193187OPTICAE LIBER V.
linea l o:
& à puncto p ducatur æquidiſtans l o:
quæ ſit p n:
& ducatur linea m n.
Palàm [per theſin &
12 n 4] quòd angulus e h q æqualis eſt angulo q h z: & [per 29 p 1] angulo h l z: & angulus q h z æqua-
lis eſt angulo coalterno h z l [ideoq́; angulus h l z æquatur angulo h z l. ] Eritigitur [per 6 p 1] h l æ-
qualis h z: & h p perpendicularis eſt ſuper l z: [per fabricationé] erit triangulũ l p h æquale triangulo
p h z, & erit l p æqualis p z: [per 26 p 1: quia anguli ad l & z æquantur, & ad precti ſunt per fabricatio
nem, & h z æquatur h l] & p n æquidiſtans eſt o l: erit [per 2 p 6] proportio l p ad p z, ſicut o n ad n z.
Quare o n æqualis n z. Item cum o z ſit æquidiſtans q m [per fabricationẽ] & h q æquidiſtans l z: erit
[per 15 p 11] ſuperficies z o l æquidiſtans ſuperficiei q m h: & ſuperficies e o l ſecatillas duas, ſuper li-
neas cõmunes, [per 3 p 11] quę quidẽ[per 16 p 11] erunt æquidiſtãtes, ſcilicet m h, l o: quare [per 30 p 1]
h m, p n ſunt æquidiſtantes. Et quoniã h p cadit inter l z, h q æquidiſtantes: & eſt perpendicularis ſu
per l z: [angulus igitur p h trectus eſt: quia per 29 p 1 æquatur alterno h p l] quare [per conſectariũ 16
p 3] p h continget circulũ: quare ſuperficies a h p eſt ſuperficies contingens pyramidẽ. In hac ſuperſi
cie eſt p n & m n: [Nam cũ h m ſit in plano a h p conũ tangẽte, & illi parallela ſit n p, ut patuit: erit igi
tur n p in eodẽ plano per 35 d 1: m n uerò, quia utranq; h m & n p connectit, in eodẽ eſt cũ ipſis plano
per 7 p 11] & ſuper hanc ſuperficiẽ eſt perpendicularis linea d m [per demõſtrata 54 n. ] Igitur [per 3 d
11] perpendicularis eſt ſuper lineam m n: quare [per 29 p 1] m n eſt perpendicularis ſuper o z, & o n æ-
qualis n z: [ex cõcluſo] erit [per 4 p 1] m o æqualis m z: & [per 7 p 5] e m ad m o, ſicut e m ad m z: ſed [ք
2 p 6] e m ad m o, ſicut e h ad h l: [nã h m ex cõcluſo parallela eſt ipſi o l] & [per 7 p 5] e h ad h l, ſicut e
h ad h z: [æquales enim demõſtratę ſunt h l, h z] & [per 3 p 6] e h ad h z, ſicute q ad q z [angulus enim
e h z bifariã ſectus eſt à linea h q. ] Igitur [per 11 p 5] e m ad m z, ſicut e q ad q z. Quare [per 3 p 6] angu-
lus e m q æqualis angulo q m z. Quare [per 12 n 4] z reflectitur ad e à puncto m. Siigitur z reflectitur
ad e à puncto circuli h: reflectetur ad ipſum à puncto pyramidis m: & ſi à duobus circuli, à duobus
pyramidis: ſi à tribus, à tribus: ſi à pluribus, à pluribus. Eodem modo ex alia parte circuli fiet proba-
tio: quòd ab uno puncto pyramidis, ſicut ab uno circuli, reflexio fiat.
12 n 4] quòd angulus e h q æqualis eſt angulo q h z: & [per 29 p 1] angulo h l z: & angulus q h z æqua-
lis eſt angulo coalterno h z l [ideoq́; angulus h l z æquatur angulo h z l. ] Eritigitur [per 6 p 1] h l æ-
qualis h z: & h p perpendicularis eſt ſuper l z: [per fabricationé] erit triangulũ l p h æquale triangulo
p h z, & erit l p æqualis p z: [per 26 p 1: quia anguli ad l & z æquantur, & ad precti ſunt per fabricatio
nem, & h z æquatur h l] & p n æquidiſtans eſt o l: erit [per 2 p 6] proportio l p ad p z, ſicut o n ad n z.
Quare o n æqualis n z. Item cum o z ſit æquidiſtans q m [per fabricationẽ] & h q æquidiſtans l z: erit
[per 15 p 11] ſuperficies z o l æquidiſtans ſuperficiei q m h: & ſuperficies e o l ſecatillas duas, ſuper li-
neas cõmunes, [per 3 p 11] quę quidẽ[per 16 p 11] erunt æquidiſtãtes, ſcilicet m h, l o: quare [per 30 p 1]
h m, p n ſunt æquidiſtantes. Et quoniã h p cadit inter l z, h q æquidiſtantes: & eſt perpendicularis ſu
per l z: [angulus igitur p h trectus eſt: quia per 29 p 1 æquatur alterno h p l] quare [per conſectariũ 16
p 3] p h continget circulũ: quare ſuperficies a h p eſt ſuperficies contingens pyramidẽ. In hac ſuperſi
cie eſt p n & m n: [Nam cũ h m ſit in plano a h p conũ tangẽte, & illi parallela ſit n p, ut patuit: erit igi
tur n p in eodẽ plano per 35 d 1: m n uerò, quia utranq; h m & n p connectit, in eodẽ eſt cũ ipſis plano
per 7 p 11] & ſuper hanc ſuperficiẽ eſt perpendicularis linea d m [per demõſtrata 54 n. ] Igitur [per 3 d
11] perpendicularis eſt ſuper lineam m n: quare [per 29 p 1] m n eſt perpendicularis ſuper o z, & o n æ-
qualis n z: [ex cõcluſo] erit [per 4 p 1] m o æqualis m z: & [per 7 p 5] e m ad m o, ſicut e m ad m z: ſed [ք
2 p 6] e m ad m o, ſicut e h ad h l: [nã h m ex cõcluſo parallela eſt ipſi o l] & [per 7 p 5] e h ad h l, ſicut e
h ad h z: [æquales enim demõſtratę ſunt h l, h z] & [per 3 p 6] e h ad h z, ſicute q ad q z [angulus enim
e h z bifariã ſectus eſt à linea h q. ] Igitur [per 11 p 5] e m ad m z, ſicut e q ad q z. Quare [per 3 p 6] angu-
lus e m q æqualis angulo q m z. Quare [per 12 n 4] z reflectitur ad e à puncto m. Siigitur z reflectitur
ad e à puncto circuli h: reflectetur ad ipſum à puncto pyramidis m: & ſi à duobus circuli, à duobus
pyramidis: ſi à tribus, à tribus: ſi à pluribus, à pluribus. Eodem modo ex alia parte circuli fiet proba-
tio: quòd ab uno puncto pyramidis, ſicut ab uno circuli, reflexio fiat.
101. Sicõmunis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi conici cauifuerit ellipſis: uiſus & ui
ſibile intra ſpeculum, extra tum axem tum baſim uel planum ipſi parallelum: reflectentur inter
ſe: aliâs ab uno: aliâs à duobus: aliâs à tribus: aliâs à quatuor ſpeculi punctιs: tot́ erunt imagi-
nes, quot reflexionum puncta. 20 p 9.
ſibile intra ſpeculum, extra tum axem tum baſim uel planum ipſi parallelum: reflectentur inter
ſe: aliâs ab uno: aliâs à duobus: aliâs à tribus: aliâs à quatuor ſpeculi punctιs: tot́ erunt imagi-
nes, quot reflexionum puncta. 20 p 9.
SIuerò e nõ fuerit in circulo ęquidiſtãte baſi, trãſeũte ſuper z:
erit quidẽ ſuprà uel infrà.
Sit ſuprà:
quia utrobiq; eadẽ eſt probatio. Ducatur linea à uertice a per punctũ e, donec ſecet ſuperficiẽ
illius circuli: & ſit punctũ ſectionis h: q centrũ circuli. Palàm [per demonſtrata in ſpeculis ſphæ
ricis cauis 66 n] quòd h poteſt reflecti ad z ab aliquo pũcto circuli: ſit illud t: & ducatur diameter q t:
& linea h z ſecabit hãc diametrũ in puncto: quod ſit n: [Nam quia per theſin t eſt reflexiõis punctũ:
ergo per 12 n 4 ſemidiameter q t bifariã ſecat angulũ h t z: ideoq́; & baſim h z angulo ſubtẽſam] & du
catur e z: & linea longitudinis a t. Palàm, cũ punctũ z ſit ex una parte diametri q t, & ex alia e: linea e
z ſecabit ſuperficiẽ a q t: ſecet in puncto o: & à puncto o ducatur perpendicularis ſuper lineã a t: [per
12 p 1] quę ſit o p: quę neceſſariò cadet ſuper axem: [ut oſtenſum eſt 54 n] cadat in puncto d: & ducan
turlineę e p, z p. Dico, quòd z reflectetur ad e à puncto p. Ducatur à pũcto z linea æquidiſtãs q t[per
31 p 1] quæ ſit z f: & producatur linea h t, donec cõcurrat cũ illa:
152[Figure 152]a e u g d o p h q n k z i s t f [cõcurret aũt per lem ma Procli ad 29 p 1] ſit cõcurſus in puncto
f. Similiter à puncto z ducatur æquidiſtãs lineę o p: quę ſit z k: &
producatur linea e p, donec cõcurrat cũ illa: ſit cõcurſus in pun
cto k: & ducantur lineæ k f, k h. Palàm [per 15 p 11] cũ linea z f ſit
æquidiſtás q t, & z k ęquidiſtans o p: [& z f, z k cõcurrant in pun
cto z: & p o, t q cõtinuatæ concurrãt per 11 ax: quia angulus o p t
rectus eſt è fabricatiõe, & q t p acutus ք 18 d 11] quòd erit ſuperfi
cies z k f ęquidiſtãs o p t: quę eſt ſuperficies a q t: [quia enim p o
cadit in axem, ut patuit: eſt igitur in a q t plano per 1 p 11: in quo
etiã eſt linea q t: planũ igitur o p q t eſt pars plani a q t] & ſuperfi
cies h k f ſecat has duas ſuperficies, ſuper lineas p t, k f. Igitur[ք
16 p 11] p t, k f ſunt æquidiſtantes. Ducatur à puncto t perpendi-
cularis ſuper lineã z f [per 12 p 1] quę ſit t s. Palàm, cũ cadatinter
duas æquidiſtantes [q t, z f: ] erit angulus q t s rectus [per 29 p 1]
& ita [per cõſectariũ 16 p 3] cõtinget circulũ: [cuius cẽtrũ eſt q. ]
Igitur ſuperficies a t s contingit pyramidẽ ſuper lineã a t: [per 35
n 4] & linea o p eſt perpendicularis ſuper hãc ſuperficiẽ [ut de-
monſtratũ eſt 54 n. ] Superficies igitur a t q erit orthogonalis ſu
per ſuperficiem a t s: [per 18 p 11] & ſuperficies a t s ſecat duas ſu
perficies a t q, z k fquæ ſunt æquidiſtantes: igitur[per 16 p 11] li-
neę cõmunes ſectionũ ſunt æquidiſtantes. Vnaharũ linearũ eſt
p t: alia ſit s i. Sed iam patuit, quod p t æquidiſtans eſt k f: igitur
[per 30 p 1] s i eſt æquidiſtans k f. Sed planũ eſt, quòd angulus n
t z ęqualis eſt angulo t z f, & angulus h t n ęqualis angulo t f z: [ք
29 p 1: quia q t & z fſunt parallelę per fabricationẽ] & t s perpen
cicularis [ſuper z f perfabricationem] erit f s æqualis s z. [Quia
quia utrobiq; eadẽ eſt probatio. Ducatur linea à uertice a per punctũ e, donec ſecet ſuperficiẽ
illius circuli: & ſit punctũ ſectionis h: q centrũ circuli. Palàm [per demonſtrata in ſpeculis ſphæ
ricis cauis 66 n] quòd h poteſt reflecti ad z ab aliquo pũcto circuli: ſit illud t: & ducatur diameter q t:
& linea h z ſecabit hãc diametrũ in puncto: quod ſit n: [Nam quia per theſin t eſt reflexiõis punctũ:
ergo per 12 n 4 ſemidiameter q t bifariã ſecat angulũ h t z: ideoq́; & baſim h z angulo ſubtẽſam] & du
catur e z: & linea longitudinis a t. Palàm, cũ punctũ z ſit ex una parte diametri q t, & ex alia e: linea e
z ſecabit ſuperficiẽ a q t: ſecet in puncto o: & à puncto o ducatur perpendicularis ſuper lineã a t: [per
12 p 1] quę ſit o p: quę neceſſariò cadet ſuper axem: [ut oſtenſum eſt 54 n] cadat in puncto d: & ducan
turlineę e p, z p. Dico, quòd z reflectetur ad e à puncto p. Ducatur à pũcto z linea æquidiſtãs q t[per
31 p 1] quæ ſit z f: & producatur linea h t, donec cõcurrat cũ illa:
152[Figure 152]a e u g d o p h q n k z i s t f [cõcurret aũt per lem ma Procli ad 29 p 1] ſit cõcurſus in puncto
f. Similiter à puncto z ducatur æquidiſtãs lineę o p: quę ſit z k: &
producatur linea e p, donec cõcurrat cũ illa: ſit cõcurſus in pun
cto k: & ducantur lineæ k f, k h. Palàm [per 15 p 11] cũ linea z f ſit
æquidiſtás q t, & z k ęquidiſtans o p: [& z f, z k cõcurrant in pun
cto z: & p o, t q cõtinuatæ concurrãt per 11 ax: quia angulus o p t
rectus eſt è fabricatiõe, & q t p acutus ք 18 d 11] quòd erit ſuperfi
cies z k f ęquidiſtãs o p t: quę eſt ſuperficies a q t: [quia enim p o
cadit in axem, ut patuit: eſt igitur in a q t plano per 1 p 11: in quo
etiã eſt linea q t: planũ igitur o p q t eſt pars plani a q t] & ſuperfi
cies h k f ſecat has duas ſuperficies, ſuper lineas p t, k f. Igitur[ք
16 p 11] p t, k f ſunt æquidiſtantes. Ducatur à puncto t perpendi-
cularis ſuper lineã z f [per 12 p 1] quę ſit t s. Palàm, cũ cadatinter
duas æquidiſtantes [q t, z f: ] erit angulus q t s rectus [per 29 p 1]
& ita [per cõſectariũ 16 p 3] cõtinget circulũ: [cuius cẽtrũ eſt q. ]
Igitur ſuperficies a t s contingit pyramidẽ ſuper lineã a t: [per 35
n 4] & linea o p eſt perpendicularis ſuper hãc ſuperficiẽ [ut de-
monſtratũ eſt 54 n. ] Superficies igitur a t q erit orthogonalis ſu
per ſuperficiem a t s: [per 18 p 11] & ſuperficies a t s ſecat duas ſu
perficies a t q, z k fquæ ſunt æquidiſtantes: igitur[per 16 p 11] li-
neę cõmunes ſectionũ ſunt æquidiſtantes. Vnaharũ linearũ eſt
p t: alia ſit s i. Sed iam patuit, quod p t æquidiſtans eſt k f: igitur
[per 30 p 1] s i eſt æquidiſtans k f. Sed planũ eſt, quòd angulus n
t z ęqualis eſt angulo t z f, & angulus h t n ęqualis angulo t f z: [ք
29 p 1: quia q t & z fſunt parallelę per fabricationẽ] & t s perpen
cicularis [ſuper z f perfabricationem] erit f s æqualis s z. [Quia