alius arcus ex φ. Si enim in priori arcu ſuman
tur interualla horarum, initio facto à linea meridiana, transferanturq́; in poſteriorem arcum, à li-
nea quoque meridiana facto initio, habebuntur puncta in ſecundo hoc arcu, per quę ducendę rur
ſus ſunt lineę horarię ex φ. Pro hora vero ſexta ducenda eſt per φ, linea ęquinoctiali lineę paralle-
la, vel ad lineam meridianam perpendicularis. Itaque ſi omnia interualla, quę in poſteriori deſcri
ptione arcuum ſignorum Zodiaci (quę quidem ex figura radiorum Zodiaci abſoluitur) diximus
circino transferenda eſſe ex H, centro horologii in lineas horarias, vt deſcribatur quęcunque hy-
perbola inter centrum H, & lineam ęquinoctialem, transferantur ſimul eodem circino ex φ, in re
ſpondentes lineas horarias ex φ, egredientes, habebuntur vno labore vtrobique puncta, per quę du
cendę ſunt hyperbolę oppoſitæ, & ęquales. Exemplum habes in hyperbolis ♋, & ♑, ſuperioris ho
rologij. Eademq́; ratio eſt de alijs hyperbolis oppoſitis.
88Qua ratione
hyperbolæ op-
poſitæ una ope-
ra in horologio
deſcribantur. gura radiorum radios oppoſitorum ſignorum ſecat) quæ quidem æquales inter ſe ſunt, & oppoſi-
tæ, vt ex propoſ. 14. lib. 1. Apollonij liquet, una opera commodiſſime deſcribi hoc modo. Inuẽtis,
9940 vt prius, in linea meridiana horologij duobus punctis, per quæ arcus ſignorum oppoſitorum du-
ci debent, ſumatur in eadem linea meridiana extenſa punctum φ, tantum à puncto hyperbolę vl-
tra lineam ęquinoctialem deſcribendæ diſtans, quantum centrum horologii H, à puncto hyperbo
læ inter lineam ęquinoctialem, & centrum H, deſcribendæ, quæ illi opponitur, abeſt, & ex puncto
φ, egrediantur occultæ lineæ horarię inſtar earum, quæ ex centro H, eductæ ſunt. Quod quidẽ fa-
cile fiet, ſi per punctum X, bifariam diuidens tranſuerſam diametrum hyperbolarum oppoſitarũ
ducatur linea æquinoctiali lineæ parallela, tanquam altera linea æquinoctialis reſpectu centri φ.
Vbi enim hęc ſecabit horarias lineas ex centro H, emiſſas, per ea puncta ducendæ ſunt occultę li-
neę horarię ex φ, vt patet: quia hac ratione ęquales erunt anguli ad centra H, φ, contenti ſub li-
10104. primi. neis horarijs, & linea meridiana. Vel etiam hoc modo, & forſitan commodius. Deſcripto ex H, ar-
111150 cu circuli occulto, deſcribatur ad idem interuallum alius arcus ex φ. Si enim in priori arcu ſuman
tur interualla horarum, initio facto à linea meridiana, transferanturq́; in poſteriorem arcum, à li-
nea quoque meridiana facto initio, habebuntur puncta in ſecundo hoc arcu, per quę ducendę rur
ſus ſunt lineę horarię ex φ. Pro hora vero ſexta ducenda eſt per φ, linea ęquinoctiali lineę paralle-
la, vel ad lineam meridianam perpendicularis. Itaque ſi omnia interualla, quę in poſteriori deſcri
ptione arcuum ſignorum Zodiaci (quę quidem ex figura radiorum Zodiaci abſoluitur) diximus
circino transferenda eſſe ex H, centro horologii in lineas horarias, vt deſcribatur quęcunque hy-
perbola inter centrum H, & lineam ęquinoctialem, transferantur ſimul eodem circino ex φ, in re
ſpondentes lineas horarias ex φ, egredientes, habebuntur vno labore vtrobique puncta, per quę du
cendę ſunt hyperbolę oppoſitæ, & ęquales. Exemplum habes in hyperbolis ♋, & ♑, ſuperioris ho
rologij. Eademq́; ratio eſt de alijs hyperbolis oppoſitis.
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