191185OPTICAE LIBER V.ſectionisi:
& ducatur linea q a.
Palàm, quòd angulus b e h æqualis eſt angulo e n a [per 29 p 1:
quia
a n, h e ſunt parallelæ per fabricationem] & angulus h e a æqualis angulo e a n: & [per 12 n 4] angu
lus b e h æqualis angulo h e a: erit angulus e a n æqualis angulo e n a: quare [per 6 p 1] e n æqualis
e a, & e q perpendicularis: [duabus rectis e a, e n per 3 d 11: quia perpendicularis eſt per fabricationẽ
triangulo a e n] erit [per 4 p 1] triangulũ q e a æquale triangulo q e n: & erit q n æqualis q a: & erit
[per 5 p 1] q n a æqualis angulo q a n: ſed angulus t q i æqualis angulo q n a, & angulus i q a æqua-
lis angulo q a n: [per 29 p 1: quia q i, a n ſunt parallelæ per fabricationem] erit angulus i q t æqualis
angulo i q a. Quare a reflectetur adt à puncto columnæ, quod eſt q [per 12 n 4. ] Eodem modo pro-
babitur, quòd reflectetur a ad t â punctis l, m: Et ita à tribus punctis columnæ ex eadem parte: nec
poteſt à pluribus. Detur enim aliud: ducto latere [cylindri, ut oſtenſum eſt 47 n] ab illo puncto:
cadet in circulum, quem habemus: & probabitur, quòd à pũcto caſus, qui eſt in circulo, poterit re-
flecti a ad t, repetita ꝓbatione: quod eſt impoſsibile [ut oſtẽſum eſt 86 n. ] Ex arcu uerò circuli op-
poſito [arcui g d e] poterit reflecti a ad b ab uno puncto: [per 73 n] ſit illud z: & ducatur diameter
h z: & [per 31 p 1] ei æquidiſtans a s: & ducatur b z: quæ concurrat cum a s in puncto s: [cõcurret au-
tem per lemma Procli ad 29 p 1] & erigatur perpendicularis: [ſuper circulũ, cuius centrũ eſt h] quę
ſit o z: quæ erit latus [per 21 d 11] & [per 6 p 11] æquidiſtans t b: & ducatur t s: quę ſecabitur à linea o
z: [per lemma Procli ad 29 p 1. ] Sit ſectio in pũcto o. Probabitur modo prędicto, quòd a reflectetur
ad t à puncto o. Et ſi ſumatur exilla parte punctum aliud columnæ, à quo poſsit reflecti: per repli-
cationem probationis probabitur, quòd ab alio puncto circuli, quàm z, poteſt reflecti ex parte illa:
quod eſt impoſsibile [ut demonſtratũ eſt 75 n. ] Si ergo a ab uno puncto circuli reflectitur ad b ex
aliqua parte: reflectetur ab uno columnæ ex eadem ad t: ſi à duobus, à duobus: ſi à tribus, à tribus:
nec poteſt amplius ab illa parte: ab oppoſita uerò parte non niſi ab uno puncto circuli tantùm, &
ab uno columnæ tantùm. Item t b æquidiſtat u h: [ut ab initio demõſtratum eſt: itaq; per 35 d 1 ſunt
in eadem ſuperficie, quæ eſt t b u h] nec poteſt ſumi ſuperficies æqualis, in qua ſit t cum u h, præter
ſuperficiem t b u h. Similiter non poteſt ſuperficies ſumi, in qua ſit a cum u h, præter ſuperficiem a u
h, quæ eſt perpendicularis [circulo, cuius cẽtrum h, per 18 p 11. ] Igitur t non eſt in eadem ſuperficie
perpendiculari cum a, necin eodem circulo, nec eſt in axe, quia eſt in linea ei æ quidiſtante. Super-
ficies igitur, in qua a reflectitur ad t, eft ſectio colũnaris [per 9 th. Sereni de ſectione cylindri. ] Ve-
rùm producta ſit t a ultra t, & a ex utraq; parte: & ſit r p. Cum quatuor ſint ſuperficies reflexionis:
quia à quatuor punctis [q, l, m; o] ſit reflexio, & in qualibet harum ſint duo puncta t, a: erit r p com-
munis quatuor ſuperficiebus reflexionis: [per 1 p 11: quia uiſus & uiſibile, quæ ſunt in linea r p, ſunt
in qualibet reflexionis ſuperficie per 23 n 4] & quælibet harũ ſuperficierum ſecat ſuperficiem, con-
tingentem ſpeculum in puncto ſæ reflexionis, ſuper ſuam lineam communem, nõ ſuper eandem
[quia cum puncta reflexionis ſint diuerſa, etiam communes ſectiones illarum ſuperficierum (quæ
ſuntrectæ lineæ per 3 d 11) diuerſæ erunt. ] Linea ergo r p perpendicularis eſt ſuper unam linearum
quatuor cõmunium, non ſuper duas: eſſet enim perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem:
[per 3 d 11] & ita perueniret ad axem. [Quia enim per 21 d 11 latus cylindraceum ęquidiſtat axi: & r p
perpendicularis plano tangenti ex cõcluſo, ſimul perpendicularis eſt lateri per 3 d 11: ergo per lem-
ma Procli ad 29 p 1 r p (quæ paulo antè oſtẽſa eſt extra axẽ eſſe) cõtinuata ſecabit axẽ; quod eſt ab:
ſurdum. ] Sunt ergo diuerſæ perpendiculares à puncto t ad has quatuor lineas communes: nec eſt
niſi una perpendicularis tantùm, quę tranſit per a. Et perpendicularis aut eſt æquidiſtans lineæ re-
flexionis: aut concurrit cum ea ultra ſpeculum, uel intra. Si fuerit æquidiſtans: erit locus imaginis
punctum reflexionis, ut probatum eſt[91. n] Et cum quatuor ſint reflexionis puncta: erunt qua-
tuor imagines. Si concurrit, cum quatuor ſunt perpendiculares: erunt concurſus quatuor, & qua-
tuor im agines.
a n, h e ſunt parallelæ per fabricationem] & angulus h e a æqualis angulo e a n: & [per 12 n 4] angu
lus b e h æqualis angulo h e a: erit angulus e a n æqualis angulo e n a: quare [per 6 p 1] e n æqualis
e a, & e q perpendicularis: [duabus rectis e a, e n per 3 d 11: quia perpendicularis eſt per fabricationẽ
triangulo a e n] erit [per 4 p 1] triangulũ q e a æquale triangulo q e n: & erit q n æqualis q a: & erit
[per 5 p 1] q n a æqualis angulo q a n: ſed angulus t q i æqualis angulo q n a, & angulus i q a æqua-
lis angulo q a n: [per 29 p 1: quia q i, a n ſunt parallelæ per fabricationem] erit angulus i q t æqualis
angulo i q a. Quare a reflectetur adt à puncto columnæ, quod eſt q [per 12 n 4. ] Eodem modo pro-
babitur, quòd reflectetur a ad t â punctis l, m: Et ita à tribus punctis columnæ ex eadem parte: nec
poteſt à pluribus. Detur enim aliud: ducto latere [cylindri, ut oſtenſum eſt 47 n] ab illo puncto:
cadet in circulum, quem habemus: & probabitur, quòd à pũcto caſus, qui eſt in circulo, poterit re-
flecti a ad t, repetita ꝓbatione: quod eſt impoſsibile [ut oſtẽſum eſt 86 n. ] Ex arcu uerò circuli op-
poſito [arcui g d e] poterit reflecti a ad b ab uno puncto: [per 73 n] ſit illud z: & ducatur diameter
h z: & [per 31 p 1] ei æquidiſtans a s: & ducatur b z: quæ concurrat cum a s in puncto s: [cõcurret au-
tem per lemma Procli ad 29 p 1] & erigatur perpendicularis: [ſuper circulũ, cuius centrũ eſt h] quę
ſit o z: quæ erit latus [per 21 d 11] & [per 6 p 11] æquidiſtans t b: & ducatur t s: quę ſecabitur à linea o
z: [per lemma Procli ad 29 p 1. ] Sit ſectio in pũcto o. Probabitur modo prędicto, quòd a reflectetur
ad t à puncto o. Et ſi ſumatur exilla parte punctum aliud columnæ, à quo poſsit reflecti: per repli-
cationem probationis probabitur, quòd ab alio puncto circuli, quàm z, poteſt reflecti ex parte illa:
quod eſt impoſsibile [ut demonſtratũ eſt 75 n. ] Si ergo a ab uno puncto circuli reflectitur ad b ex
aliqua parte: reflectetur ab uno columnæ ex eadem ad t: ſi à duobus, à duobus: ſi à tribus, à tribus:
nec poteſt amplius ab illa parte: ab oppoſita uerò parte non niſi ab uno puncto circuli tantùm, &
ab uno columnæ tantùm. Item t b æquidiſtat u h: [ut ab initio demõſtratum eſt: itaq; per 35 d 1 ſunt
in eadem ſuperficie, quæ eſt t b u h] nec poteſt ſumi ſuperficies æqualis, in qua ſit t cum u h, præter
ſuperficiem t b u h. Similiter non poteſt ſuperficies ſumi, in qua ſit a cum u h, præter ſuperficiem a u
h, quæ eſt perpendicularis [circulo, cuius cẽtrum h, per 18 p 11. ] Igitur t non eſt in eadem ſuperficie
perpendiculari cum a, necin eodem circulo, nec eſt in axe, quia eſt in linea ei æ quidiſtante. Super-
ficies igitur, in qua a reflectitur ad t, eft ſectio colũnaris [per 9 th. Sereni de ſectione cylindri. ] Ve-
rùm producta ſit t a ultra t, & a ex utraq; parte: & ſit r p. Cum quatuor ſint ſuperficies reflexionis:
quia à quatuor punctis [q, l, m; o] ſit reflexio, & in qualibet harum ſint duo puncta t, a: erit r p com-
munis quatuor ſuperficiebus reflexionis: [per 1 p 11: quia uiſus & uiſibile, quæ ſunt in linea r p, ſunt
in qualibet reflexionis ſuperficie per 23 n 4] & quælibet harũ ſuperficierum ſecat ſuperficiem, con-
tingentem ſpeculum in puncto ſæ reflexionis, ſuper ſuam lineam communem, nõ ſuper eandem
[quia cum puncta reflexionis ſint diuerſa, etiam communes ſectiones illarum ſuperficierum (quæ
ſuntrectæ lineæ per 3 d 11) diuerſæ erunt. ] Linea ergo r p perpendicularis eſt ſuper unam linearum
quatuor cõmunium, non ſuper duas: eſſet enim perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem:
[per 3 d 11] & ita perueniret ad axem. [Quia enim per 21 d 11 latus cylindraceum ęquidiſtat axi: & r p
perpendicularis plano tangenti ex cõcluſo, ſimul perpendicularis eſt lateri per 3 d 11: ergo per lem-
ma Procli ad 29 p 1 r p (quæ paulo antè oſtẽſa eſt extra axẽ eſſe) cõtinuata ſecabit axẽ; quod eſt ab:
ſurdum. ] Sunt ergo diuerſæ perpendiculares à puncto t ad has quatuor lineas communes: nec eſt
niſi una perpendicularis tantùm, quę tranſit per a. Et perpendicularis aut eſt æquidiſtans lineæ re-
flexionis: aut concurrit cum ea ultra ſpeculum, uel intra. Si fuerit æquidiſtans: erit locus imaginis
punctum reflexionis, ut probatum eſt[91. n] Et cum quatuor ſint reflexionis puncta: erunt qua-
tuor imagines. Si concurrit, cum quatuor ſunt perpendiculares: erunt concurſus quatuor, & qua-
tuor im agines.
96. Viſu & uiſibili datis, in ſpeculo cylindraceo cauo punctum reflexionis inuenire. 16 p 9.
AMplius:
datis puncto uiſo, & puncto uiſus:
erit inuenire punctum reflexionis.
Verbi gratia;
ſit a punctum uiſum: b centrum uiſus. Fiat ſuperficies ſecans columnam æquidiſtanter baſi
[ut oſtenſum eſt 47 n] trànſiens per a: & [per 5 th. Sereni de ſectione cylindri] faciet circu-
lum. b aut eſt in ſuperficie huius circuli: aut nõ. Si fuerit: inueniemus punctũ reflexionis in illo cir-
culo, ſicut dictum eſt in ſphærico concauo [73 n. ] Si nõ fuerit: ducatur [per 11 p 11] à puncto b perpẽ-
dicularis ſuper ſuperficiem huius circuli: & replicetur ſuprà dicta probatio: & inuenietur pũctum
reflexionis. Duplici autem uiſu adhibito, una imago in ueritate, efficientur duæ, ſed contiguæ uel
admixtæ: unde uidebitur una.
ſit a punctum uiſum: b centrum uiſus. Fiat ſuperficies ſecans columnam æquidiſtanter baſi
[ut oſtenſum eſt 47 n] trànſiens per a: & [per 5 th. Sereni de ſectione cylindri] faciet circu-
lum. b aut eſt in ſuperficie huius circuli: aut nõ. Si fuerit: inueniemus punctũ reflexionis in illo cir-
culo, ſicut dictum eſt in ſphærico concauo [73 n. ] Si nõ fuerit: ducatur [per 11 p 11] à puncto b perpẽ-
dicularis ſuper ſuperficiem huius circuli: & replicetur ſuprà dicta probatio: & inuenietur pũctum
reflexionis. Duplici autem uiſu adhibito, una imago in ueritate, efficientur duæ, ſed contiguæ uel
admixtæ: unde uidebitur una.
97. Cõmunis ſectio ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculiconici caui eſt latus coni, aut ellipſis. 2 p 9.
IN ſpeculis pyramidalibus concauis linea, communis ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpecu
li, aut erit linea lõgitudinis ſpeculi: aut erit ſectio pyramidalis. Si fuerit linea longitudinis: erũt
loca imaginum in ipſo ſpeculo. Si fuerit ſectio pyramidalis: erunt loca imaginum aliquando ci-
tra uiſum: aliquando in uiſu: aliquando inter uiſum & ſpeculum: & aliquando ultra ſpeculum, ſi-
cut oſtenſum eſt in ſpeculo columnari concauo.
li, aut erit linea lõgitudinis ſpeculi: aut erit ſectio pyramidalis. Si fuerit linea longitudinis: erũt
loca imaginum in ipſo ſpeculo. Si fuerit ſectio pyramidalis: erunt loca imaginum aliquando ci-
tra uiſum: aliquando in uiſu: aliquando inter uiſum & ſpeculum: & aliquando ultra ſpeculum, ſi-
cut oſtenſum eſt in ſpeculo columnari concauo.
98. Siuiſus ſit in communi ſectione axis & rectæ lineæ perpendicularis plano, ſpeculum co-
nicum cauum tangẽti: reflectetur à tota peripheria circuli (cuius centrum eſt dict a communis
ſectio) per lineas perpendiculares: & imago uidebitur in centro uiſus. 17 p 9.
nicum cauum tangẽti: reflectetur à tota peripheria circuli (cuius centrum eſt dict a communis
ſectio) per lineas perpendiculares: & imago uidebitur in centro uiſus. 17 p 9.